1、本文由 SCIbird 排版整理 数学分析三大基本思想之分解 SCIbird 说明 ：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。 本章介绍数学分析中的三大基本思想之 分解 。需要强调的是， 逼近、变换和分解这三大分析基本思想是统一的，在处理数 学问题时常常是综合运用 。 笔者将分解看作这样一种数学思想： 将一个复杂的结构或问题，分解成若干子结构，使得这些子结构尽可能简单 。若按照广义理解，从一个复杂问题中分离出主要矛盾，这也是一种分解思想。 前者的例子可以考虑幂级数分解，如考虑超越函数 21112! !nzezz
2、zn=+ + + +LL 如此将一个复杂的超越函数ze 分解成幂级数形式，而幂级数可以看做多项式的推广，而我们对子结构nz 非常熟悉（可类比整数的加减乘除运算） 。实际上，幂级数是研究超越函数的有力工具。当然我们也可以使用 Fourier 级数，或者其它函数级数。 后者的例子可以考虑微分，考虑函数增量 ()()yfx xfx= + ，数学上证明了对可导函数，有 () ( )yfxxox= + y 的 线性主部 记为 ()dy f x x=（微分） ， dy对 y 的贡献较大，属于主要矛盾。如此，我们从一个非线性增量中， 分离出线性部分，达到简化问题的目的。这个例子很平凡，但却很实用 ，特别在物
3、理分析中（如微元法） 。很多宏观物理过程在短时间内或小尺度范围内变 化很小，可以近似为线性过程。 数学上已经证明了非初等函数是大多数，而研究非初 等函数的常见途径有三个，即 积分法 （如含参数积分） 、 微分方程法 和 级数法 （特别是幂级数法） 。从实用角度看，级数法更方便，比 如利用幂级数进行数值计算。 用级数研究非初等函数的著名例子是椭圆函数。当年 高斯和阿贝尔提出了研究椭圆积分的反函数， 后称椭圆函数， 这种函数有两个不共线的复周期12,本文由 SCIbird 排版整理 满足12()()()f zfzfz+=+= 。与历史不同，现在教材 上直接定义具有不共线的复周期12,的亚纯函数为椭
4、圆函数。 那么能不能不利用积分反演， 直接构造双周期的椭圆函数。 直观上不难想象，椭圆函数的所有周期是复平面上一些 格子（周期格） 12 |,mnmn=+ Z 其中复数1 和2 是实线性无关的。 那么 形式上 ，如下函数满足双周期性： ()z或()z这里函数 待定。 之所以强调是形式上，是因为要使 得上面的函数有意义，还要 考虑收敛性问题。椭圆函数中最有名的要数 魏尔斯特拉斯椭圆函数 ： 20 22111()()zzz =+ 据说，这种形式的构造类比了 余切级数展开（欧拉等式） 1111cotnzzznzn=+ +注 ：数学上可以证明非常数椭圆函数在一个周期四边形内必有奇点，且阶数至少是二（证
5、明见 特殊函数概论 ） ， ()z 的构造选择了一个二阶极点的情形（不妨设0z =为二阶极点） 。于是根据椭圆函周期性要求，可知 z = 为二重极点。 再由上面 形式级数 的思想，考察下列函数就自然了： 021()z 但是这个级数不收敛， 所以为满足收敛性还得再减去一项21/ . 当 0= 这种情况下，21/ 发散，所以应该剔除，同时把21/z 单独写出来。于是级数 20 22111()()zzz =+ 本文由 SCIbird 排版整理 是收敛的，具有二阶极点，且满足12()()()zzz+ =+ = . ()z 的导数 ()z 也是椭圆函数，它们之间满足上面的微分方程 2323() 4()
6、()zzgzg=+ ()z 和 ()z 也所以非常重要， 是因为它们不仅形式简单， 还可以作为 “基函数” ，这种 基函数分解 思想（当然不是线性的）可以由下述定理描述： 设 ()z 的周期为12,，则所有以12,为双周期的椭圆函数 12()()()f zfzfz+=+= 都可以表示成下列形式 () () () ()f zHz zQz= + 其中， (), ()Hz Qz为有理函数，与 ()f z 有关。 有了这个定理，研究椭圆函数的重点可以放在研究基函数 ()z 和 ()z 上，这是利用分解思想，缩小问题范围的经典例子。 分解思想在数学中非常普遍（不仅仅是数学分析） ，我们在证明一个复杂数学
7、定理时，常常分成若干引理（如前面章节多次提到的重积分变量代换定理） ，这其实应用了分解思想。 学会如何把一个复杂问题简化，拆成若干简单问题，这是一门真功夫，需要能力和经验的积累 。 分解思想的重要性还体现在可操作性上 。数学上很多定义逻辑上很抽象，也很完备，但单靠定义是无法操作的。比如重积分的 Riemann 和定义，如果靠重积分的 Riemann 和定义来计算，甚至证明数学定理，恐怕举步维艰。累次积分就应运而生 (,) (,)XY X Yf x y dxdy dx f x y dy= 累次积分 的妙处还在于“ 给无序的定义引入一种有序的计算 ” 。在无序中引入顺序或偏序，这种思想的妙用不仅仅
8、在数学中存在，大家需要好好体会。本书第三章证明重积分变量代换定理 的关键地方就利用了累次积分： (,)() (,)() ( , )(, )(,(, )(, )(,(, )()|det ()|mmmmmmxxmmmmf x dx dx f x x dxxtdx f x x t dttttdt f t t t dttft Dtdt=本文由 SCIbird 排版整理 广义上理解， 递归关系 或者递推关系1()nnafa+= 也可以看做是 一种分解 ，即在同一法则 f 下形成一种逐级发展的“ 自相似结构 ” 。比如我们计算积分 20sinnnaxdx=时，就设法建立na 与2na的递归关系。利用分部积
9、分 22 22000 020111222sin sin ( cos ) cos sin cos (sin )(1)sin cos (1) (1)nn nnnnnaxdxxdxxxxdxnxxdnana = += = 可知递推关系 21nnnaan= 容易算出01,12aa=，于是 (1)!,2!(1)!,21! 2nnnknannkn=+建立递归关系是一种可操作性非常强的分解思想， 不论是在解题或者是科研中，非常实用，大家应该熟练掌握 。 说到递归关系，有一个非常经典的例子，将逼 近与递归联系到一起。这就是求解非线性方程的经典解法 -牛顿迭代法 。 非线性问题非常复杂，直接求解基本不可能， 于
10、是人们发展了一些实用性较高的近似方法来求解非线性问题。如压缩映射不动点法和牛顿迭代法（又称切线法） ，我们主要谈谈后者。 设函数 ()f x 在 ,ab上连续可微，并且满足 ( ) () 0, ( ) 0, , f afb f x x ab那么由 迭代序列 111(),1,2,()nnnnf xxx nf x= =L 产生的数列 nx 单调收敛 于方程 () 0f x = 在区间 (,)ab内的 惟一解 . 注 ：上述定理的证明请参考 数学分析新讲 第二册。 利用分解思想研究复杂问题的例子，还有 一种比上面分析味道更浓的例子，就是用 幂级数法解微分方程 。这方面有一个很实用的定理： 设二阶常微
11、分方程 22() () 0dy dypx qxydx dx+= 其系数函数 ()px 和 ()qx 在邻域0|xx rL这里 ,1,2 mk = L . 使得这 m 个变换1,mL 在小的开集 (,)U之上都是微分同胚（这里用到了逆映射定理 ） 。再令 1111,2kkkmk=Lo由此可知，11= 是定义在开集 (,)U之上的简单变换，11kkk= o 是定义在1(,)kU之上的简单变换，并且在 (,)U之上有 11mm = ooLo 这种分解可以类比线性代数中， 将一个非奇异方阵表示成若干初等矩阵的乘积思想 。都是将一个复杂对象，分解成若干简单对象的复合，这也是人类认识世界的一种自然方法。
12、评注 ：微分、积分和级数三大领域是数学分析的基石，逼近和变换这两章的大部分内容都涉及微分和积分，为了不厚此薄彼，本章大部分内容与级数有关。级数是一门强大的数学工具，不论是牛顿、高斯、雅可比、魏尔斯特拉斯，还本文由 SCIbird 排版整理 是庞加莱，都是运用级数的大师。级数理论的综合运用是“分解”思想的最佳例子，同时最好结合一些线性代数的分解思想。 说到分解思想，笔者想起了高中时 一件小事。那时笔者已经初步掌握了单元微分法和积分法，偶然在一篇文章中看到“ 矢量也可以积分 ”的内容，感到无比诧异。习惯了代数思维的自己，很难想象矢量如何积分。后来，隔了一年多才想明白，其实也简单。矢量可以投影到三维坐标轴上，得到三个分量。 然后用矢量分量的坐标表示，从而将一个矢量积分转化为三个代数积分 。多年后回想这件事情仍然很有意思，困惑不在于技术上，而在于理念或想法的转变上。这个例子本质上是将“ 几何思维转化为代数思维 ” ，这种转化远不像字面上那样容易。
