1、过任意一点 P 作一条直线把ABC 面积平分分三种情况讨论：一、过ABC 一边 BC 上一点 P 作一条直线把ABC 面积平分。作法：1、连接 AP. 取 BC 的中点 D, 连接 AD.2、过 D 点作 DEAP 交 AB 于点 E。3、作直线 PE 交 AB 于点 O。则直线 PE 即为所求。证明：点 D 是 BC 的中点 .ACBSDEAP, .ADPE.DOPAES .CBEP四 边 形二、过ABC 内一点 P 作一条直线把ABC 面积平分作法：1取 AC 中点 D，连接 PD、PC；2在ABC 的内部作BECPDC；3过点 P 作 AC 的平行线与 CE 的延长线交于点 Q；4作QE
2、P 的外接圆交 BC 于 M；5连接 MP 并延长交 AC 于 H，直线 HM 即为所求证明：连接 EM由BECPDC 得 .PCBDE即 CEPCCDBC Q、E、P 、 M 四点共圆, Q=EMP又 PQ AC. QACQ又BECPDC. HCPBCE ACQPCMACQPCM=Q=EMPHPCPMC+PCM. EMC PMC+ EMP.HPCEMC. HPCEMC. 即 CEPCCHCM.PCMHECDBCCHCM CMHSCsin21BDAsi.21ABCSOPD CBAE三、过ABC 外一点 P 作一条直线把ABC 面积平分作法：1取 AB 中点 E，连接 PE；2在ABC 的外部作ACHAPE；3过点 P 作 AB 的平行线与 HA 的延长线交于点 K；4作PKH 的外接圆交 AC 于 G；5连接 PG，直线 PG 即为所求证明：设直线 PG 交 AB 于点 F，连接 HGK、P、G、 H 四点共圆AHG 与KPG 互补又 PKABAHGAFP又ACHAPEHAGFAP AHGAFP 即 AFAGAPAH.APGFH再由ACHAPE得 即 APAHAEAC.CEAFAGAEAC FAGSAFGsin21BCsi.21ABCS
