1、第 39 卷 增 刊 2 吉 林 大 学 学 报 ( 工 学 版 ) Vol. 39 Sup. 22009 年 9 月 Journal of Jilin University ( Engineering and Technology Edition) Sept . 2009收 稿 日 期 :2009204228.基 金 项 目 :“ 973” 国 家 重 点 基 础 研 究 发 展 规 划 项 目 (2006CB705500) ;国 家 自 然 科 学 基 金 项 目 (60744003 ,10635040 ,10532060 ,10975126) ;高 等 学 校 博 士 学 科 点 专 项
2、 科 研 基 金 项 目 (20060358065) ;国 家 基 础 科 学 人 才 培 养 基金 项 目 (J0630319) .作 者 简 介 :孙 舵 (1985 - ) ,男 ,博 士 研 究 生 . 研 究 方 向 :交 通 流 理 论 . E2mail :sundu0 126. com红 绿 灯 周 期 对 二 维 交 通 流 的 影 响 及 平 均 场 理 论孙 舵 1 ,汪 秉 宏 1 ,2(1.中 国 科 学 技 术 大 学 近 代 物 理 系 ,合 肥 230026 ;2. 上 海 理 工 大 学 复 杂 系 统 科 学 研 究 中 心 及 上 海 系 统 科 学 研究
3、院 ,上 海 200093)摘 要 :基 于 二 维 交 通 流 Biham2Middleton2Levine (BML ) 模 型 ,研 究 了 不 同 红 绿 灯 周 期 对 交通 状 况 的 影 响 。 模 型 模 拟 结 果 显 示 :随 着 车 辆 密 度 的 增 加 ,在 一 定 的 临 界 密 度 下 ,车 辆 的 平 均速 度 会 突 然 从 高 速 相 变 成 低 速 相 ,并 随 着 红 绿 灯 周 期 的 增 大 ,这 一 临 界 密 度 非 严 格 单 调 递 减 。对 模 型 进 行 了 平 均 场 理 论 解 析 ,其 结 果 与 模 拟 结 果 基 本 符 合 ,
4、并 进 一 步 解 释 了 非 单 调 现 象 。关 键 词 :交 通 运 输 工 程 ;BML 模 型 ;红 绿 灯 周 期 ;平 均 场 理 论中 图 分 类 号 :U491 文 献 标 识 码 :A 文 章 编 号 :167125497 (2009) Sup . 220080203Effects of traff ic lights period and application of mean2f ieldtheory in t wo dimension traff ic flowSUN Duo1 ,WAN G Bing2hong1 ,2(1. Department of Modern
5、Physics , Universit y of S cience and Technolog y of China , Hef ei 230026 China;2. ResearchCenter f or Com plex S ystem S cience , Universit y of S hanghai f or Science and Technolog y and S hanghai A cadem y ofS ystem Science , S hanghai 200093 China)Abstract :The effect s of different traffic lig
6、ht s period on the traffic flow were studied based on twodimension Biham2Middleton2Levine (BML) model. The simulation result s in BML model show t hat ,t he average velocity of t he vehicles has a sharp change f rom high2speed p hase to low2speed p hase at t hecertain critical vehicle density wit h
7、t he increase of vehicle density , and t his critical density do notstrictly decreases wit h t he increase of t he traffic light s period. A mean2field t heoretical analysis wasmade , and it s result s basically agree wit h t he simulation result s. Finally , the non2monotonicp henomenon was f ut he
8、r discussed.Key words :engineering of communication and transportation ; Biham2Middleton2Levine (BML) model ;traffic light s period ; mean2field t heory简 单 离 散 的 元 胞 自 动 机 (CA) 方 法 已 经 被 广泛 用 来 研 究 车 辆 和 网 络 中 的 交 通 123 ,此 方 法 可 以刻 画 离 散 车 辆 或 数 据 包 的 动 力 学 特 征 。 Biham2Middleton2Levine (BML)模 型 就 是
9、研 究 二 维 交 通流 的 重 要 的 CA 模 型 4 。 BML 模 型 的 规 则 相 当简 单 ,但 是 显 示 出 的 行 为 却 很 复 杂 ,比 如 能 观 察 到相 变 和 自 组 织 现 象 。 目 前 ,有 关 于 BML 模 型 的研 究 工 作 基 本 上 基 于 数 值 模 拟 5212 ,理 论 分 析 多增 刊 2 孙 舵 ,等 :红 绿 灯 周 期 对 二 维 交 通 流 的 影 响 及 平 均 场 理 论数 用 的 是 平 均 场 的 方 法 5 , 13214 , 15 ,也 有 将 线 性 稳定 理 论 和 非 线 性 分 析 应 用 于 格 子 气 模
10、 型 16 ,或 推导 方 程 用 以 描 述 空 间 图 中 的 几 何 结 构 约 束 10 。1 模 型 定 义BML 模 型 描 述 了 在 二 维 周 期 性 边 界 L L的 网 格 上 ,只 能 向 东 行 走 或 只 能 向 北 行 走 的 两 种车 。 所 以 每 个 网 格 可 以 有 三 种 状 态 :空 的 ,被 向 东行 走 ,或 向 北 行 走 的 车 占 据 。 车 辆 初 始 时 刻 随 机分 布 于 网 格 , x 和 y 分 别 代 表 向 东 和 向 北 行 走 车的 密 度 。 奇 数 时 间 步 下 ,所 有 向 东 行 走 的 车 同 时试 图 向
11、前 进 一 格 ,话 句 话 说 ,如 果 其 前 方 格 子 为 空则 进 入 ,否 则 保 持 不 动 (即 使 是 前 方 格 子 下 一 步 将变 成 空 的 ) 。 偶 数 时 间 步 下 ,所 有 向 北 行 走 的 车 遵循 类 似 的 规 则 ,试 图 向 前 进 入 其 北 面 的 格 子 。 因此 ,除 了 初 始 车 辆 分 布 情 况 下 的 随 机 性 ,该 模 型 的动 力 学 是 完 全 确 定 性 的 。 规 则 不 允 许 向 东 行 走 的车 改 变 其 所 在 的 行 ,或 者 向 北 行 走 的 车 改 变 其 所在 的 列 ,所 以 对 于 一 个 L
12、 L 的 网 格 ,有 2L 个 车辆 数 目 的 守 恒 。BML 模 型 的 动 力 学 也 可 以 看 成 是 来 自 于 网格 中 红 绿 灯 的 控 制 。 在 一 个 红 绿 灯 周 期 下 ,首 先所 有 向 东 方 向 为 绿 灯 ,使 得 向 东 方 向 的 车 可 以 同步 地 试 图 前 进 到 下 一 格 。 绿 灯 持 续 一 个 时 间 步 后变 成 红 灯 ,同 时 向 北 方 向 的 变 为 绿 灯 。 然 后 向 北方 向 的 车 同 步 试 图 前 进 ,仍 旧 持 续 一 个 时 间 步 。所 以 BML 模 型 的 红 绿 灯 周 期 为 两 个 时 间
13、 步 。在 实 际 的 城 市 交 通 中 ,红 绿 灯 的 周 期 通 常 更长 些 。 因 此 ,有 必 要 研 究 不 同 的 红 绿 灯 灯 周 期 (记为 T = 2 )对 BML ( = 1 )模 型 的 影 响 。 即 在 本文 模 型 中 ,某 个 方 向 的 车 允 许 在 个 时 间 步 内 前进 ,然 后 此 向 的 绿 灯 变 成 红 灯 ,另 一 个 方 向 的 红 灯变 绿 灯 ;相 同 地 ,另 一 个 方 向 的 车 也 是 在 个 时 间步 内 试 图 前 进 ,如 此 构 成 一 个 周 期 。2 模 拟 结 果在 数 值 模 拟 中 ,取 L = 256
14、, x = y = / 2 。遵 照 模 型 规 则 ,对 于 给 定 的 车 辆 密 度 ,在 每 个 初始 随 机 分 布 下 ,最 终 都 可 以 得 到 一 个 稳 定 的 车 辆平 均 速 度 v。 图 1 表 示 不 同 的 值 下 ,300 次 不 同的 初 始 分 布 下 的 平 均 速 度 的 平 均 值 v-与 车 辆 密 度 的 关 系 。 结 果 显 示 ,随 着 车 辆 密 度 的 增 加 ,在 一定 的 临 界 密 度 c 下 , v-会 突 然 从 高 速 相 ( v-= 1 )变 成 低 速 相 ( v-= 0 ) 。 并 且 随 着 红 绿 灯 周 期 的 增
15、大 , c 是 总 体 但 非 严 格 单 调 减 小 的 , = 3 时 的 临界 密 度 就 比 = 2 时 的 略 大 。图 1 不 同 的 红 绿 灯 周 期 下 v- 与 车 辆 密 度 的 关 系Fig. 1 Average velocity v- versus vehicle density withdifferent traff ic light periods3 平 均 场 分 析参 照 文 献 15 ,设 vx 和 v y 分 别 表 示 向 东 和向 北 行 走 车 的 速 度 均 值 。 首 先 考 虑 vx ,在 半 个 周期 内 ,一 个 向 东 行 走 的 车 可
16、 能 被 向 北 行 走 的 车或 者 向 东 行 走 的 车 阻 挡 住 。 向 北 行 走 的 车 在 一 个格 子 上 的 平 均 滞 留 时 间 为 1/ vy ,所 以 在 时 间 内平 均 减 小 向 东 方 向 车 的 速 度 为 y / vy 。 对 于 向东 车 阻 挡 向 东 车 这 种 情 况 ,每 个 格 子 的 滞 留 时 间为 1/ vx - 1 (去 掉 自 身 车 的 作 用 ) ,对 减 慢 速 度 的影 响 为 x 1/ vx - 1 。 综 上 分 析 ,向 东 和 向 北 方向 车 的 速 度 方 程 可 以 写 成vx = 1 - y / vy - x
17、 1/ vx - 1 (1)vy = 1 - x / vx - y 1/ vy - 1 (2)这 里 ,假 设 vx 0 和 vy 0 。 由 于 模 型 的 对称 性 , x = y = / 2 ,应 有 v-= vx = vy 。 带 入 方程 (1) 、 (2)可 得v-= 12 + 4 + 12 14 2 - (2 + 1) + 1 (3)式 中 :临 界 密 度 c 由 使 得 根 号 有 意 义 (根 号 项 等于 零 )那 个 密 度 值 决 定 ,当 c 时 定 义 v- 0 。进 一 步 可 解 出 临 界 密 度 c 的 表 达 式 为 c = 2 (2 + 1) - 2
18、2 + 1 2 - 1 (4)图 2 表 示 在 不 同 的 值 下 ,由 方 程 (3) 得 到 的v-和 车 辆 密 度 的 关 系 。 图 3 中 的 实 线 表 示 根 据方 程 (4)得 到 的 红 绿 灯 半 周 期 和 临 界 密 度 c 的18吉 林 大 学 学 报 ( 工 学 版 ) 第 39 卷图 2 根 据 平 均 场 理 论 v- 和 车 辆 密 度 的 关 系Fig. 2 According to mean2f ield theory , averagevelocity v- versus vehicle density 图 3 和 临 界 密 度 c 的 理 论 值
19、 及 模 拟 值Fig. 3 Theoritical value and simulated value of versuscritical density c关 系 ,离 散 点 表 示 计 算 机 模 拟 值 。由 图 2 和 图 3 可 以 看 出 ,平 均 场 理 论 大 致 可以 得 到 与 模 拟 相 符 合 的 结 果 ,临 界 密 度 c 总 体 上随 着 红 绿 灯 半 周 期 单 调 递 减 。 但 是 理 论 值 与 模拟 值 在 = 2 处 差 别 较 大 ,且 不 能 反 映 非 单 调 现象 。 这 是 由 于 = 2 时 ,两 个 相 邻 周 期 间 的 车 位形
20、 相 互 影 响 比 较 大 ,不 太 适 宜 用 平 均 场 近 似 。 并且 半 周 期 为 偶 数 时 ,更 易 形 成 阻 塞 集 团 ,这 也 是 = 2 时 的 临 界 密 度 比 = 3 时 稍 小 的 原 因 。4 结 束 语在 BML 模 型 的 基 础 上 ,研 究 了 红 绿 灯 周 期对 城 市 交 通 状 况 的 影 响 。 模 拟 结 果 显 示 ,随 着 车辆 密 度 的 增 加 ,在 一 定 的 临 界 密 度 下 ,车 辆 的 平 均速 度 会 突 然 从 高 速 相 变 成 低 速 相 。 并 且 随 着 红 绿灯 周 期 的 增 大 ,这 一 临 界 密
21、度 是 非 严 格 单 调 减 小的 。 用 平 均 场 理 论 对 模 型 进 行 解 析 ,得 到 与 模 拟结 果 基 本 符 合 的 方 程 。 最 后 ,说 明 了 平 均 场 理 论存 在 的 不 足 ,并 解 释 了 非 单 调 现 象 产 生 的 原 因 。参 考 文 献 : 1 Chowdhury D , Santen L , Schadschneider A. Statis2tical physics of vehicular traffic and some relatedsystemsJ . Physics Reports , 2000 , 329 :1992329.
22、2 Nagatani T. The physics of traffic jamsJ . Reportson Process in Physics , 2002 , 65 :133121386. 3 Schadschneider A. Traffic flow : a statistical physicspoint of viewJ . Physica A , 2002 , 313 :1532187. 4 Biham O , Middleton A A , Levine D. Self2organiza2tion and a dynamic transition in traffic2flo
23、w modelsJ . Physical Review A , 1992 , 46 :R61242R6127. 5 Nagatani T. Jamming transition in the traffic2flowmodel with two2level crossingsJ . Physical ReviewE , 1993 , 48 :329023294. 6 Cuesta J A , Martinez F C , Molera J M , et al. Phasetransitions in two2dimensional traffic2flow modelsJ . Physical
24、 Review E , 1993 , 48 :R41752R4178. 7 Tadaki S , Kikuchi M. Jam phases in a two2dimen2sional cellular2automaton model of traffic flow J .Physical Review E , 1994 , 50 :456424570. 8 Chung K H , Hui P M , Gu G Q. Two dimensionaltraffic flow problem with faulty traffic lights J .Physical Review E , 199
25、5 , 51 :7722774. 9 Gu G Q , Chung K H , Hui P M. Two2dimensionaltraffic flow problems in inhomogeneous latticesJ .Physica A , 1995 , 217 :3392347. 10 DSouza R M. Coexisting phases and lattice depend2ence of a cellular automaton model for traffic flowJ . Physical Review E , 2005 , 71 (066112) :1210.
26、11 Chowdhury D , Schadschneider A. Self2organizationof traffic jams in cities : effects of stochastic dynam2ics and signal periodsJ . Physical Review E , 1999 ,59 :R13112R1314. 12 Brockfeld E , Barlovic R , Schadschneider A , et al.Optimizing traffic lights in a cellular automatonmodel for city traf
27、ficJ . Physical Review E , 2001 ,64 (056132) : 1212. 13 Ishibashi Y , Fukui M. Temporal variations of trafficflow in the biham2middleton2levine model J . Jour2nal of the Physical Society of Japan , 1994 , 63 :288222885. 14 Molera J M , Martinez F C , Cuesta J A , et al. The2oretical approach to two2
28、dimensional traffic flowmodelsJ . Physical Review E , 1995 , 51 :1752187. 15 Wang B H , Woo Y F , Hui P M. Improved mean2field theory of two2dimensional traffic flow modelsJ . J Phys A , 1996 , 29 :L312L35. 16 Nagatani T. Jamming transition in a two2dimension2al traffic flow model J . Physical Review E , 1999 ,59 :485724864.28
