1、*88 各向同性材料弹性常数之间的关系在建立应力和应变间的关系时，对于各向同性材料，引用了三个弹性常数，它们是 E、G、。 33 中曾经提到，三个弹性常数之间存在着以下关系(8-21) 2(1)现在就证明这个关系。图 822 变一纯剪切应力状态下的单元体。根据倒 83 的分析，主应力 1 存在于 045的主平面上，3 存图 822在于 0135的主平面上，且 13。将 1 和 3 代入公式（818）(818)（单元体的周围六个面皆为主平面时，广义胡克定112321332()()E律）并令 20，得出 1 方向的线应变为(a)113()(1)E此外，由剪切胡克定律，可以求得直角 的剪应变 为xo
2、yxy（b）xyG对单元体 abcd 来说，由于 ，故有 。将所求出的 、 、0xyz0xyxy代入公式（811） ， （811） （平面应xy cos2in2xy变状态分析） ，并令 ，再次求得沿 1 方向的应变为45 12xy将（b）式代入上式，得 （c）12G令（a）,(c) 两式相等，便可得到需要证明的关系式，因为广义胡克定律只适用于各向同性材料，因而由广义胡克定律导出的以2(1)EG上关系式，也只适用于各向同性材料。以上参考材料力学刘鸿文 主编 第二版 上册89 复杂应力状态下的变形比能这一章能过变形比能推导。如果应力和应变关系是线性的，变形比能的公式 。12u于是三向应力状态下的应变能为 ，以应变的广义胡克定律132u（818）代入上式，整理得112321332()()E8-242131231()uE以上参考材料力学刘鸿文 主编 第三版 上册
