1、哈尔滨理工大学学士学位论文- I -一级倒立摆的实时控制摘 要倒立摆系统，顾名思义就是将倒置摆铰链固定在小车的车架上处于不稳定状态，从而通过人为操控使其处于动态平衡状态用来验证相对应的控制算法的可靠性。倒立摆是个非常典型的多变量、非线性、快速的不稳定系统。可以通过倒立摆反应出控制中的许多问题，例如：系统的鲁棒性、稳定性、可靠性、随动性问题，具有重要的理论和应用价值。理论中，倒立摆系统能够检验许多控制理论与控制算法是否有效，并且倒立摆的控制方法在航天，机器人控制中应用广泛。本文通过对直线一级摆的物理模型进行分析，运用了牛顿-欧拉方法进行数学建模，进而通过倒立摆的各种物理参数进行运算，证明一级直线
2、倒立摆系统是开环不稳定的，但其在平衡点附近是能控能观的。本文只讨论研究倒立摆稳摆时的控制方式，对此设计了 PID 控制器，通过 Simulink 仿真来确定控制器参数；还运用了线性二次型最优控制器LQR，用 Matlab软件仿真多次选取矩阵 Q 和 R 得到最合适的反馈矩阵 K。分别运用这两种控制器在实验室的固高台上进行实物操作并记录实验现象；设计模糊控制器并仿真，最后对比以上三种方法的实验结果分析它们的优缺点，为以后更好地开展倒立摆的实物操作提供了多种控制方法与控制思路。关键词 倒立摆; 牛顿-欧拉方法; LQR; PID控制哈尔滨理工大学学士学位论文- II -Real-time Cont
3、rol of an Inverted PendulumAbstractInverted pendulum system, just as its name implies is to inverted pendulum hinge is fixed on the frame of the car is in unstable state, and thus is in a state of dynamic equilibrium by artificial control used to verify the reliability of the control algorithm. Inve
4、rted pendulum system is a very typical multi-variable, nonlinear, unstable system rapidly. Can through the study of inverted pendulum system reflects many problems in control, for example: the system robustness, stability, reliability, follow-up, has important theoretical and application value. Theo
5、ry, the inverted pendulum system can test many control theory and control algorithm is valid, and the inverted pendulum control method in the aerospace, widely used in robot control.This article through to the straight line level of the physical model of inverted pendulum is analyzed, using the Newt
6、on - euler method for mathematical modeling, and then through the operations of the various physical parameters of the inverted pendulum, the inverted pendulum system is open-loop unstable, but is can control can view it in balance. This article just discuss research of inverted pendulum is steady t
7、ime control method, have designed the PID controller, using Simulink simulation controller parameters; Also using the linear quadratic optimal controller - LQR, Matlab software simulation multiple selection matrix Q and R are the most appropriate feedback matrix K. Respectively using the two kinds o
8、f controller in the laboratory physical operation and record the experimental phenomenon; Design simulation of the fuzzy controller, finally compared to the experimental results of the three kinds of methods mentioned above analysis the advantages and disadvantages of them, for later better physical
9、 operation of inverted pendulum in university laboratory 哈尔滨理工大学学士学位论文- III -offers a variety of control and control method is proposed.Keywords Inverted pendulum, Newton-euler method, LQR, PID control哈尔滨理工大学学士学位论文- IV -目 录摘要 .IAbstractII第 1 章 绪论 11.1 倒立摆课题简介 .11.1.1 研究意义 21.1.2 国内外研究状况介绍 21.2 本论文主要
10、研究的内容 .4第 2 章 直线一级摆系统的建模分析 52.1 直线一级摆系统的控制原理 .52.2 直线一级摆数学模型的构建 62.2.1 一级摆模型原理的推导 62.2.2 直线一级摆的数学建模 62.3 一级倒立摆系统的性能分析 102.4 本章小结 11第 3 章 控制器的仿真 123.1 PID 控制 .123.1.1 PID 控制器简介 123.1.2 PID 控制器的仿真设计 133.2 直线一级摆的 LQR 控制 213.2.1 线性二次型最优控制 .213.2.2 直线一级摆 LQR 控制器设计 233.3 基于融合函数的模糊控制 263.3.1 模糊控制简介 .263.3.
11、2 模糊控制的思想方法 273.3.3 直线一级摆的模糊控制 .303.4 本章小结 32第 4 章 实时控制 334.1 直线一级摆实物介绍 .334.2 控制软件简介 .344.3 不同方法的实时控制结果 354.3.1 单回路 PID 的实时控制 .354.3.2 双闭环 PID 的实时控制 .364.3.3 线性二次型调节器的实时控制 39哈尔滨理工大学学士学位论文- V -4.4 本章小结 .40结论 41致谢 42参考文献 43附录 A 45附录 B 51哈尔滨理工大学学士学位论文- 1 -第 1 章 绪论1.1 倒立摆课题简介随着航空航天，机器人，工业过程领域的不断发展，对控制理
12、论领域的要求越来越高并提出了一系列的难度挑战。倒立摆是一个高阶次的、强耦合性、多变量的不稳定的非线性系统 1，要使其稳定，必须要采取非常有效的控制方式和控制策略。并且倒立摆系统的结构简单、价格便宜、物理参数易于修改，是用来研究非线性控制领域，智能控制领域，目标定位控制和变结构控制方式的典型实验装置。倒立摆结合了计算机控制、机器人控制技术、控制理论等多个技术范畴，倒立摆作为一个被控系统，它自己就是一个多变量的、强耦合的、高阶次的、绝对不稳定的非线性系统，可以将其视为一个典型的控制对象来进行研究。最早的研究起始于二十世纪，来自麻省理工的专家们依据发射火箭的助推器的道理设计了一级倒立摆系统实验设施。
13、近些年来新的控制方式不停呈现，我们可以运用倒立摆这类经典的控制对象来验证新控制理论是否有能力来应对绝对不稳定的、多变量的非线性系统，从而来找出较为优秀的控制方法。倒立摆是控制理论研究中的一个很好的实验平台，为自动控制理论的教学和科研实验创造了很好的环境，以便于用来查验某种控制方法与理论，从而加快了新控制思想理论的发展。由于控制理论的应用非常广泛，该系统的研究产生的技术方法将运用在机器控制技术领域、半导体精密仪器加工、导弹阻截、人工智能领域、卫星的飞行控制、航空对接的控制技术中姿态的控制和工业应用等各个方面有着很大的发展前景。倒立摆的类型有许许多多，从只有本来的一级倒立摆拓展出许多的类型，如图
14、1-1,1-2，1-3 所示。图 1-1 环形一级倒立摆哈尔滨理工大学学士学位论文- 2 -图 1-2 平面倒立摆图 1-3 直线倒立摆1.1.1 研究意义倒立摆作为一种非常经典的多变量、强耦合、高阶次的非线性系统被广泛的当做研究控制理论中的被控对象。他给控制理论学科的理论教学与实验搭建了非常好的实验平台。根据倒立摆系统具有以上特点，它一直被人视为经典的研究控制对象，通过研究倒立摆系统不断的发掘发现新的控制策略与控制方法。目前为止已完成了用现代控制理论和经典控制理论以及其他各类智能控制理论对倒立摆实施稳定控制。研究倒立摆成为了控制领域中热门的话题，被誉为：“控制领域中的一颗明珠” 2。1.1.
15、2 国内外研究状况介绍倒立摆研究起于 20 世纪，当时体现为倒立摆的建模和镇定问题的研究，随着现代控制技术的不断发展，在 70 年代后期倒立摆的研究逐渐得到人们的关注，到了 80 年代，模糊理论，模糊控制渗透运用进了倒立摆系统。在接下去的 10 年，神经网络的控制方法用于倒立摆的控制得到了迅速的成长，神经网络的方法控制倒立摆，运用了一种新的概念。他对倒立摆控制的研究有很大的提升。哈尔滨理工大学学士学位论文- 3 -我国研究倒立摆始于 80 年代，1982 年西安交大实现了用最优控制器、降维观测器对二级倒立摆的控制。1983 年国防科技大学完成了一级倒立摆系统的研究和控制 3。张明廉教师所带领的
16、小组率先提起了“拟人智能控制理论” 4框架并且在 1994 年的 8 月完成了单电机控制三级倒立摆。1995 年任章通过振荡控制理论完成了在倒立摆支杆的垂直方向上加入零均值的振荡信号从而改良了倒立摆的稳定性。次年翁正新实现了带观测器的H状态反馈控制器对二级摆的仿真控制。1998 年蒋国飞用 Q学习算法和神经网络相互结合实现了未离散的倒立摆无模型控制，刘琴妹用升级的RBF神经网络实现了二级摆的控制。2001 年单波用神经网络的预测控制算法对倒立摆实行了仿真。对倒立摆系统的研究 我们虽然起步晚，但是发展相当迅速，即便是这样，我国在倒立摆的某些领域已经走在了全球的前端。例如，李德毅是最先提出隶属云的
17、人，并且该理论成功的应用在了三级倒立摆中。李洪兴所提出的变论域模糊控制同样也顺利的运用在了三级摆中，02 年 8 月李教授用变论域自适应模糊控制成功的完成了全球首例“四级倒立摆实物的控制”用具有高维PID控制作用的变论域自适应控制理论完成了对平面二级摆的实物控制.次年完成了全球首例平面三级摆实物控制。此项理论研究产生的方法理论将运用在机器人控制、航空器对接控制、半导体精密仪器加工等方面，具有良好的发展前景。海外对倒立摆研究的时间比国内要早很多，上世纪 60 年代起就对一级摆进行研究。60 年代末，作为一个典型的不稳定、严重非线性例证提出了倒立摆的概念 5。Schacfer 应用bang-ban
18、g 理论于 1966 年完成了对单级摆的控制。1972 年Loscutoff 和Sturgeon运用了极点配置的方法设计出二级摆系统的模拟控制器和全维观测器。S.Mori设计的前馈 -反馈控制器完成了一级摆的控制，并且首次完成对倒立摆系统平衡点附近线性化 6。1977 年K.Furuta完成了二维单级摆的稳定控制，次年他们运用微机处理的手段完成了对二级摆的控制，之后在 80 年和 84 年分别完成了二级摆在倾斜轨道上的控制和具有双电机的三级摆的控制，并用精确线性化与近似线性化相结合的方法完成了平面二级摆的仿真与控制。同年Wattes成功的运用LQR方法实现对倒立摆系统的控制。之后，在 1988
19、 年Charisew.Andson用模糊神经网络实现一级倒立摆控制，1992 年Furuta提出倒立摆的变结构控制，Fradkow在 1995 年提出倒立摆的无源性控制。在 1997 年Wiklund 与Yamkita相继实现了环形一级摆和二级摆的控制，在此同时瑞士国家工程研究院的BemhardSprenger 等完成了直线运动机械臂的平面倒立摆的控制，并且证明具有很好的鲁棒性。哈尔滨理工大学学士学位论文- 4 -1.2 本论文主要研究的内容本论文主要研究的是直线一级摆的稳摆情况，首先是对直线一级摆物理模型进行受力分析，应用了牛顿欧拉方法进行建模，运用简单的matlab 编程得倒立摆是开环不稳
20、定系统，但在平衡点附近是可控可观的，故可以设计控制器，本文运用了三种方法设计控制器并仿真最后进行实物控制，分别是 PID 控制和 LQR 控制，运用 Simulink 和 Matlab 软件进行仿真来选取参数最后用于实物控制，学习模糊控制设计模糊控制器对一级摆进行仿真，最后比较 PID、LQR 和模糊控制各自的优缺点，其目的是为了更好的开设大学生基于倒立摆的实物操作，为之提供了良好的控制方法与控制思路，更利于提升大学生用理论知识进行实物操作的实践能力。哈尔滨理工大学学士学位论文- 5 -第 2 章 直线一级摆系统的建模分析2.1 直线一级摆系统的控制原理倒立摆种类有很多，有直线倒立摆、环形倒立
21、摆、平面倒立摆、复合式倒立摆等等，现在就直线一级倒立摆来说，它的硬件部分有，电控箱、伺服电机、传感器、旋转光电编码器与运动控制卡、计算机与倒立摆本体。由以上这些硬件构成一个闭环系统，伺服电机系统可以通过同步皮带与小车进行连接，并且用此来控制小车在水平直线轨道上的运动，均质的刚体摆杆和小车相连接，通过小车的移动使摆杆处于竖直倒立的状态 7，因为旋转光电编码器是角位移的传感器，他输出的信号是数字信号，所以能运用计算机来处理，不需要放大和转换运用起来十分便利，能很好的用旋转光电编码器来测量出摆杆的偏转角度。然后将编码器、状态反馈的信息、位移传感器的信息输入到运动控制卡中，而运动控制卡将用一定的算法把
22、汇集的信息转变为控制信息输出给伺服电机，这样就能组成一个闭环的系统从而使倒立摆稳定。其中，计算机不断的从控制卡中读取实时的信息，经过计算并且决定控制决策，其原理是根据倒立摆系统的实时状态不断地调用相应的程序通过电控箱的转换电路形成相对应的控制量然后来驱动电机的转动。其运动控制原理图如图 2-1 所示：计算机 运动控制卡 伺服驱动器 伺服电机倒立摆光电编码器位移传感器图 2-1 直线一级摆系统的运动原理图哈尔滨理工大学学士学位论文- 6 -2.2 直线一级摆数学模型的构建2.2.1 一级摆模型原理的推导通常来讲系统建模可以分成机理建模与实验建模。所谓的机理建模事实上就是通过研究对象的运动规律，在
23、此方面上运用物理化学等知识以及数学方法建立起系统内部输入状态关系。而实验建模则是指实验者给对象加上一系列已确定的输入信号，激励研究的对象并用传感器观测其输出，运用数学的手段建立了输入输出直接的关系 8。而对于倒立摆这个不稳定的系统，要对它进行实验建模存在着很大的难度，但如果忽略一系列的外界成分之后，比如伺服电机摩擦力、空气的阻力、倒立摆杆连接点处的质量、传动皮带的摩擦因素之后，可将小车视为质点，摆杆可视为均质刚体，摆杆围绕转轴转动便可应用力学方法来构建比较准确的数学模型，现在人们普遍应用两种方法来进行倒立摆的数学建模，分别是牛顿欧拉方法和欧拉拉格朗日方法，本文应用前者方法来进行数学建模。 2.
24、2.2 直线一级摆的数学建模直线一级倒立摆系统示意图如图 2-2 所示，系统由沿导轨运动的小车和通过固定在小车上的摆杆组成，如图 2-1 所示：直线一级倒立摆系统各项物理参数如表 2-1 所示：Mvm 图 2-2 一级倒立摆系统示意图哈尔滨理工大学学士学位论文- 7 -表 2-1 倒立摆系统参数符号 数值及单位 含义M 1.096kg 小车的质量m 0.109kg 一级摆杆质量l 0.25m 一级摆杆质心到转动轴心的长度I 0.034 一级摆杆的转动惯量b 0.1N/m/sec 小车滑动的摩擦因数x m 小车相对于初始位置的位移m/s 小车的速度rad 摆杆与垂直向下方向的夹角rad 摆杆与垂
25、直向上方向的夹角本文用牛顿欧拉方法来数学建模，首先对小车和摆杆分别隔离并受力分析，小车隔离的受力分析图如图 2-3 所示，摆杆隔离的受力分析图如图 2-4 所示：XFP xbN图 2-3 小车隔离受力分析图对小车单独进行受力分析，其中 N 为小车和摆杆互相间作用力的水平分量，P 是小车与摆杆之间互相作用力的垂直方向的分量。我们认定为小车朝伺服电机方向运动为正方向，并且规定摆杆按顺时针方向旋转为正方向。哈尔滨理工大学学士学位论文- 8 -NPmg图 2-4 摆杆隔离受力分析图在理想情况下，我们忽视各种摩擦力和阻力，可以将直线一级摆视为由小车与均质摆杆构成的系统。然后对该系统进行受力分析得： Nx
26、FMb对摆杆的水平方向受力分析得到： )sin(2ldtmNcox将该等式带入原式可得到运动方程：（2-1）FllbM sins2）（ 个 运 动 方 程 ：进 行 受 力 分 析 可 得 另 一单 独 对 摆 杆 的 垂 直 方 向 )co(2ldtmgPssin2由力矩平衡可得到： INllcoi因为力矩的方向 所以等式的前面会有sii,sco,负号。将这两个方程合并约去 P 与 N 可得到：(2-2) coin)(2xmlglmlI(2-3)ulxbM)(）（哈尔滨理工大学学士学位论文- 9 -以下开始推导传递函数：由上式 2-3 进行拉氏变换可以得到：(2-4)()()()( 22 s
27、UmlfsbXsmMgfflI）（(2-5)2lI将（2-5 ）式子代入（2-4 ）第二个方程中可得：(2-6)()()()()()( 2222 slsglIbsglImM ）（整理上式可得到传函如下：(2-7)sqbmglsqlMsqmlIbsU23242)()()(）（注： 2(llmMq推导状态空间方程如下： uDCXYBA uMmlIMmlIglxmlMIb lIlIxlIx 222 2222 )()()(- )()()( umlIlxmlIglmlIbllx 2222222 )(00)()(0 11哈尔滨理工大学学士学位论文- 10 -（2-8）xxy01由本文所得物理参数可得（2-
28、9）0825.73.016A356.28.B2.3 一级倒立摆系统的性能分析通过对一级摆的建模，我们能在系统平衡点附近通过线性化能得出系统状态方程，可以分析系统的可控可观性能，并用 Matlab 软件求取特征根A=0 1 0 0;0 -0.0833 0.6083 0;0 0 0 1;0 -0.2357 27.8285 0;eig(A)ans=0-0.07815.2727-5.2779可以看出系统有 2 个特征根位于坐标平面的右半面，所以该系统是不稳定的。接下来输入程序判断其能控能观性：A=0 1 0 0;0 -0.0833 0.6083 0;0 0 0 1;0 -0.2357 27.8285
29、0;B=0;0.8832;0;2.3566;C=1 0 0 0;0 0 1 0;Tc=ctrb(A,B);rank(Tc)ans=4To=obsv(A,C);rank(To);Ans=4哈尔滨理工大学学士学位论文- 11 -由此可得系统的能控能观矩阵都满秩，所以直线一级摆在其平衡点位置是完全能观能控的，故能设计控制器控制其稳摆。2.4 本章小结本章开始主要介绍了直线一级倒立摆的控制原理，然后再牛顿欧拉方法与欧拉拉格朗日方法中选一种进行数学建模，本文选用的是牛顿欧拉方法，利用力学分析，推导出其倒立摆的传递函数以及状态方程。再求取其系统极点，证明该系统是不稳定的系统，通过计算其能控能观矩阵的秩说明
30、一级倒立摆在平衡点附近可控，故能设计控制器。哈尔滨理工大学学士学位论文- 12 -第 3 章 控制器的仿真3.1 PID 控制3.1.1 PID 控制器简介PID 控制技术是几个发展比较早的控制策略中的一个，PID 控制它的算法简单明了而且还具有很好的适应性与鲁棒性，在工业控制过程中应用广泛，在上世纪三十年代之前，除了在最简单的环境下应用开关控制之外，PID 控制基本是唯一的控制方式。在此之后，随着现代技术的飞速发展，越来越多的控制方式也应运而，生比如模糊 PID9、神经网络控制技术等等。但是基于 PID 控制的优点，它仍然是目前使用最为广泛的控制方式，PID 控制的优点可以概括为：1PID
31、控制其原理简单明了，生活中工业中使用起来快捷易懂，人们很容易接受，其中比例调节能调节系统的强度可以控制系统的相对稳定性，积分环节可以消除残差，微分环节通过运用对偏差的给出控制量来提高对系统的控制质量。这些概念和理论有着非常重要的意义。2PID 控制技术的使用非常广泛。我们能通过日常生活中大规模工业化控制的应用可以证实 PID 完全能够很好的解决许多的控制问题，例如在化石化工还有电力等许多其他的领域都可以发现 PID 控制器的身影。3PID 控制器具有较好的鲁棒性，并且 PID 控制器对过程模型的依赖较小。一般的 PID 控制器整定方法对过程特性的要求并不是很高，可以通过几个简单的测试来完成参数
32、的设定，所以系统可以具有很好的鲁棒性，但是对过程控制变化的敏感性比较差。虽然 PID 控制简单、有效，但对于那些高性能、高负荷、控制难度较大的系统来说 PID 控制的实际效果可能并不是那么让人满意。随着计算机技术在工业实际中应用的加深，产生了很多新颖的控制技术比如有模糊控制、智能控制、自适应控制与预测控制，但是其中许多仍然是以 PID 技术为基础产生的控制方法，如预测 PID 控制、模糊自适应 PID 控制等等。现如今，高级的 PID 控制器已逐渐进人市场。但是 PID 控制也有些不足的地方，由于人工整定的 PID 参数是由人来操作完成的，在很大程度上来说有许多情况下整定的参数是不理想的。再者
33、，过程控制中的时变性与非线性会导致许多 PID 控制回路的运行并不是很好。所以 PID 参数的自整定引起了越来越多的关注，随之而来的是自整定 PID不断发展，大批量的商业化自整定 PID 涌入市场。哈尔滨理工大学学士学位论文- 13 -所谓的 PID 控制就是反馈系统偏差的比例积分微分的线性组合而形成的反馈规律。虽然 PID 控制是经典控制的一部分，但仍在现代工业过程的控制中有着不能或缺的作用。随着今后计算机技术的不断成长进步，PID控制肯定会有新的更好的发展。理想的模拟 PID 控制器数学模型：（3-1）)()(1)()(0dteTtetKtutip上式（3-1 ）中 u(t)是控制器的输出
34、、 e(t)是输入和输出的偏差信号、，其传函是：是 微 分 时 间是 积 分 时 间 ，是 控 制 器 的 比 例 系 数 、 dip Tk（3-2）)1()( STSsGdipDipc 其中各个系数的作用：（1）比例调节（P ）的比例系数 ，其大小决定比例调节器调节的pK快慢，如果 过大就会导致系统呈现出振荡和超调，但是如果 太小，pK pK那么又起不到调节作用。（2）积分调节（I）的积分作用可以消除余差。 是积分常数，其大iT小决定积分作用的强弱程度。但积分作用会使系统稳定性变差，所以选取积分常数大小的时候一定要选择得当。（3）微分调节（D）的作用是若偏差（e）的瞬时波动过快时，微分调节器
35、就开始响应从而用来抑制偏差变化，能使系统更加趋于稳定，改良系统的动态性能。接下来通过选取不同的 PID 参数来进行仿真。3.1.2 PID 控制器的仿真设计3.1.2.1 单闭环 PID 控制器的设计仿真由上章节的分析可以得到数学模型如（2-8） ， （2-9）可以得到系统结构图如图 3-1 所示：PID 控制 KD(s) G（s）r(s)=0f(s)=F一图 3-1PID 控制系统结构图哈尔滨理工大学学士学位论文- 14 -如图所示，KD（S）表示的是控制器的传函；G（S）为一级倒立摆传函，r(s)表示输入信号； f(s)表示扰动信号。在此 r(s)=0;所以上图变化为图3-2 所示f(s)
36、=F 倒立摆 G（s）PID 控制 KD（s）U(s)一y(s)图 3-2PID 控制变化后结构图Simulink 环境下的系统仿真根据图 3-2 在 Simulink 环境下画如下图图 3-3 Simulink 中单回路 PID 控制系统此仿真图针对的是倒立摆对摆杆角度控制的仿真，当给小车加上个1N 的脉冲信号时候摆角仿真图如图 3-4 所示，其中横坐标的单位是秒，纵坐标的单位是弧度。哈尔滨理工大学学士学位论文- 15 -图 3-4 仿真图1,1DiPK此时我们所选取的参数是 得到图 3-4 所示仿真曲ip，线可以看出此时的闭环系统是不稳定的.。图 3-5 仿真图110DKipK，因为图 3
37、-4 系统闭环不稳定所以我们提高比例反馈系数，取得如图 3-5 所示仿真曲线，但在曲线中我们明显10DipK，可以看出响应的速度过慢，而且振荡次数过多，超调量偏大，我们知道加大比例系数，能加快系统的响应速度，但是会增加系统的振荡同时也会增加系统的超调量，所以在加大比例系数的同时，需要加大积分系数与微分系数，这样一来既可以加快系统的响应，又可以适当调节稳定时间，合理的改变系统的动态稳定性，取不同的系数。哈尔滨理工大学学士学位论文- 16 -图 3-6 仿真图10,01DKipK选取 时得到响应曲线图 3-6，系统趋于稳定，,01DipK但稳态性能不是很理想，提高 值图 3-7 仿真图20,1,0
38、DipKK选取 ，得到图 3-7 响应曲线，此时系统稳2,1,0DipK态性能较好但进入稳态时间过久，所以我们加大 Ki 的值，加快其进入稳态的时间。选取 ，响应曲线表明系统在 4S 左右进入0,ip，稳定状态，且超调量小于 0.95%并且没有稳态误差，动态性能好。如图 3-8 所示。哈尔滨理工大学学士学位论文- 17 -图 3-8 仿真图20,10DipKK，考虑小车位移的系统控制结构图如下：PID 控制器KD（s） 摆杆 )(1SG车 (S)2r(s)=0一f(s)=F x(s)图 3-9 小车位置系统结构图运用 Simulink 软件建立仿真图如图 3-10 所示图 3-10 Simul
39、ink 环境下小车位置结构图y(s)哈尔滨理工大学学士学位论文- 18 -单回路 PID 小车位置的仿真控制结果如图 3-11小车位置的仿真图1-3图从图 3-11 的小车位移曲线可以得出，单回路 PID 控制无法做到控制小车的位置，大约在 1S 之后小车的位移不可控。 3.1.2.2 双回路 PID 控制的设计仿真直线一级倒立摆的核心控制理念就是要求在摆杆不倒的情况下使小车位置可控 )(1SD）（ sD2)(3S)(1G)(2S)()(1图 3-12 双 PID 控制系统结构图K S)(2SG)(2D一)(+)(sr )(图 3-13 系统内环校正图哈尔滨理工大学学士学位论文- 19 -，一
40、开始内环在没有加上 PID效 模 型是 伺 服 电 动 机 与 减 速 等其 中 6.1sK校正前的传函是 ，所以我们应该选择合适的内环控制器来124.6)(sF）（进行校正，经过应用 Matlab 编程绘制出各个控制器的根轨迹图形来选取合适的控制器。根据结果分析我们最后选用 PD 控制器来保证闭环系统的稳定，以下就是参数的选取 40-64)(121222 KsSDsGKWS ，）（ 625.17.5.767.064-7.021 ssD）（， ， 64.1sW）（为得 到 系 统 内 环 传 递 函 数(二) 回 路 外 环 控 制 器 设 计双 PI )2.(0-212 ssGs）（）（）（
41、 ）（ 3sK)(2SW)(1SGK=11D一 )(sXr ）（ sX)(S图 3-14 外环系统结构图由此我们可以看出系统开环传函是一个高阶的非最小相位系统，对此我们要对系统外环模型进行降阶处理，可以得到近似的一阶传函为： 642.12sW）（ 0G）（ 12.0),1()57()( 33212 ，取）（）（ KssDss(.01D）（在 Simulink 环境下建立如下的仿真结构图如图 3-15 所示：哈尔滨理工大学学士学位论文- 20 -图 3-15 Simulink 环境下双回路 PID 控制图 3-16 双回路 PID 摆角仿真曲线图 3-17 双回路 PID 小车位移仿真曲线由图
42、3-16，3-17 得，摆角最大振幅为 0.16rad，小车最大位移为 1.1m系统在大约 9S 后进入平衡状态，即达到小车位置与摆杆摆角稳定。哈尔滨理工大学学士学位论文- 21 -3.2 直线一级摆的 LQR 控制3.2.1 线性二次型最优控制线性二次型（LQLinear Quadratic）指的是系统状态方程是线性的，指标函数是控制变量、状态变量的二次型 10。如今 LQR 已经成为了反馈控制系统设计的一种重要方式。LQR 的特点是它给多变量的反馈系统设计提供了一个很好的分析方法。它既可以用于时变系统，也可以用来处理有关于扰动信号和噪声的测量问题，还可以用来处理有限与无线时间区间问题 11
43、。LQR 控制器其基本原理是线性二次型的最优控制。它的目的在于：当系统状态因为各种原因而偏离了平衡状态时，能在损耗较少的能量的情形下使各状态分量继续靠近于平衡状态。线性二次型最优控制所研究的系统都是线性化的或者是可线性化的，而且系统的性能指标是控制变量、状态变量的二次型函数的积分，它的解比较容易求得并且能够做到非常好的控制效果 12。所以在工业工程上的应用非常广泛，其控制原理图如 3-18 所示： DuCxyBAK一R + u y图 3-18 LQR 控制结构图由系统方程得：（3-3）BuAX可以得到最优控制向量矩阵 K：（3-4）)(tx可以得到性能指标的最小值（3-5）021dtRuQJT
44、矩 阵： 正 定 厄 米 特 或 实 对 称 特 或 实 对 称 矩 阵： 正 定 或 半 正 定 的 厄 米RQ哈尔滨理工大学学士学位论文- 22 -如上所述，LQR 控制器的控制规律是遵循了线性二次型最优控制规律，所以只要我们能确定反馈矩阵 K 的所有元素，就能使性能指标达最小那么。以下开始解决最优化问） 而 言 都 是 最 优 的（对 任 意 初 始 状 态 0)(xtKxu题，把上式（3-4）代入（3-3）式中： （3-6）xBKAx)(我们假设 A-BK 是一个稳态矩阵，那么 A-BK 所有的特征值都有负实部，将上式（3-4）代入（3-5）得：（3-7）00)()( xdtRQxdt
45、RxQJ TT（3-8）BKAPBAPxRKQxTT ()(. ：都 应 该 成 立 则 要 求 如 下意 的上 式 方 程 的 两 端 对 于 任(3-9) )(KBATT）（可得，若 A-BK 矩阵是稳态矩阵，那么必定存在正定矩阵 P 能满足式（3-8）则可以用式（3-9 ）来确定 P 矩阵的元素并且检验该矩阵是否正定（找到一个 P 矩阵即可，但该阵必须是正定的）计算性能指标：（3.10）)0()(0)(0 xxxdtRKQxJ TTTT 假设 A-BK 的特征根都有负实部则 趋近于 0 可以得到：)(（3-11）PJT则性能指标可以由 x(0)与 P 求取。我们为了求得线性二次型最优控制
46、解可以先假设 称 矩 阵 ， 所 以 有 ：矩 阵 为 正 定 厄 米 或 实 对R为 非 奇 异 矩 阵T,） 得 ：上 式 带 入 （ 9-3(3-12) 0)(TKQBABKAT）（ )( 111 QPBRPAT求取 K 的极小值： 取 极 小 值该 式 非 负 ， 若 改 等 式 为 0,)()( 11 xPTTx TKBTT11-, ）（ PBRAtxRtu需 要 满 足如果在已知状态方程的情况下，我们可以利用 Matlab 中的 LQR 函数来求解 K 矩阵，方法如下所示：哈尔滨理工大学学士学位论文- 23 -CXYBuA对 于 线 性 系 统然后选取 Q 与 R，利用 K=lqr
47、(A,B,Q,R)得到矩阵 K。我们可以通过改变 Q 矩阵的值来得到不同的响应曲线，一般来说矩阵Q 的值越大，系统的抗干扰能力越强，系统调整时间就越短，然而矩阵 Q也不能过大，需要合理选取 Q 与 R。3.2.2 直线一级摆 LQR 控制器设计Matlab 软件下的 LQR 仿真语句如下：A=0 1 0 0;0 -0.0833 0.6083 0;0 0 0 1;0 -0.2357 27.8285 0B=0;0.8832;0;2.3566C=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1D=0;0;0;0;x=1;y=1;Q=x 0 0 0;0 0 0 0 ;0 0 y 0;0
48、0 0 0R=1;K=lqr(A,B,Q,R)Ac=(A-B*K);Bc=B;Cc=C;Dc=D;T=0:0.005:5;U=ones(size(T);x0=0 0 0 0;Y,X=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T,x0);plot(T,Y)grid on;title( LQR 控制);legend(Cart,VCart,single,Vs);首先取矩阵 Q 为 ，R=1；我们通过选取不同的参数0yxx,y 的值来改变不同的矩阵 Q。首先取 x=1,y=1，在 Matlab 软件中运行上述程序得到矩阵 K=-1.000 -2.0455 30.2001 5.7600,得到如图 3-19 所示哈尔滨理工大学学士学位论文- 24 -0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.2 LQR 制制CartVCartsingleVs图 3-19 x=1,y=1 时阶跃响应曲线由图 3-19 可得，小车的位移最大幅度靠近于 1
