1、第七讲 行程问题（9）涉及比例关系的行程问题【知识精要】到现在为止，大家已经接触了很多很多的行程问题，从平均速度，到火车进山洞，以及相遇问题啊，追及问题啊，还有环形跑道这些形形色色的问题一定给大家留下了深刻的印象，不能否认，行程问题确实是小学应用题当中非常重要的一部分，而从前面的讲解中我们多少会有这样的感觉，当我们的知识深入之后，行程问题也一步一步地变得复杂起来，分数知识的加入和比例关系的引进使得这类问题的解决变得困难，但同时比例关系也让我们有了更厉害的“武器” ，合理地利用比，正比例和反比例关系，一些困难题目的解决会焕然一新。利用比例关系解决行程问题，关键在于弄明白速度，时间和路程之间的比例
2、关系，我们已经知道，在一个人的行程问题中，当时间一定，速度和路程成正比例；当速度一定，路程和时间成正比例；当路程一定，速度和时间成反比例，但是，在两个人的行程问题中，也存在着如下的规律：（1 ） 当时间一定时，两人的速度比是 a:b，那么，他们的路程比也是 a:b。（2 ） 当速度一定时，两人的时间比是 a:b，那么，他们的路程比也是 a:b。（3 ） 当路程一定时，两人的速度比是 a:b，那么，它们所花的时间比为 b:a。此外，由于分数和比例的同源性，很多分数的关系也可以用比例的方法来解决，我们知道，分数的计算相对比较复杂，而比例的计算偏向于整数的计算，则在很多方面显得比较简单，这讲的题目里
3、面，我们可以看到很多分数的题目在引入比例的计算之后，就变得简洁易懂。【例 1】 五（1）班同学徒步去山顶上看日出，去时每小时行 8 千米，按原路返回时每小时行 6 千米。他们往返的平均速度是多少？【分析】这个题目也许并不陌生，但是问题在于，现在我们并不知道路程和时间，而是仅仅知道两个速度就要求平均速度，我们知道平均速度的公式是：“平均速度=总路程总时间” ，这里总路程和总时间都不知道，所以我们只能假设路程为“1” ，这样，总路程就是一个来回为“2” ，而去的时间和回来的时间都可以求出来，加起来就是我们要的“总时间“。【解答】假设单向的路程为 1，去的时间就是 ，回来的时间就是 ，1816总路程
4、为 2，这样，平均速度就是每小时 （千米） 。482()7答：平均速度是每小时 千米。47【评注】这个题目有的同学可能会想，去的时候每小时 8 千米，回来的时候每小时 6千米，平均速度难道不就是 7 千米每小时吗？这里需要大家注意了，平均速度的算法一定要牢记上面的这个公式“平均速度=总路程总时间” ，刚才的那个错误，主要原因是，来和回的时间是不同的，因此两个速度对平均速度的贡献也是不一样的，当时间相同的时候，可以那样简单地进行计算，所以大家不能随便想当然地就用“简便方法” 。【举一反三】1， 小明班上出去游玩，包车从学校开往森林公园，去时每小时行 40 千米，按原路返回时每小时行 35 千米。
5、这辆客车往返的平均速度是多少？2， 一艘轮船，静水速度是每小时 18 千米，现在从下游开往上游，水流速度是每小时2 千米，请问他往返一次的平均速度是多少？3， 一艘轮船，静水速度是每小时 18 千米，现在从下游开往上游，水流速度是每小时2 千米，走到半途的时候，上流的水流速度变快，变成 3 千米每小时，请问他往返一次的平均速度是多少？【例 2】唐老鸭和米老鼠约好见面，两人开车同时从各自的家相对开出，几小时后在距中点 40 千米处相遇。已知唐老鸭的车行完全程要 8 小时，米老鼠的车行完全程要 10 小时，求它们的家相距多少千米？【分析】这个题目就是用比例来解决问题的好方法，在【知识精要】中我们讲
6、到，当路程一样的时候，时间比和速度比成反比，这个题目例，它们的走完全程的时间比为8:10=4:5，因此他们的速度比就是 5：4，然后这个题目是一个相遇问题，在相遇的时候，它们所走的时间是相同的，因此在相同时间下，速度比是 5：4 也就意味着所走的路程比为5： 4，因此，它们在相遇的时候，唐老鸭所走的距离和米老鼠所走的距离之比为 5：4。下面一个问题就是，唐老鸭比米老鼠多走了多少，我们知道，在距中点 40 千米处相遇，也就是说，唐老鸭走了路程的一半还多 40 千米，而米老鼠走了路程的一半还少 40 千米，因此，唐老鸭比米老鼠多走的就是两个 40 千米等于 80 千米，加上前面分析的他们的路程比，
7、就不难用差对应的关系来算出这个题目了。【解答】因为它们行完全程的时间比为 8：10=4：5，所以他们的速度比为 5：4，因此相遇的时候，所走的路程比为 5：4。它们在离中点 40 千米处相遇，因此唐老鸭比米老鼠多走了 40+40=80（千米） 。最后可以得出它们的家相距 80（5-4）（5+4）=720（千米） 。答：它们的家相距 720 千米。【评注】这道题目就简单地利用了比例关系的特点从而将问题转化为前面所讲过的“比的运算” ，这里也可以利用假设的速度计算他们的相遇时间，然后再计算出各自走过了行程的几分之几，接着利用分数的知识也可以求解，但是不如利用“时间比速度比路程比”这样的比例关系转化
8、来得容易，同学们要仔细领会。【举一反三】1，小明、小华两人同时从 A、B 两地相对而行，几小时后在距中点 75 米处相遇。已知小明行完全程要 20 分钟，小华行完全程要 25 分钟，求 A、B 两地相距多少米？2，唐老鸭和米老鼠约好见面，两人开车同时从各自的家相对开出，结果它们错过了对方，唐老鸭到达米老鼠家的时候，米老鼠离唐老鸭家还有 80 千米，已知唐老鸭的车行完全程要 8 小时，米老鼠的车行完全程要 10 小时，求它们的家相距多少千米？3，唐老鸭和米老鼠约好见面，两人开车同时从各自的家相对开出，结果它们错过了对方，唐老鸭到达米老鼠家的时候，米老鼠离唐老鸭家还有 80 千米，它们到达对方家里
9、就立刻返回，已知唐老鸭的车行完全程要 8 小时，米老鼠的车行完全程要 10 小时，那么他们会在离米老鼠家多远处相遇？【例 3】客车和货车分别从甲、乙两站同时相对开出，5 小时后相遇。相遇后两车仍按原来的速度前进，当它们相距 198 千米时，客车行了全程的 ，货车行了全程的 80%。货35车行完全程需要多少小时？【分析】这道题目的条件比较杂，不能够乱用条件。从四个条件当中来分析，发现由后两个条件可以直接求出两车的速度之比，然后利用比例可以一举求出货车行完全程的用时。【解答】当两车相距 198 千米时，由于客车行了全程的 ，货车行了全程的 80%，因此两车的35速度比为 ：80%=3 ：4。由于两
10、车相遇时，各走了 5 小时，货车还需要走完客车刚刚 5 小35时走过的路程，还需要 5 =3.75 小时才能行完全程。所以货车行完全程需要35+3.75=8.75 小时。答：货车行完全程需要 8.75 小时。【评注】这道题仍然需要紧紧抓住“时间比速度比路程比”这样的比例关系转化。从解答中可以看出，198 千米这个条件是没有用的。假如不按照我们的做法，而是按其它方法去做，都很难给出解答。【举一反三】1，快车和慢车分别从甲，乙两地出发相向而行。当两车相遇时，慢车仅走了全程的2/5。当快车到达乙地时，慢车离甲地还有 72 千米，求甲乙两地的距离。2，货车和客车分别从甲，乙两地出发相向而行，4 小时后
11、相遇。之后两车仍按原速前进，当客车到达甲地时，货车走完了两地距离的 2/3。那么货车还需要多少小时才能到达乙地？3，两艘轮船分别由福建和台湾出发，相向而行。6 小时后两艘轮船相遇。相遇后两船仍按照原速前进，又过了 4 小时，从福建出发的轮船到达台湾。那么从台湾出发的轮船，从两船相遇算起，要用多少小时才能到福建呢？【例 4】甲在 100 米赛跑中领先冲过终点时，比乙领先 10 米，比丙领先 20 米，如果乙、丙保持原速不变，那么当乙冲过终点时，丙离终点还有多少米？【分析】有粗心的小朋友一看条件，甲领先乙 10 米，领先丙 20 米，那么自然乙比丙就领先 10 米，这样就错了。因为乙领先丙 10
12、米是在甲冲过终点的时候，之后乙和丙还要再跑。因为乙比丙快，肯定还能多领先丙一些，但是到底能领先多少米呢？这就要看乙跑最后 10 米的时候两人的速度关系了。由于乙和丙的速度不变，求他们的速度之比就变成了关键。【解答】当甲跑过终点时，乙跑了 90 米，丙跑了 80 米。因此，乙和丙的速度之比是 9：8。那么乙跑过最后 10 米的时候，丙还能跑 10 = 米，因此乙跑过终点时，丙离终点还有89020- = 米。8091答：乙冲过终点时，丙离终点还有 米。1【评注】从这道题我们可以看到，当大家的速度都不变的时候，速度之比仍然是很重要的东西。利用速度比=路程比，我们很轻易地求出了答案。另外，这道题目在求
13、出乙，丙的速度之比之后，还有另一种算法，小朋友们想到了吗？【举一反三】1，小田、小亮和成成参加 200 米游泳比赛。当小田到达终点的时候，小亮还差 20 米，成成还差 30 米到终点。如果小亮和成成的速度都不变，那么小亮到终点的时候，成成离终点还有多少米？2，小杰、小柚和鹏鹏在四百米的环行跑道上练习跑步，三个人同时同向出发，且速度都不变。当小柚跑完第一圈的时候，她发现小杰在她前面 20 米，而鹏鹏在她后面 20 米。那么当鹏鹏跑完第一圈的时候，小杰已经跑了多少米？3， 米老鼠和唐老鸭，高菲赛跑。米老鼠第一个到达终点，此时高菲还有 20 米到终点，唐老鸭还有 30 米到终点。之后高菲和唐老鸭的速
14、度都不变，当高菲到达终点时，唐老鸭离终点还有 12 米。那么他们比赛的全程是多少米？【例 5】快、慢两车同时从 A、B 两地出发，相向而行，经 5 小时相遇，相遇后两车仍按原速前进，又经过 6 小时慢车到达 A 地，这时快车已超过 B 地 90 千米。求 A、B 两地的距离。【分析】这道题目如果分段来考虑，试图用 90 千米这个条件来求出两车的速度再行计算 A、B 的距离，将不胜其烦。仔细地分析，可以发现快车在相遇之前行的那 5 小时的距离，慢车用了 6 小时才走完，这说明了什么呢？对了，这说明了两车的速度之比是 6：5。跟前面几题一样，得出了速度之比，就再次返回到路程的关系。这时利用 90
15、千米这个条件，解出答案已经是轻而易举了。【解答】由于快车在相遇之前行的那 5 小时的距离，慢车用了 6 小时才走完，故两车的速度之比是 6：5。那么在慢车行完全程，快车已经超过 B 地 90 千米时，两车所走的路程之比也应该是 6：5。因此 A、B 两地的距离为 90（6-5）5=450（千米）答：A、B 两地的距离为 450 千米。【评注】这道题目的解答还是抓住了同一段路上两辆车行驶的时间之比，进而推出了两辆车的速度之比。之前我们一直强调的“时间比速度比路程比”这个比例转化仍然在解题中起着至关重要的作用。小朋友们一定要牢记并且理解这个比例转化，并且在具体的题目中能够应用。【举一反三】1，快、
16、慢两车同时从 A、B 两地出发，相向而行，经 7 小时相遇，相遇后两车仍按原速前进，又经过 6 小时快车到达 B 地，这时慢车离 A 地还有 90 千米。求 A、B 两地的距离。2，快、慢两车同时从 A、B 两地出发，相向而行，经 6 小时相遇，相遇后两车仍按原速前进，又经过 8 小时慢车到达 A 地，这时快车已超过 B 地 150 千米。求 A、B 两地的距离。3，快、慢两车同时从 A、B 两地出发，相向而行，经 5 小时相遇，相遇后两车仍按原速前进，快车到达 B 地时，慢车离 A 地还有 100 千米。慢车到达 A 地时，快车已超过 B 地150 千米。求 A、B 两地的距离。【例 6】一
17、艘轮船所带的燃料只够用 18 小时。轮船去时每小时行 40 千米，返回时每小时行 50 千米。轮船最多航行多少千米就需返回？【分析】这道题目只有一艘轮船，看起来无法再利用比例了，但是仔细分析会发现，轮船去的时候和回来的时候，可以“当作”两艘轮船，由速度比导出时间的比。想到这里，剩下的工作就只是列式了。【解答】轮船去时和回来时的速度比为 4：5，因此假设轮船恰好航行 18 小时，那么去的时间和回来的时间之比应为 5：4。因此去时所用时间应为 18（5+4）5=10（小时） 。故最多能航行 4010=400（千米）答：轮船最多航行 400 千米就需返回。【评注】这道题告诉了我们，这种同一事物变速的
18、问题，只要是同一段路程，或者是同一个时间的行程，即使是只有一件事物，依然可以自己和自己相比，从而简单地求出答案。另外，这道题还可以用例一的思路进行求解。小朋友们，你们想到了吗？【举一反三】1，某人要进沙漠探险，他带的食物和水仅够 5 天用的。如果他进沙漠时的速度为每天80 千米，出沙漠时的速度为每天 120 千米。那么他最多走进沙漠多少千米就要回头？2，小洋洋每天都骑车上学。今天他放学的时候忘记把车从学校骑走，到家后才发现。吃完晚饭后，他走路到学校把自行车骑了回来，一来一回一共用了 40 分钟。已知小洋洋步行的速度为每分钟 90 米，骑自行车的速度为每分钟 150 米，那么小洋洋家到学校一共有
19、多远呢？3，蓝猫开车去淘气家作客，去的时候走上坡路，每小时只能走 30 千米。到了淘气家，正好淘气有事情外出，蓝猫只得原路返回。回程的时候走下坡路，每小时能走 60 千米。等蓝猫开回自己家时，发现离他出门已经过了 4 个小时。那么蓝猫和淘气家相距多远呢？【本章小结】这一讲是我们分类行程问题的最后一个单独知识点，涉及到比例关系的行程问题，除了基本的比之外，还要注意正比例和反比例在其中的运用，尤其是比和分数之间的转换，在很多题目里可以起到出奇制胜的效果。【自测题】：1：星期天小千去爬山，上山的时候每小时走 3 千米，下山的时候每小时走 5 千米。那么他的平均速度是多少呢？2：小柚在环行操场上练习跑
20、步，她在直道的速度是 7 米/秒，在弯道的速度是 5 米/秒。如果直道和弯道同样长，那么她的平均速度是多少呢？3：小田开车送小柚去飞机场。去的时候每小时走 80 千米，回来的时候由于少了一个人，速度提高为每小时 120 千米。那么小田开车的平均速度是多少呢？4：一段路，上坡，平路和下坡的距离比是 1：2：1。一个行人，上坡的速度为每小时 4 千米，走平路的速度为每小时 6 千米，下坡的速度为每小时 8 千米。求这个行人走完这段路的平均速度。5：伟伟每天走路上下学，从学校走到家需要走 40 分钟。今天家里有事，妈妈就骑着自行车从家出发去接伟伟，出发的时间刚好就是伟伟放学的时间。结果他们在距家和学
21、校中点500 米处相遇了。如果妈妈骑车从家到学校需要 20 分钟，那么从伟伟家到学校要走多少米呢？6：小玉去外地旅游回来，原计划火车 2 点到站。爸爸 1 点钟的时候从家出发开车去接小玉，按照原计划恰好能在 2 点赶到火车站。结果火车早到了 10 分钟，小玉便自己先往回走，走了 500 米碰到爸爸，就直接上车回家，结果到家时是 2 点 56 分。那么小玉家到火车站有多远？7：快车和慢车从甲乙两地出发相向而行，在距两地中点 10 千米处相遇。相遇后两车继续按原速行驶。当快车到达乙地时，慢车离甲地还有 35 千米。那么甲乙两地相距多远？8：快车和慢车从甲乙两地出发相向而行，在距两地中点 10 千米
22、处相遇。相遇后两车继续按原速行驶，两车各自到达乙、甲两地后便直接按原速返回。那么两车再次相遇时离两地中点多远？9：小明和小亮赛跑。小明前一半路程每秒跑 10 米，后一半路程每秒跑 8 米，小亮前一半时间每秒跑 10 米，后一半时间每秒跑 8 米。那么他们谁先到终点？为什么？10：小明和小亮赛跑。小明前一半路程每秒跑 10 米，后一半路程每秒跑 8 米，小亮前一半时间每秒跑 10 米，后一半时间每秒跑 8 米。他们中的一个跑到终点时，另一个离终点还有5 米。那么赛跑的全路程是多少米？11：小李，小黄和小冯三人跑 500 米，大家的速度都不变。小李领先小黄 25 米，小黄领先小冯 20 米。那么小
23、李领先小冯多少米呢？（注：领先指的是一人到达终点时另一人离终点的距离）12：小李，小黄和小冯三人赛跑，大家的速度都不变。小李领先小黄 25 米，小黄领先小冯20 米。小李领先小冯 40 米，那么他们赛跑的距离是多远？13：一艘轮船在一段河道上行驶，到达目的地后立即返回，一共用了 14 个小时。已知船的静水速度是水流速度的 7 倍，那么顺水、逆水各行了几个小时？14：在行军过程中，走在最后的指导员有一封文件交给走在最前的连长，便让通讯员以队伍速度的三倍跑步追上连长。通讯员将文件交给连长后立即按原速返回队尾，一共用了 90秒。已知队伍长 100 米，求队伍行进的速度。15：一架直升机的燃料够飞行
24、5 小时。这天飞行员疏忽大意，没有注意到燃料箱里只有 40%的燃料就出发了，他行驶的速度为 200 千米/时。当行驶到途中时，驾驶员才突然发现没有什么燃料了，他匆忙调头往回飞，速度也加快到 300 千米/时。当飞机开回出发点时，燃料刚好用光，那么这架直升机究竟开出了多远呢？16：一艘轮船从甲港出发去乙港，速度为 80 千米/时，船上携带的燃料可以供 10 小时所用。当航行到一半时，海上起了大风，船的航向正好是逆风，如果要继续航行，速度只能减慢为 60 千米/时，但是如果现在回航，速度能加快到 120 千米/时。事后发现，无论是继续航行还是回航，到达港口的时候燃料都是恰好用光。那么甲乙两港之间距
25、离多远呢？17：乌龟和兔子赛跑，它们同时从 A 地出发，跑到 B 地再跑回来。乌龟的速度一直不变。兔子开始没在意，一边跑一边玩，速度仅为 10 米/分。然而在 30 分钟后，兔子发现乌龟竟已经从对面跑过来，于是用尽全力，在 6 分钟后与乌龟同时到达终点。那么 AB 两地相距多远？18：小赵，小张和小周在一个环形跑道上练习长跑，他们规定每人都要跑够一个相同的圈数。已知三个人的速度都不变。小赵跑完时，小张还剩两圈，小周还剩四圈。小张跑完时，小周还剩两圈半。那么他们之前规定的是几圈呢？19：快，中，慢三辆车同时从甲地开往乙地。快车到达乙地时，中速车仅走了全程的4/5，而慢车离乙地还有 1800 米。当中速车到达乙地时，慢车离乙地还有 150 米。那么甲乙两地距离多少米？20：爸爸，妈妈和小恩一起去看电影，他们的速度之比为 3：2：1，他们决定都按自己的最快速度走，先到的先买票。结果爸爸先到了，发现今天电影院停电不能看电影，便迅速返回找妈妈和小恩，3 分钟后爸爸遇到了妈妈，两人一起回头，那么再过几分钟，他们将遇到小恩呢？
