1、72 数量积与向量积一物体在常力 Fnull作用下沿直线从点1M 移动到点2M ，以 snull表示位移，则力 Fnull所作的功为cos| sFWnullnull=(其中 为 Fnull与 snull的夹角 )启示向量 anull与 bnull的 数量积 为 banullnullcos| babanullnullnullnull=(其中 为 anull与 bnull的夹角 )实例两向量作这样的运算 , 结果是一个数量 .定义一、两向量的数量积anullbnullcos| babanullnullnullnull=,Prcos| bjbanullnull= 方向上的投影在向量向量 abnull
2、null,Prcos| ajabnullnull=方向上的投影在向量向量 banullnullajbbabnullnullnullnullPr|= .Pr| bjaanullnull=结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.数量积也称为 “点积 ”、 “内积 ”.关于数量积的说明：0)2( =banullnull .banullnull)( ,0=banullnull ,0| anull,0| bnull,0cos = .banullnull.|)1(2aaanullnullnull=)(,banullnull ,0cos = .0cos| = bab
3、anullnullnullnull,0= .|cos|2aaaaanullnullnullnullnull= 证证=,2,2=数量积符合下列运算规律：（1）交换律 ： ;abbanullnullnullnull=（2）分配律 ：;)( cbcacbanullnullnullnullnullnullnull+=+（3）若 为数),()()( bababanullnullnullnullnullnull= 若、为数 ：).()()( babanullnullnullnull= 证明（ 1）、（ 3）由定义可证余下证明（ 2）仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可仿此证明anullbnullbanu
4、llnull+cnullcbanullnullnull+ )()(Pr| bajccnullnullnull+=)Pr(Pr| bjajcccnullnullnull+=ajccnullnullPr|= bjccnullnullPr|+canullnull= cbnullnull+,kajaiaazyxnullnullnullnull+= kbjbibbzyxnullnullnullnull+=设=banullnull)( kajaiazyxnullnullnull+ )( kbjbibzyxnullnullnull+,kjinullnullnull ,0= ikkjjinullnullnul
5、lnullnullnull,1| = kjinullnullnull.1= kkjjiinullnullnullnullnullnullzzyyxxbabababa +=nullnull数量积的坐标表达式cos| babanullnullnullnull= ,|cosbabanullnullnullnull=222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa+=两向量夹角余弦的坐标表示式banullnull0=+zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为例1 已知 4,1,1 =anull， 2,2,1 =bnull，求（ 1）banullnull ；（ 2） an
6、ull与 bnull的夹角；（ 3） anull在 bnull上的投影 . 解banullnull)1(2)4()2(111 +=.9=222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa+=,21=ajbbabnullnullnullnullPr|)3( =.3|Pr =bbaajbnullnullnullnull= .43例2 证明向量 cnull与向量 acbbcanullnullnullnullnullnull)()( 垂直 . 证cacbbcanullnullnullnullnullnullnull )()()()( cacbcbcanullnullnullnul
7、lnullnullnullnull=)( cacabcnullnullnullnullnullnull=0=cacbbcanullnullnullnullnullnullnull )()(例 3 应用向量证明 CauchySchwarz不等式232221232221332211| bbbaaabababa +证 记 321, aaaa =null321, bbbb =null则232221| aaaa +=null232221| bbbb +=null332211babababa +=nullnull|),cos(| bababanullnullnullnullnullnull=| banul
8、lnull232221232221bbbaaa +=232221232221332211| bbbaaabababa +例 4 应用向量证明直径所对的圆周角是直角证 如图所示xyoABC圆的方程：222Ryx =+设 A 点的坐标为)0,( yx则 0, yxRAB = 0, yxRAC =ACAB 0,0, yxRyxR =222Ryx +=0=ACAB 例 5设 cbanullnullnull, 是三个单位向量始于同一点 O且0nullnullnullnull=+ cba证明它们终点的连线构成一等边三角形证一ABCOanullbnullcnullabABnullnull=bcBCnulln
9、ull=caCAnullnull=)()(|2ababABnullnullnullnull=babanullnullnullnull+= 2|22又 cbanullnullnull=+)()( babanullnullnullnull+babanullnullnullnull+= 2|22)()( ccnullnull=2| cnull=由 1| = cbanullnullnull21= banullnull3|2= AB同理3|2=BC 3|2=AC故它们终点的连线构成等边三角形证二 由0nullnullnullnull=+ cba 得0)()( =+ cbacbanullnullnulln
10、ullnullnull23=+ cacbbanullnullnullnullnullnull又 acbnullnullnull=+1=+ aacabanullnullnullnullnullnull21= cbnullnull同理21= cabanullnullnullnull故由余弦定理，有babaABnullnullnullnull+= 2|2223=cbcbBCnullnullnullnull+= 2|2223=cacaACnullnullnullnull+= 2|2223=故它们终点的连线构成等边三角形设 O为一根杠杆 L的支点，有一力 Fnull作用于这杠杆上 P 点处力 Fnull
11、与 OP 的夹角为 ，力Fnull对支点 O的力矩是一向量 Mnull，它的模| FOQMnullnull=sin| FOPnull=Mnull的方向垂直于 OP与 Fnull所决定的平面 , 指向符合右手系 .实例二、两向量的向量积LFnullPQO向量 anull与 bnull的 向量积 为 bacnullnullnull=sin| bacnullnullnull=(其中 为 anull与 bnull的夹角 )定义cnull的方向既垂直于 anull，又垂直于 bnull，指向符合右手系.关于向量积的说明：.0)1(nullnullnull=aa)0sin0( = banullnull)2
12、(/ .0nullnullnull=ba )0,0(nullnullnullnull ba向量积也称为 “叉积 ”、 “外积 ”.向量积符合下列运算规律：（ 1）.abbanullnullnullnull=（ 2） 分配律： .)( cbcacbanullnullnullnullnullnullnull+=+（ 3） 若为数).()()( bababanullnullnullnullnullnull= )( ,0nullnullnull =ba ,0| anull,0| bnull,0sin = ,0=)(0sin = .0sin| = babanullnullnullnull证banulln
13、ull/banullnull/ 或0=,kajaiaazyxnullnullnullnull+=kbjbibbzyxnullnullnullnull+=设=banullnull)( kajaiazyxnullnullnull+ )( kbjbibzyxnullnullnull+,kjinullnullnull =,0nullnullnullnullnullnullnull = kkjjii,jiknullnullnull=,ikjnullnullnull=,kijnullnullnull= .jkinullnullnull=,ijknullnullnull=kbabajbabaibabaxyy
14、xzxxzyzzynullnullnull)()()( +=向量积的坐标表达式向量积还可借助于三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjibanullnullnullnullnull=kbbaajbbaaibbaayxyxzxzxzyzynullnullnull+=由上式可推出banullnull/0nullnullnull=ba0=zyzyabba0=zxzxabba0=yxyxabbazzyyxxbababa=xb 、yb 、zb 不能同时为零，但允许两个为零，例如，zzyxbaaa=000,0 =yxaa补充| banullnull 表示以 anull和 bnull为邻边的平行四边形的面
15、积.anullbnullbacnullnullnull=例6 求与 kjianullnullnullnull423 += ， kjibnullnullnullnull2+= 都垂直的单位向量 . 解zyxzyxbbbaaakjibacnullnullnullnullnullnull=211423=kjinullnullnull,510 kjnullnull+=,55510|22=+=cnull|0cccnullnull= .5152+= kjnullnull例7 在顶点为 )2,1,1( A 、 )2,6,5( B 和)1,3,1( C 的三角形中，求 AC边上的高 BD. ABC解D3,4,
16、0 =AC0,5,4 =AB三角形 ABC的面积为|21ABACS =22216121521+= ,225=| AC ,5)3(422=+=|21BDS = | AC|521225BD=.5| = BD例8 设向量 pnmnullnullnull, 两两垂直，符合右手规则，且4| =mnull， 2| =nnull， 3| =pnull，计算 pnmnullnullnull )( . 解),sin(| nmnmnmnullnullnullnullnullnull=,8124 =0),( = pnmnullnullnullpnmnullnullnull )( cos| pnmnullnullnu
17、ll= .2438 =依题意知 nmnullnull 与 pnull同向，定义设已知三个向量 anull、 bnull、 cnull，数量 cbanullnullnull )(称为这三个向量的 混合积 ，记为 cbanullnullnull. cbanullnullnullcbanullnullnull= )(zyxzyxzyxcccbbbaaa=,kajaiaazyxnullnullnullnull+= ,kbjbibbzyxnullnullnullnull+=设,kcjcicczyxnullnullnullnull+=混合积的坐标表达式三、向量的混合积（ 1）向量混合积的几何意义：向量的混
18、合积 cbanullnullnullcbanullnullnull= )( 是这样的一个数，它的绝对值表示以向量 anull、 bnull、 cnull为棱的平行六面体的体积 .anullcnullbnullbanullnull关于混合积的说明：)2( cbanullnullnullcbanullnullnull= )( acbnullnullnull= )(.)( bacnullnullnull=轮换对称性（ 3）三向量 anull、 bnull、 cnull共面 .0 =cbanullnullnull证明)(由cbanullnullnull,共面cbanullnullnull )(0),c
19、os( =cbanullnullnullzyxzyxzyxcccbbbaaacba =nullnullnull)(0=)( 设zyxzyxzyxcccbbbaaacba =nullnullnull)(0=由混合积的几何意义知0|)(| = cbanullnullnull0),cos( = cbanullnullnullcbanullnullnull )(得cbanullnullnull,共面已知 2 =cbanullnullnull，计算 )()()( accbbanullnullnullnullnullnull+ .解 )()()( accbbanullnullnullnullnullnul
20、l+)() accbbbcabanullnullnullnullnullnullnullnullnullnull+=ccbcccacbanullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull+= )(0)()(acbaacaabanullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull+ )(0)()(0= 0=0= 0=cbanullnullnull= )(cbanullnullnull= )(2 2 cbanullnullnull=.4=例 9例 10 已知空间内不在一平面上的四点),(111zyxA 、 ),(222zyx
21、B 、 ),(333zyxC 、),(444zyxD , 求四面体的体积 . 解由立体几何知，四面体的体积等于以向量 AB、AC、 AD为棱的平行六面体的体积的六分之一 .61ADACABV =,121212zzyyxxAB =,131313zzyyxxAC =,141414zzyyxxAD =14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV=式中正负号的选择必须和行列式的符号一致 .例 11 设 dcbanullnullnullnull,是四个已知向量，其中cbanullnullnull,不共面，试利用矢量运算将dnull表示为cbanullnullnull,的线性组合分析 依题意czbyaxdnullnullnullnull+=其中 x , y , z 待定为求得 x ，须消去 y , z 由上式可见，若能用一个与 cbnullnull,都垂直的向量，则 y , z 可同时消去，自然想到cbnullnull解设有 czbyaxdnullnullnullnull+=
