1、5.6 希尔伯特(Hilbert)变换 希尔伯特变换的引入 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换一由傅里叶变换到希尔伯特变换已知正负号函数的傅里叶变换 根据对称性得到 则 若系统函数为 则冲激响应 系统框图: 系统的零状态响应 利用卷积定理 具有系统函数为 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络 同理可得到: 若系统冲激响应为 jtF2sgn1sgnsg1jt 为sg sgn1jt09 sgn)( 0jjjHtjFth11thFtfFtfsgnjtfthft 1 0 sgn jFjFtfFtth12sgnj其网络的系统函数为 该系统框图为 输出信号利用卷积定理 具有系统函数为 的网络是一
2、个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络 希尔伯波特变换二 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换可实现系统是因果系统，其冲激响应 09 sgn)( 0jjthFHthFtfFtfsgnjttfthft 1 0 sgn jFjF2sgjd1tftftHttftf1d11tftftHttft1即: 其傅里叶变换 又则 根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得 因果系统系统函数 的实部与虚部满足希尔伯特变换约束关系 三常用希尔伯特变换对对于任意因果函数，傅里叶变换的实部与虚部都满足希尔伯特变换的约束关系，希尔伯特变换作为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用 tuht00tthjjHj 121)()(j
3、XRejjjXjRjjXj 121jj 12jRj d21jXjRjXjR d2jjd1)(jj 1jRj)(jHtftft0cost0sinincotje0tje0tjmtjtjm0例 5-6-1用三种方法求解此题：方法 1 :方法 2： 则希尔伯特变换的频谱函数为 即： 方法 3： 直接用希尔伯特变换定义式 例 5-6-2 伯特变换的约束关系。的实部与虚部满足希尔，证明已知 )()()( thFtueth t因为 即系统函数 式中实部 虚部 .cos0tfttf为为为为为 2tfttfHtf 00sin4cos 000tF为00sgn jjjttfj000 sintttH000 sindc
4、os1cos jtueFth1)(jXjRjjH222jR2jX现在求 的希尔伯特变换 可求出各分式系数 则 jXd1jHd12 CjBjA2令 2,21,21CjBjA d12112 jjjjjXH22 jjjjj d122222 lnlnarctg120222R例 5-6-3试分析下面系统可以产生单边带信号已知信号 是带限信号，其频谱函数为 图中系统函数 载频 由调制定理可知 为带通信号 其频谱函数 是 的希尔伯特变换信号 其频谱 则 其频谱函数 即 输出信号 其频谱为 为为2为t0cost0sinjHtgtyty2ty1tg mmG1tgGsnjjm0ttgy01cos002121GYtFtgsgnjGtttgty02si00221jYtF0000 sgnsgnjGjG00002 s211 Ytytty2121YY频谱图如下所示是带通信号（上边带调幅信号）的频谱00mm0 1Y021G02G0 00mm0 2Y)sgn(2100G)sgn(100G0 00mm0 Y01Y
