1、构造角平分线借助其性质解题在解决三角形的问题中，如果已知条件中涉及到角的平分线，我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题.现举例如下.一、证明线段相等例 1 如图 1，在ABC 中，BAC 的角平分线 AD 平分底边 BC.求证 AB=AC.分析：根据已知可知 AD 是BAC 的平分线，可通过点 D作BAC 的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明.证明：过点 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为 E、F.因为 DA 为BAC 的平分线，所以 DE=DF.又因为 AD 平分 BC，所以 BD=CD，所以 SABD =SACD ，又 SABD = ABDE，S ACD = ACDF，
2、2121所以 ABDE=ACDF，所以 AB=AC.图 1 图 2二、证明两角的和等于 180.例 2 已知，如图 2，AC 平分BAD，CD=CB，ABAD.求证:B+D=180.分析:因为 AC 是BAD 的平分线,所以可过点 C 作BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题.证明:作 CEAB 于 E,CFAD 于 F.因为 AC 平分BAD,所以 CE=CF.在CBE 和CDF 中,因为 CE=CF,CB=CD,所以 RtCBERtCDF,所以B=1,因为1+ADC=180,所以B+ADC=180,即B+D=180.三、证明角相等例 3 如图 3，在ABC 中，PB
3、、PC 分别是ABC 的外角的平分线，求证：1=2分析：要证明 AP 是BAC 的平分线，需要证明点 P 到BAC 两边的距离相等，可作PEAB，PGAC，PHBC，易证 PE=PH，PH=PG，从而PE=PG.证明；过点 P 作 PEAB 于点 E，PGAC 于点 G，PHBC于点 H.因为 P 在EBC 的平分线上，PEAB，PHBC，所以 PE=PH，同理可证 PH=PG，所以 PG=PE，又 PEAB，PGAC，所以 PA 是BAC 的平分线.所以1=2.图 3 图 4四、证明角的平分线例 4 如图 4，DAAB，CBAB，P 是 AB 的中点，PD 平分ADC.求证：CP 平分DCB
4、.分析：因为 DAAB，PD 平分ADC，所以可过点 P 作PEAC，利用角平分线的性质得到 PE=PA，进而可得到PE=PB.证明：过点 P 作 PEDC，垂足于 E，因为 PD 平分ADC，PAAD，所以 PA=PE，因为 P 为 AB 的中点，所以 PA=PB，所以 PE=PB，因为 CBBP，CEPE，所以 CP 平分DCB五、求角的度数例 5 如图 5，在ABC 中，ABC=100，ACB=20，CE 平分ACB，D 是 AC 上一点，若CBD=20，求ADE 的度数.分析：由于 CE 平分ACB，可过点 E 作ACB 的两边的垂线，通过证明 DE 是ADB 的平分线解决问题.解：作
5、 ENCA，EMBD，EPCB，垂足分别是 N、M、P.因为ABD=ABC-CBD=100-20=80，PBA=180-100=80，所以PBA=ABD，因为 EMBD 于 M，EPCB 于 P，所以 EP=EM，又 CE 平分ACB，ENCA，EPCB，所以 EN=EP，所以 EN=EM，所以 ED 平分ADB，所以ADE= ADB= 40=20.21图 5“截长补短法”在角的平分线问题中的运用人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路
6、豁然开朗.请看几例.例 1. 已知，如图 1-1，在四边形 ABCD 中，BC AB， AD=DC， BD 平分 ABC.求证： BAD+ BCD=180.分析：因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点 D 作 DE 垂直 BA 的延长线于点 E，作DF BC 于点 F，如图 1-2 BD 平分 ABC， DE=DF，在 Rt ADE 与 Rt CDF 中，CDAFE Rt ADE Rt CDF(HL), DAE= DCF.又 BAD+ DAE=180， BAD+ DCF
7、=180，即 BAD+ BCD=180例 2. 如图 2-1， AD BC，点 E 在线段 AB 上， ADE= CDE， DCE= ECB.AB CD图 1-1FEDCBA图 1-2求证： CD=AD+BC.分析：结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD 上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在 CD 上截取 CF=BC，如图 2-2在 FCE 与 BCE 中，CEBF FCE BCE（ SAS）,2=1.又 AD BC， ADC+ BCD=180， DCE+ CDE=90，ADBCE图
8、2-1ADBCE F1234图 2-22+3=90，1+4=90，3=4.在 FDE 与 ADE 中，43DEAF FDE ADE（ ASA）， DF=DA， CD=DF+CF， CD=AD+BC.例 3.已知，如图 3-1，1=2， P 为 BN 上一点，且PD BC 于点 D， AB+BC=2BD.求证： BAP+ BCP=180.分析：与例 1 相类似，证两个角的和是 180，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明 BCP= EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点 P 作 PE 垂直 BA 的延长线于点 E，如图3-21=2，且 PD BC， PE=PD，在 Rt
9、 BPE 与 Rt BPD 中，BPDE Rt BPE Rt BPD(HL), BE=BD. AB+BC=2BD， AB+BD+DC=BD+BE， AB+DC=BE 即 DC=BE-AB=AE.AB CDP12N图 3-1P12NAB CDE图 3-2在 Rt APE 与 Rt CPD 中,DCAEP Rt APE Rt CPD(SAS), PAE= PCD又 BAP+ PAE=180. BAP+ BCP=180例 4.已知：如图 4-1，在 ABC 中， C2 B，12.求证： AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长 AC 至 E 使 CE=CD，或
10、在 AB 上截取 AF=AC.D CBA1 2图 4-1证明：方法一（补短法）延长 AC 到 E，使 DC=CE，则 CDE CED，如图 4-2 ACB2 E， ACB2 B， B E，在 ABD 与 AED中, ADEB21 ABD AED（ AAS）, AB=AE.又 AE=AC+CE=AC+DC， AB=AC+DC.ED CBA1 2图 4-2方法二（截长法）在 AB 上截取 AF=AC，如图 4-3在 AFD 与 ACD 中,ADCF21 AFDACD（ SAS）, DF=DC， AFD ACD.又 ACB2 B， FDB B， FD=FB. AB=AF+FB=AC+FD， AB=A
11、C+CD.FD CBA1 2图 4-3由角平分线引出的线段关系一.过三角形一边的两个顶点分别作两个内角的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边相截，则截线长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和。已知：如图 1， 、 的平分线相交于点 F，过 F作 DE/BC，交 AB 于 D，交 AC 于 E，求证：图 1证明： BF 平分 ，BE/BC同理可证即二. 过三角形两个外角（或一个内角与一个外角）的平分线的交点作平行截线，三条截线段的关系又怎么样？请看以下例证。例 1. 已知：如图 2，D 是 的外角 ， 的平分线 AD、CD 的交点，过 D 作 EF/AC，交 BA 的延长线
12、于E，交 BC 的延长线于 F。图 2试指出 AE、FC、EF 的关系。分析： AD 平分 ，EF/AC同理可证 。而例 2. 已知，如图 3，D 是 的内角 与外角的平分线 BD 与 CD 的交点，过 D 作 DE/BC，交 AB于 E，交 AC 于 F。试确定 EF、EB、FC 的关系。图 3分析： BD 平分 ，DE/BC易证又 ，CD 平分而因此，这道习题的命题可推广为：过三角形一边的两个顶点分别作两个内角或两个外角（一个内角与一个外角）的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边或两边的延长线相截，则截线段的长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和（或差）。三角形角平分
13、线的应用例析三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在DEBDEDE几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形此情形可构造两种基本图形如图1、2 所示：如图 1，以 AD 为轴翻折，使点 C 落在 AB 上（即在 AB上 截取 AE = AC），得ACDAED如图 2，以 AD 为轴翻折，使点 B 落在 AC 的延长线上（即延长 AC 到 E，使 AE = AB），得ABDAED例 1 如图 3，在ABC 中，AD 平分 BAC，AB + BD = AC，求B C 的值（河南省中考题）解法 1：在 AC 上截
14、取 AE = AB ，连结 AEBAD = DAE，AD = AD， ABDAED， B = AED，BD = DE又AB + BD = AC， CE = BD = DE，C = EDC，B = AED = 2C，B C = 21解法 2：延长 AB 到 E，使 AE = AC ，连结 DE请读者一试BAACC（图1）（图2）CAB（图3）DFE二、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形1、根据角平分线的性质作垂线：自角的平分线上任一点向两边作垂线，得两个全等的直角三角形；2、根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线：自角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截的一个等腰
15、三角形例 2 如图 4，在四边形 ABCD 中，BC BA，AD = DC，BD 平分ABC求证：A + C = 180证明：过点 D 作 DEAB，交 BA 延长线于点 E，作 DFBC，交 BC 于点 F BD 平分ABC，DE = DF 又AD = DC，RtEADRtFCD，C = EADEAD + BAD = 180，C + BAD = 180例 3 如图 5，已知等腰 RtABC 中，A = 90，B 的平分线交 AC 于 D，过 C 作 BD 的垂线交 BD 的延长线于 E求证：BD = 2CE .证明：延长 CE 交 BA 的延长线于点F BE 是B 的平分线，BECF，BCF
16、 = F， FBC 是等腰三角形CE = FE AB CDEF（图4）AB C（图5）D FCF = 2CE AB = AC，ABD = ACF，BAD = CAF = 90，RtBADRtCAFBD = CF = 2CE三、“角平分线 + 平行线”构造等腰三角形1、自角的平分线上任一点作角的一边的平行线交另一边，得等腰三角形；2、自角的一边上任一点作角平分线的平行线交另一边的反向延长线，得等腰三角形例 4 如图 6，在ABC 中，B 和C 的平分线相交于点 F，过 F 作 DEBC，交 AB 于 D，交 AC 于 E若 BD + EC =9，则线段 DE 的长为（ ）A.9；B.8；C.7；
17、D.6. （河北省中考题）解：DEBC， DFB = FBC FBC = FBD， DFB = FBD，DF = BD同理可证，FE = EC DF + FE = DE，BD + EC = DE，即 DE = 9. 故应选 A.例 5 如图 7，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，E 是 BC 中点，EFAD，交 AB 于 M，交 CA 的延长线于F，求证：BM = CFAB C（图6）EDEMN证明：作 CNEF 交 BA 的延长线于 NE 是 BC 中点， BM = MN BAD =CAD，EFAD， F = FMA， AM = AF又CNEF，N = ACN，AN = ACAC + AF = AN + AM = BM，BM = CF总之，三角形的角平分线问题的辅助线的添加，一般不外乎以上三种情形，只要根据题目所给的条件，灵活选用上述三种构图方法，问题可获得解答AB CF（图7）
