1、专题 6 全等三角形（二）对于比较复杂的计算和证明问题，已知条件和结论之间的关系不明确，为了揭示图中隐含的性质，或是把分散的元素适当集中，或者把复杂的图形细分，或者为发挥特殊点线的作用，经常用作辅助线的方法加以沟通，甚至于构造出一个图形来帮助理清条件和结论之间比较模糊的相互关系，从而达到导出结论的目的。这里我们只举例说明一些基本问题的解法，初步揭示辅助线的作用，以有利于进一步学习。例 1在等边ABC 中，有内点 D，使得 DADB，又BPAB，DBPDBC ，求：BPD 的度数。解：已知 BPAB，而 ABBC，得 BPBC ，BD 公用，又DBP DBC，所以DBPDBC（SAS ） ，则B
2、PD BCD（全等三角形对应角相等） ，又 DADB（已知） ，CACB ，CD 公用，因此DACDBC（SSS） ，得出DCA DCB 30 。 （全等三角形对应角相等） ，所以BPD30 。例 2如图所示，BD，ACAE ，求证BOEDOC。分析：在BOE 和DOC 中，B D，又BOEDOC（对顶角相等） ，欲证这两个三角形全等，还缺少边相等的条件，为此，必须利用“在两个三角形中，如果有两个角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为 AAS） ”，判断ABCADE，所以 ABAD，由条件 ACAE 可得 BEDC，于是，结论获证。证明：已知BD，ACAE ，A 公用，所以A
3、BCADE（A.A.S ） ，则 ABAD（全等三角形对应边相等） ；又AEAC，所以 ABAEADAC（等量公理） ，即BEDC ；BOEDOC（对顶角相等） ，BD，BEDC，所以BOEDOC（A.A.S ） 。例 3在两个三角形中，两边分别相等且第三边上的中线也相等，则两个三角形全等。分析：假设在ABC 和ABC 中，ABAB，ACAC，AD、AD 分别为 BC、BC上的中线，且ADAD。在两个三角形中，虽然各有三条线段相交于一点，但三条线段分散，可通过添设适当的辅助线， “构造”出有关的全等三角形加以利用。分别延长 AD、AD，使 DEAD，DE AD，连结 BE，BE。考虑ADDE
4、，CDBD，BDE=ADC ，所以BDECDA，所以 BEAC，同理可得 BEAC 。因为 ABAB，ACAC，ADAD，所以 BEBE，AEAE，所以ABEABE （S.S.S ） ，则 BAEBAE，BEA BEA， （全等三角形对应角相等）所以BACBAC ，从而结论可以获证。证明：略例 4在ABC 中，ABC100 。 ，C 的平分线交 AB 边于E，在 AC 边上取点 D，使得CBD20 。 ，连结 DE。求：CED的度数。解：分别作 EFCB 的延长线，EHAC，EGBD。在 RtCEF 和 RtCEH 中，CE 公用，ECFECH（已知） ，则 RtCEFCEH(AAS),所以
5、EFEH（全等三角形对应边相等） 。因为ABC100 。 ，DBC20 。 ，所以ABD80 。 ，又EBF80 。 ，与上同理可证：EFEG，得出 EHEG，而 ED 公用，所以 RtEDHRtEDG(HL)，所以EDHEDG（全等三角形对应角相等） 。CEDEDHECD （BDHBCA） 20。 10 。 ，所以CED10 。1212例 5在等腰直角ABC 中，M、N 为斜边 AB 上的两个点，且不与 A、B 重合，MCN45。 ，当 M、N 沿 AB 移动时，线段 AM、BN、MN 的长度都发生相应的变化。试判断：这三条线段能否组成直角三角形？并对你的结论加以证明。解：结论：线段 AM、
6、MN、BN 能构成以 MN 为斜边的直角三角形。以 C 为旋转中心将CAM 逆时针旋转 90。 ，到CBP 的位置，则CBPCAM，CBPA45 。 ，所以NBP90 。 ，BPAM，连结 NP，于是，BN、BP、NP 构成直角BNP。因为 CMCP，CN 公用，MCNNCP45 。 ，所以MNCPNC（SAS） ，得MNNP（全等三角形对应边相等） 。因为 MNNP，AMBP，所以线段 AM、MN、NB 可组成以 MN 为斜边的直角三角形。例 6在ABC 中，B90 。 ，AD、CE 分别为BAC、ACB 的平分线，且 AD、CE 相交于 O 点。观察、猜想：AOC 和四边形 ACDE 的面
7、积之间有着怎样的数量关系。并对你的猜想加以证明。解：猜想 SAOC SACDE。在 AC 上，截取 AGAE，CFCD，12因为 CDCF，CO 公用，OCDOCF，所以CODCOF（S.A.S） ，则 SCOD S COF 。同理可证SAOE S AOG 。因为BACBCA90 。 ，所以 （BACBCA）45 。 ，即AOECOD 45 。 ，12则FOG 45 。 ，而DOE135 。 ，所以 OFOA，OGOE。若以 O 为旋转中心将OFG 顺时针方向旋转 90。 到OHE 的位置，因为 OHOFOD，则DOE 和EOH 的面积相等，所以 SDOE S FOG 。综上，S AOC SA
8、CDE。12练习题一、选择题1 如图所示，AB/DC，AD/BC，AC 与 BD 交于 O 点，AEBD 于 E，CF BD 于 F，那么图中全等三角形有（ ）（A）5 对（B）6 对（C）7 对（D）8 对2 已知 a，b，c 为ABC 的三边长，且满足 a2+ab-ac-bc=0 和 b2+bc-ba-ca=0，则ABC 是（ ）（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等边三角形（D）等腰直角三角形3 若 C 为线段 AB 上的一点，且 AC AB，又 AD、BE、CF 都垂直于另一条直线13l，D、E 、F 为垂足，那么，线段 AD、BE、CF 之间的数量关系是（ ）（A）BE3CF AD
9、12（B）BGC （BACBDC）（C）BGC （BACBDC）3（D）BGC （BACBDC）25 已知 P 为等边ABC 内的一点，APB 、BPC、CPA 的度数之比为 5：6：7，那么，以 AP、 BP、CP 为边的三角形的三个内角的度数之比为（ ）（A）3：4：1（B）3：4：2（C）4：5：2（D）4：5：36 在具有下列条件的两个三角形中，可以证明它们全等的是（ ） 。（A）两个角分别对应相等，一边对应相等（B）两条边对应相等，且第三边上的高也相等（C）两条边对应相等，且其中一边的对角也相等（D）一边对应相等，且这边上的高也相等7 已知三角形的一边是另一边的 3 倍，则该三角形的
10、最小边长必满足下列关系式中的（ ） 。（A）最小边长在三角形周长的 与 之间164（B）最小边长在三角形周长的 与 之间8（C）最小边长在三角形周长的 与 之间10（D）最小边长在三角形周长的 与 之间1208 若ABC 的最大角为 ，最小角为 ，且 24 。 ，那么， 和 的取值范围是（ ）（A）60 。 75 。 45。 50 。（B）65 。 75 。 ，45 。 50 。（C）70 。 80 。 ，44 。 52 。（D）68 。 76 。 ，44 。 52 。二、填空题9 在ABC 中，AB AC，D 是 BC 边上的一点，CFBD，BECD，若A46 。 ，则EDF 。10 在AB
11、C 中，A96 。 ，延长 BC 至 D。ABC 和ACD 的平分线相交于 A1; A1BC 和A1CD 的平分线相交于 A；依此类推，A4BC 和A4CD 的平分线相交于A5，则BA5C 的大小是 。11 在ABC 中，BAC 90 。 ，ADBC 于 D，CE 为BAD 的平分线，交 AD 于E，AF 为BAD 的平分线，交 BC 于 F，连结 EF，则 EF 和 AB 的位置关系是 。12 在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若 AC6，AD8，则 BC 的取值范围是 ；AB 的取值范围是 。13 在ABC 中，C 90 。 ，E 为 AB 的中点，EDAD 且交 BC 于D，CA
12、D ：DAB4：7，则 B 的度数是 。14 在直角ABC 中，ACB90 。 ，AMAB 且 AMAB。BN 垂直 MC 所在的直线于 N，APAC 交 NB 所在的直线于 P。那么，ACP 的度数是 。15 在ABC 中，AC 6，AB 12，BAC 的平分线与 BC 的中垂线相交于 O 点，OMAB（或其延长线）于 M，ONAC（或其延长线）于 N，那么，AM 的长为 。16AD 为ABC 中BAC 的角平分线， DMAB 于 M，DN AC（或其延长线）于N，又DMN 为 15。 ，则BAC 的度数为 。三、解答题17 在ABC 中，ACB 的平分线交 AB 于 E，过 E 点作BC
13、的平行线交 AC 于 F，交外角ACD 的平分线于 G。求证：F 为 EG 的中点。18 在ABC 中，B 60 。 ，BAC 和BCA 的平分线 AD 和 CF 交于 I 点。试猜想：AF、CD 、AC 三条线段之间有着怎样的数量关系，并加以证明。19 在直角ABC 中，CA CB，BD 为 AC 上的中线，作ADFCDB，如图，连结 CF 交 BD 于 E，求证：CFBD。20 以ABC 的边 AB、AC 为边向形外作等边ABM、CAN，BN 和 CM交于一点 P。试判断：APM、APN 的大小关系，并加以证明。参考答案1.C 2.C 3.D 4.B 5.B 6.A 7.B 8.D 9.6
14、7 。 10.3 。 11.互相平行（提示：CEAF） 12.4BC28,10AB22 13.35 。 14.35 。 15.9 16.30 。 17.因为 CE 平分ACB，所以ACEBCE ，又因为 EG/BC，所以FEC ECB，则FECFCE，所以 FEFC。同理可证：GFFC，所以 GFFE，即 F 为 EG 的中点 18.在 AC 上截取 AEAF，可证AIEAIF，所以AIEAIF。因为B60 。 ，所以BACBCA120 。 ，则AIF （BACBCA）60 。 ，所以12AIECIE60 。 .又因为CID CIE60 。 ，ICDICE，CI 公用，因此CIECID，所以
15、CDCE。得出 AFCDAE CEAC 19.取 AB 的中点 M，连结 CM，则 CMAMBM，CM 交 BD 于 N，可证CDNADF，所以 CNAF。进而可证CNBAFC，则 ACFCBN，于是结论获证 20.可证ACMANB，所以ACMANB。又可考虑MPN PCNPNCPCA ACN PNC PNAPNCACNACNANC120 。 .若在 NB 上截取 NQCP，连结 AQ，利用“S.A.S”可证得ACP ANQ，所以CAPNAQ，因为QAC NAQ 60 。 ，则QACCAP60 。 ，而 APAQ，所以APQ 为等边三角形，因而APQ60 。 ，AP 平分MPN 。所以APM APN
