1、1二次根式知识梳理二次根式：形如 的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时，才有意义二次根式的性质1. 非负性： 是一个非负数a()02、 ()23. aa0|()4. 公式 与 的区别与联系a2|()()()a20（1） 表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数2（2） 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数()（3） 和 的运算结果都是非负的22最简二次根式：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。分
2、母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： 单项二次根式：利用 来确定，如： ， ， 与aa与 ba与 b等分别互为有理化因式。ba 两项二次根式：利用平方差公式来确定。如 与 ， ，与分别互为有理化因式。xyxby与例写出一个无理数，使它与 3 的积为有理数_；2分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。二次根式的乘除1积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等
3、于积中各因式的算术平方根的积。2= （a0，b0）ab2二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 （a0，b0） ab3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 ab=ab（a0，b0）4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 ab= （a0，b0）二次根式的加减需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。二次根式的混合计算与求值1、 确 定 运 算 顺 序 ；2、 灵 活 运 用 运 算 定 律 ； 3、 正 确 使 用 乘 法 公
4、 式 ；4、 大 多 数 分 母 有 理 化 要 及 时 ；5、 在 有 些 简 便 运 算 中 也 许 可 以 约 分 ， 不 要 盲 目 有 理 化 ；根式比较大小1、根式变形法 当 时，如果 ，则 ；如果 ，则 。0,ababbabb2、平方法 当 时，如果 ，则 ；如果 ，则 。2 23、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质： 0abb；0ab8、求商比较法 它运用如下性质：当 a0，b0
5、 时，则：1ab； 1ab例比较大小：-3 _-2 ；2 3例已知 a、b 为两个连续整数，且 a b ，则 a+b=_；73二次根式的概念形如 （ ）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。例下列各式一定不是二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、2a5142x62a例 2.下列与 是同类二次根式的是（ ）2A B C D -13 12 8 21判断下列各式哪些是二次根式（ ）(1) ；（2）6 42 x)(;0x3)(;4
6、x写出下列各等式成立的条件（1） x42（2） )(（3） 3x92（4） 2)5(;x（） 32例下列式子是最简二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、b82nmx3.021.下列根式中不是最简二次根式的是（ ）A B C D10 8 6 2.如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么 a 的值是_ ；3a-3 7-2a取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时， 没有意义。4例若 ，则 x 的取值范围是 22)()(x
7、x当 时， 有意义。53当时， 2)(x若 ，则 a 应是（ ）12aA、负数 B、正数 C、非零实数 D、有理数二次根式 中，字母 a 的取值范围是（ ）A、a1 B、a1 C、a1 D、a1若使代数式 有意义，则 x 的取值范围是（ ）32xA、x2 B、x2 C、x2 D、x4若化简1-x- 的结果为 2x-5，则 x 的取值范围是（ ）168A、x 为任意实数 B、1x4 C、x1 D、x4x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1） xxxx 13)5(26)4(|2)3(|4)2(.二次根式 中，字母 a 的取值范围是（ ）1-aAa 1 Ba1 Ca1 Da1. 已知 是正整数
8、，则实数 n 的最大值为（ ）12-nA12 B11 C8 D3F.使式子 无意义的 x 取值的是_；4-x二次根式 （ ）的非负性（ ）表示 a 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 0（ ） 。注：因为二次根式 （ ）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ） ，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。例若 ，则 a= ,b= 5若 ，则 a= ,b= .若 = 成立，则 x 满足_；.已知 x、y 是实数，且满足 y= + +1x-6 6-x（1）求 x 和 y 的值； （
9、2）求 的值。x+2y二次根式（ ） 的性质（ ）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式 （ ）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若 ，则 例如 ，则 ；325.已知一个正数的平方根是 2x-6 和 x+3 ，则这个数是_；.把二次根式 3 中根号外的因数移到根号内，结果是_；二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，即 ；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即 ；例 2 中的 a 的取值范
10、围可以是任意实数，即不论 a 取何值， 一定有意义；化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。6如果 ，求 y-2x 的算术平方根。0|3x|y2x2已知 ，求 x 的取值范围。745102. 若 =3-b，则（ ）(3-b)2Ab 3 Bb3 Cb3 Db3与 的异同点1、不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在 中 ，而 中 a 可以是正实数，0，负实数。但 与 都是非负数，即 ， 。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即 时， = ； 时， 无意义，而例若 a0，则 化简
11、为（ ）b2A、 B、- C、 D、-bababa当 时， 22)(二次根式的乘除法基础知识1. 计算： 23_;369_2. )0,(01yxy 3计算： ba125_4. 使等式 1xxA成立的条件是 。5. 当 0a， b时，3_。6、若 =x ，则 x 的取值范围是 。x3+3x2 x+37化简二次根式 5)(得 （ ）7A 35 B 35 C 35 D308. 若 42a，则 A（ ）A. 2 B. C. 2a D. 24a9下列名式中计算正确的是（ ）A. 842164)( B. 02C. 732 D. 204149110. 若 a，则 3a化简后为（ ）A. 1 B. 1a C.
12、a D. a11. 计算:（1）82（2）3 105 （3） 2 （4）)521(12. 化简:（1） 2 （2） 257 （3） 20 （4） 2853能力提升14当 a= 3时，则 215a_15. 把 a的根号外的因式移到根号内等于 。16已知 23x x 3，则（ ）（A） x0 （B） x3 （C） x3 （D）3 x017. 和 的大小关系是（ ） A. 23 B. 2 C. 2 D. 不能确定18. 计算:8（1） a82 （a0） （2） xy10（x0，y0）（3）234162xy（x0，y0）19. 化简:（1） 324ba（a0，b0） （2） yx23（x0，y0） （
13、3） 424ba（ab0）能力拓展与探究20 （2006 安徽省）计算 2 - 9的结果是（ ）A. 1 B. -1 C- 7 D. 521( 2007 芜 湖 市 )如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 10cm，正方形 A 的边长为 6cm、 B 的边长为 5cm、 C 的边长为 5cm，则正方形 D 的边长为（ ） A. 14cm B.4cm C. 15cm D.3cm 二次根式的加减基础知识1.把下列各式化成最简二次根式：(1) 8= (2) 25a= (3) 80=(4)34= (5) 163= (6) 1.=2.判断正误：对的画“” ，
14、错的画“”.(1) 2+5； （ ）(2) 8-3=； （ ）(3) ； （ ）(4) 2-； （ ）9(5)2+=； （ ）(6)43-. （ ）3.计算：(1)27-6=(2) 50+32=(3) 12+63=(4) 2x-8=基础知识1.填空：二次根式加减法的法则是：二次根式加减时，可以先将二次根式化成 二次根式，再将 相同的二次根式进行合并.2.计算：(1) 920-5=(2) 16a+29=10=3.计算：(1) 80-2+5=(2) 19-7=(3)124+0.5-68=(4)2x19+6-34=基础知识1.计算：410-5+=2.计算：(1) 25+7=(2) 8-53627=(
15、3)12-375=11=(4)48+315=3.计算：(1)3+2=(2)2+13-=(3)x+y-2=基础知识1.计算：(1)21-63=(2)5+62-3=2.填空：(1)平方差公式：(a+b)(a-b)= ；(2)完全平方公式：(a+b) 2= ，(a-b)2= .12ba-1 1O3.计算：(1)4+7-=(2)210+3-=(3)23+=(4)26-=二次根是综合.如图所示，实数 a、b 在数轴上的位置，化简： - - a2 b2 (a-b)2.观察下列等式： = = -1 ；2 = = - ；3 2 = = - ；4 3解答下列问题：写出一个无理数，使它与 3- 的积为有理数。你认为这样的无理数可以是_ ；2利用你观察到的规律，化简： ；计算： + + + + 。13
