1、1关于数形结合问题的讨论龙胜（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首，416000）摘 要：数形结合是研究数学的重要思想方法，可由数思形、由形想数、数形结合、数形对照，层层深入地进行分析和研究，使抽象的概念和关系变得直观、形象，使复杂的几何问题化为数量之间的关系，有利于学生探求新的解题途径，加强知识的横向联系，使所学知识融会贯通。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系本文将探讨数形结合思想在数学学习中的具体应用.关键词：数形结合;抽象；数学语言；直观；数量关系.Integration of N
2、umber and ShapeWang wenjuan(Department of Mathematics and Computer ScienceJiShou university, JiShou Hunan, 416000)Abstract:Combination of Number is a mathematical summary of the important thinking, thinking shaped by the few, by the shape like the number of Number and Shape, the number of shape cont
3、rol, layers of in-depth analysis and research, so that abstract concepts and relationships more visual and imageso that the number of complex geometric problems into the relationship between help students explore new ways to solve problems, enhance knowledge of horizontal linkages to the knowledge m
4、astery.As a mathematical way of thinking, The Combination of the application can be divided into two situations: either the help of a few to illustrate the accuracy of the shape of some of the properties, or use of geometric intuition to clarify a relationship between the number of.This article will
5、 explore The Combination of thought in mathematics learning of the specific application.Key words: integration of number and shape; Abstract; mathematical language; intuitive; quantitative relationship.1.引言数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，2即以形作为手段，数为目的；二是借助于数的精确性
6、和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的.数形结合是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而解决问题。而数形结合思想的实质就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合
7、理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.下面从“以形助数”和“以数辅形”两方面来研究数形结合问题.2.以形助数 数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的科学。数与形是数学中两个基本概念，二者相辅相成。因此许多代数问题均可根据题设与结论的特征通过观察、联想构造出相应的几何图形，然后根据图形的性质得到一种简捷的解法.以形辅数是将“数”的问题借助于几何图形的性质去解决。利用图形的性质，使一些关于复杂的数学问题形象化、直观化、简单化，能避免复杂的计算与推导.例 1 1已知二次函数 y=f (x)的图像以原点为顶点且过点 P（1，1）和 Q(-1,1)，1反比
8、例函数 y=f (x)的图像与直线 y=x 的两个交点 AB 间的距离为 8，f(x)= f (x)+ 2 1f (x).21)求 f(x)的表达式；2)证明：当 a3,关于 x 的方程 f(x)= f(a)有三个不同的实数解.解：1)由已知，设 f (x)=ax +bx (a 0), 由 f (1)=1，f (-1)=1,得1211a=1，b=0, 故 f (x)= x ,设 f (x) = (k0) ,它的图象与直线 y=x 的交点分别12xk3xyo，由|AB|=8，得 k=8,故 f (x)= ,(,)(,)AkBk2x8所以 f(x)=x +2x82）f(x)= f(a)，得 即 2
9、8a28,xa设： 在同一坐标系下分别作出 f (x)与 f (x)的图像23()fx23大致图象如右下图：1 其中 f (x)为位于第一、二象限的双曲线，f (x)2 3为开口向下顶点在 y 轴的非负半轴上的抛物线。因此，f (x)与 f (x)的图象在第三象限有一个23交点，即 f(x)= f(a) 有一个负根。又因为 f (2)=4，f (2)= 23284a因此，当 a3 时， f (2)- f (2)= 02所以 a3 时，在第一象限 f (x)存在一点在 f (x)图象的上方。 图 132f(x)= f(a) 有两个正根。例 2 2方程 lgxx3=0, 10 x3=0 的解分别是
10、 x ,x ,求 x x .1212解：求上面方程的解比较困难，方程 10 x3=0 的解可理解为函数 y=10与 y=x 3 的交点（B 点）横坐标，方程 lgxx3=0 的解为函数 y= lgx 与y=x 3 的交点（ A 点）的横坐标，函数 y=10 与 y= lgx 的图 象关于直线 y=x 对称，xA、 B 关于直线 y=x 对称，而直线 y=x 与直线 y=x 3 相互垂直，交点为 C 点，故 C 是 AB 的中点，又 C 点横坐标是 ，23所以 x x = 2=3.123.以数辅形f3 (x)2()f图 24用解析法证几何题，特别是轨迹题，其实质就是将“形”的问题转化为形的对立面
11、数和式的问题，然后由数退形，加深对形的理解.例 3 3求函数 的最大值和最小值.sin2()3coxf解： 在 aob 坐标平面上设 , 由 得,sxabin1sinco22x 12b表示一个椭圆，设过 P（ -3，2）的直线方程)3(ak把代入 并整理得 226)(8)14(ak0148k直线 PQ 与椭圆相切 03125k解得 ， 6262根据图可知 ， )(minxf max()f例 4 5 在 RtABC 所在平面上，分别以直角边 AB 和斜边 BC 为一边，向另一个顶点的同侧作正方形 ABDE 和 BCFG，求证GADC.分析：要证 GADC，只要证 GA 与 DC 所在直线的斜率之
12、积为-1 即可。我们注意到图形中的垂直、平行、对称关系，如图 2，以B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，GB 所在直线图 35为 y 轴，建立直角坐标系，并不妨设 A(b,c),B(0,0),C(a,0),G(0,a), D ,则 0()xyGAcaKb只要再求得 D 点的坐标 ，就能算出 ，问题就获得解决。0(,)xyDCK解：如图：设 A(b,c),B(0,0),C(a,0),G(0,a),D , 则有0()， ，ABcKb0BDyx故 01AB0bcy于是直线 AB 的方程为 .cxD 点到 AB 的距离 |BD|=|AB|= = ,02cyb2c从而 0()cxby由方程组 20()
13、c可解得 ， 或 , (不合题意舍去)xcyb0x0yb所以 DCKa由此 1GAbc故 4.数形结合在中学数学中的应用4.1 利用数形结合解决函数问题运用数形结合思想处理问题，就是根据问题和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题思路，使问题得到解决.0(,)xy图 46下面我们就从例题中寻求如何进行转化的过程例 5 6已知抛物线 经过点 A（2，3） ，2(0)yaxbc求证：方程 一定有两个不相等的实数根，2且一根大于 2，一根小于 2.分析：本题如果不考虑函数图象的特征，只考虑题设条件：抛物线经过 A
14、（2，3） ，得2(0)yaxbc423abc再设方程 的两根为 ， ，则需证 且 2x1x240ac。12()x但很难证明 ，以及 。故此法不可取.012()0x结合函数图象，可得如下解法.解： ，抛物线 开口向下.a2yabc又 抛物线 经过点 A（2，3） ，且该点在第一象限，2x抛物线 与 轴有两个交点，且交点在 B（2，0）的两侧。ycx方程 一定有两个不相等的实数根，且一根大于 2，另一根20axb小于 2例 6 已知:二次函数 的图象与 x 轴交于 ，2(1)yxmx1(,0)Ax2,)B，与 y轴交于点 C ,且满足120x 2AOBC求这个二次函数的解析式.是否存在直线 与抛
15、物线交于点 P , Q , 使 y 轴平分 CPQ 的面积? 若kxb存在,求出 k , b 应满足的条件;若不存在,请说明理由.分析: 先根据题意,结合“数” 及 ,画出“图2(1)yxmx120x形”，找到 A , B , C 三点的大致位置(从“数”到“形”) ,得出 AO , BO , CO ,然后利用一元二次方程的根与系数的关系求解.可先假设这样的直线 存在,再根据“形”和已知条件看能否得出“数”ykxbk , b 的值或取值范围.图 57解：(1) , (如图)120x 12AOBx又 a 0Cm 1 2AOB OBAC)(即 2121xxm ，)(21)(m )(解得 （舍去），
16、2二次函数的解析式为 3xy假设存在着直线 与抛物线交于点Q，使 轴平分CPQ的面积。bkxyy设点P的横坐标为 点Q的横坐标为 直线与 轴交于点 EPxy ， ，CES21|21Px|QxC | |=Px|Q 轴平分CPQ的面积，y点P，Q在 轴异侧，即 QPx由 得 32xybk2()(3)0kb ， 为的两根，PQxQP k直线与抛物线有两个交点，图 68 ，即30b3b当 且 时，有直线 与抛物线交于 P,Q使 轴平分2kykxby的面积CPQ4.2 数形结合在复数中的应用复数的几何意义包括两方面内容：一是与复平面上的点一一对应，二是与复平面上从原点出发的向量一一对应，这使得复数可以从
17、解析几何的角度来审视，可借助数与形的互化来解题.例 79已知 zC，且 z ，求| z+1|的取值范围.分析：利用复数在复平面上所对应的图形及其几何意义解决此类问题.解：z 在复平面上对应的图形为以原点为圆心，以 为半径的圆周及圆内部，|z+1|表示在复平面上 z 对应的点与-1 对应点间的距离由图 7，|z+1|最大值为AC= |z+1|最小值为AB= 故|z+1| ， 4.3 利用数形结合解决最值问题在求某些最值问题时，采用数形结合的方法，由形思数，由数想形，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述有机地结合起来，有利于开阔学生的解题思路，发展其形象思维能力.例 8 直线 y=a 与函数 f
18、（x ）=x 3-3x 的图象有相异的三个公共点，则 a 的取值范围为（ ）.A.（-2，1） B.（-1，2） C.（-2，2） D.-2，2分析：函数 f（x）x 3-3x 的导数为 f （x）=3x 2-3令 f （ x）0，解得 x1 或 x-1；令 f （ x）0，解得-1 x1；则函数 f （x）在（1，+）上 单调递增在（-，-1）上单调递增在（-1，1）上单调递减图 79yxP(3,)oO由此画出 f （x）的草图由图形看出-2a2答案：C.例 98 对于满足 的所有实数对 ，求 的最大值.（美国198422(3)()6xy(,)xy年中学数学竞赛题） 分析：问题转化为 : 上
19、求一点 与原点O连线的斜率O22()(3)(,)P的最大值. 解：如图：设OP与圆O切于点P，显然OP 的斜率最大 .设OP的方程为 ，由 到OP的距离为ykx 6由点到直线的距离公式得 2|3|1k解得 .32k由图形，显然 .max2 的最大值为 .yx例 10 已知 , 是椭圆 内的点，M是椭圆上一个动点，(250)A(3B216xy求 的最大值和最小值.|M解：如图，由题设知，椭圆的左焦点为 ,右焦点为A(250)(25,0)A|122|3()B815连 ，并两端延长分别交椭圆于 两点A12,M =|MB|AB|ABMA12|385图 8图 9图 1010(当且仅当 与 重合时等号成立
20、 )M1又 |AB2(|AB12|A38125(当且仅当 与 重合时等号成立 ) 的最大值为| 385的最小值为 |MAB124.4 以数形结合的思想研究曲线与方程由于坐标系的建立，给点与坐标，方程与曲线等建立了一一对应关系，这就给数学提供了一个双向的工具：几何概念可以用代数表示，几何目标可以通过代数来表达，反之，给代数语言以几何解释，从而直观地掌握这些语言的意义，并可得到启发去探索结论，建立坐标系给数形结合带来可能，而数形结合是研究曲线与方程最重要的思想方法，应当将这种方法贯穿于学习曲线与方程的始终.例 11 若直线 与抛物线 有两个公共点，则 在什么:l1(2)yax:C2yxa范围内取值
21、？分析：直线 是过点（2， 1） ，斜率为 的一条直线，也就是绕（2，1）点旋转l a的一条直线（不包括垂直于 轴直线） 。C是顶点在原点，开口向右的抛物线，点x（2，1）在其内部，当 旋转时，很容易在图形中直观地看出，除了平行于 轴（即l x）外，都与C有两个公共点，因此， .y ， 0以上是从“形”的方面猜想到了问题的结论，是否能由此猜到在代数解法中会出现的情况？ 与C 的方程联立消去 后得到一个关于 的方程，既然已从图形中看l yx出当 时 与C交于一点，那么就应该猜想到当 时该方程的二次项系数是0a 0a0，也就是说 时，该二次方程应该具备判别式恒大于零的特点解：将 与C的方程联立，l
22、21()yax消 得 x240a当 时，方程有一解，当 时，0a112214168()304a 当 时直线 与抛物线C有两个公共点。(,0),al遇到一个解析几何问题，要从集合角度观察估计，如果能得出较明确的结论，那么还可以进一步猜想在代数解法中会出现的情况，然后用代数方法验证自己的猜想几何方法比较直观，但有时判断不准。如上例中当 的值很接近于零（ 与 轴接alx近平行）时， 与C 究竟有几个公共点，这一点看不太准，但由代数方法可得到这时l且 ，方程组有两个解，即 与C有两个公共点。0al例 12 若直线 与曲线 恰有一个公共点，求实数 的值。 1)(xayaxy2 a分析： 从几何角度看，直
23、线绕（0，1）点旋转，曲线是以原点为顶点，以 轴x为对称轴的抛物线，它们恰有一个公共点，应有三种情况：直线与抛物线相切；直线与抛物线对称轴平行，相交于一点；抛物线蜕化为一直线时（ ） 。0a解： 联立方程axy21)(当 时，方程有一个解0a0当 时，消去 ，得 x12ya若 ，则方程有一个解1ax若 ，令 ，可得 0a54当 ， ， 时直线与曲线恰有一个公共点.a154用数形结合的思想指导对曲线与方程的研究，就是依形判数，就数论形，互相取长补短。 “形”与“数”有各自的特点， “形”具有直观性，它们的位置关系和变化趋势容易呈现在人们的眼前，但往往有特定性和局限性。 “数”则具有一般性，它的计
24、算方法带有程序化的特点，常可以提供“通法” ，但有时不易看清变化趋势，因此，应该将“数”与“形”结合起来，对于同一个问题用代数几何两种方法考虑，互相补充，互相验证。12在数形转化过程中，必须遵循等价转换原则、数形互补原则。当然在教学渗透数形结合的思想时，应注意培养以下几点：1. 观察图形，找出图形中蕴含的数量关系。2. 正确绘制图形，反映图形中相应的数量关系。3. 切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。5. 结束语实践证明，运用数形结合思想去解决数学问题，有助于增强学生的数学素养，提高分析问题的能力，使学生感受到喜悦和成功的乐趣，全面提高学生学习数学的兴趣。因此，在教学中，要注
25、重引导学生将棘手的代数或几何问题，用数形结合的思想方法，把数、形融为一体，化难为易，化繁为简，有机的沟通数学各分支之间的内在联系，这对提高学生分析问题、解决问题的能力将起到重要作用。参考文献1吴国秀; 数形结合在解题中的巧妙应用 J.中学理科; 2001,07, 17-18.2刘彬文等编. 中学数学解题方法与技巧M.1990.3王银篷. 浅谈数形结合的方法. 中学数学J. 2004,12,33-34.4邱德跃. 用数形结合法研究函数问题. 初中数学教与学J.2006,03,23-25.5孙建豪,殷建华; 论数形结合思想在中学数学教学中的应用J. 湖州师范学院学报; 2001,S1, 32-34.6姚德雄. 利用数形结合解最值问题M. 1994.7胡文富; 数形结合的运用 J.云南教育(基础教育版); 2004,35, 43-44.8吕学柱; 要正确使用数形结合的思想方法J.数学通讯; 2001,12,18.9王林全，林国泰.中学数学思想方法概论M. 广东：暨南大学出版社. 2000,110-144，277-336.10赵智范.中学教学中“学法”的探索J.中小学教师培训，2003，2,35.
