1、课时作业 15 均值不等式时间 ：45 分钟 满分：100 分课堂训练1已知 1(x0，y 0)，则 xy 的最小值是( )5x 3yA15 B6C 60 D1【答案】 C【解析】 12 ，5x 3y 15xyxy60，当且仅当 3x5y 时取等号2函数 f(x)x 3 在(，2上( )4xA无最大值，有最小值 7B无最大值，有最小值1C有最大值 7，有最小值1D有最大值1，无最小值【答案】 D【解析】 x2， f(x)x 34x 32 3 x ( 4x) x( 4x)1，当且仅当x ，即 x2 时，取等号，4xf(x)有最大值1，无最小值3已知两个正实数 x，y 满足 xy4，则使不等式 m
2、 恒1x 4y成立的实数 m 的取值范围是_【答案】 ( ，94【解析】 2 .1x 4y (x y4 )(1x 4y) 54 y4x xy 54 14 944求函数 y (x1)的最小值x2 7x 10x 1【分析】 对于本题中的函数，可把 x1 看成一个整体，然后将函数用 x1 来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理【解析】 因为 x1，所以 x10.所以 y x2 7x 10x 1 x 12 5x 1 4x 1(x 1) 52 594x 1 x 1 4x 1当且仅当 x1 ，即 x1 时，等号成立4x 1当 x1 时，函数 y (x1)，取得最小值
3、为 9.x2 7x 10x 1【规律方法】 形如 f(x) (m 0，a0)或者 g(x)ax2 bx cmx n(m0，a0)的函数，可以把 mxn 看成一个整体，设mx nax2 bx cmxn t，那么 f(x)与 g(x)都可以转化为关于 t 的函数课后作业一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)1设 x0，则 y33x 的最大值是( )1xA3 B33 2C 3 2 D13【答案】 C【解析】 y33x 3(3x )321x 1x 3x1x32 .3当且仅当 3x ，即 x 时取“” 1x 332下列结论正确的是( )A当 x0 且 x1 时， lgx 21lgxB当 x0 时，
4、2x1xC当 x2 时，x 的最小值为 21xD当 00 且 x1 时，lgx 的正 负不确定， lgx2 或 lgx 2；C 中，当 x2 时， (x )min ；D 中当1lgx 1lgx 1x 5202a，a2 ，ab1 ，即 a2b 2 .12 12 12方法二：特值检验法：取 a ，b ，则13 232ab ，a2 b2 ， ，a2b 2最大49 59 591249134已知 abc0，则下列不等式成立的是( )A. 1a b 1b c 2a cB. bc0，ab0， bc0，ac0，(ac) (1a b 1b c)( a b)(bc) (1a b 1b c)2 b ca b a b
5、b c22 4.b ca ba bb c .1a b 1b c 4a c 2a c5下列函数中，最小值为 4 的是( )Af(x)x Bf(x)24x x2 5x2 4C f(x)3 x43 x Df(x) lgxlog x10【答案】 C【解析】 A、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f( x)2 2 2( )4，x2 5x2 4 x2 4 1x2 4 x2 4 1x2 4要取等号，必须 ，即 x24 1，这是不可能的，排x2 41x2 4除故选 C.6今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的
6、一半就是物体的真实重量设物体放在左右托盘称得的重量分别为 a，b(ab)，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A. ；大 B. ；小a b2 a b2C. ；大 D. ；小ab ab【答案】 D【解析】 设物体真实重量为 m，天平左、右两臂长分别为l1，l2，则ml1al 2ml2bl 1得 m2l1l2abl 1l2m ab又 且 ab， 等号不能取得，故 m0，y0，x2y 2xy 8，则 x 2y 的最小值是( )A3 B4C. D.92 112【答案】 B【解析】 x2y 2xy8， y 0，8 x2x 21”“1 时，不等式 x a 恒成立，则实
7、数 a 的取值范1x 1围是_【答案】 (，3【解析】 x1 ，x 0，1x 1要使 x a 恒成立，设 f(x)x (x1)，则 af (x)min对1x 1 1x 1x1 恒成立又 f(x)x x1 12 13，1x 1 1x 1 x 1 1x 1当且仅当 x1 即 x2 时取“” 1x 1a3.三、解答题(每小题 20 分，共 40 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11设 x， yR ，且 xyxy2，(1)求 xy 的取值范围；(2)求 xy 的取值范围【解析】 (1)2x yxyxy( )2，x y2当且仅当 xy 时取“ ” (xy) 24(xy)8 0.(xy)2
8、 212.xy0，x y2 .12xy2 2，当且仅当 xy 1 时取 “” 3 3故 xy 的取值范围是 2 2，)3(2)2 xyxy2 xy，当且 仅当 xy 1 时取“” xy 3( )22 2.( 1) 23.xy xy xy又 x、y0， 10. 1 .xy xy 30 1.xy 30xy42 ，即 xy 的取值范围是(0,42 3 312某渔业公司今年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用 12 万元从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加 4 万元该船每年捕捞总收入 50 万元(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，
9、最大是多少？【解析】 (1)设船捕捞 n 年后的总盈利 y 万元则y50n98 12n 4nn 122n 240n982(n10) 2102捕捞 10 年后总盈利最大，最大是 102 万元(2)年平均利润为 2yn (n 49n 20)2 12(2n49n 20)当且仅当 n ，即 n7 时上式取等号49n所以，捕捞 7 年后的平均利润最大，最大是 12 万元【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解 题 意，设出变量 ，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相 应 的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定 义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案
