1、北京航空航天大学研究生课程试卷20112012学年第二学期最最最优优优化化化理理理论论论与与与算算算法法法B补补补考考考试试试卷卷卷2012年9月20日姓名:学号：说明：闭卷考试.共有6个题目，满分100分；考试时间2小时.您的解答务必详细、清晰. Good Luck!题目1 2 3 4 5 6总分分数1. (24分)判断下列每个命题的正误，并说明理由.理由可以是1-3行的解释或者反例；理由不正确的答案不得分.(a)线性规划标准形的可行集总是有界的.(b)如果x和 分别是原始和对偶问题的最优解，则由互补松弛性我们有原对偶变量的乘积总是零，即xii = 0对所有i成立.(c)对偶单纯形法能够检测
2、一个线性规划问题是不可行或者无界的.(d)在最小费用网络流问题中，链路费用是分数，但是需求和供给量是整数，最优基本可行解的每个分量是分数.1(e)凸规划的KKT点是全局极小点.(f)二次规划是凸规划.(g)半定规划是凸规划.(h) 1惩罚函数法是非精确惩罚函数法.(i)二次惩罚函数法中，固定惩罚因子后由该方法得到的近似解是原问题的可行解.(j)对于线性规划标准形问题，如果最优值是，则可以以某种方式调整右端向量b使得最优值有限.(k)两阶段法中，第I阶段的辅助问题的对偶从来不会无界.(l)最速下降法的收敛速率高度依赖于初始点.(m)对于二次函数q(x) = 12xTGx，牛顿法的收敛速率依赖于矩
3、阵G的条件数.2. (20分)对于问题minimize 5x1 3x2subject to 2x1 x2 + 4x3 4,x1 + x2 + 2x3 5,2x1 x2 + x3 1,x1 0,x2 0,x3 0.(a)以1为转轴元,利用一次转轴运算找到一个基本可行解.2(b)从(a)中找到的基本可行解开始，利用单纯形法求解该问题.(c)对偶问题是什么?(d)给出对偶问题的解.3. (10分)考虑问题minxIRn Axb22，其中A是mn矩阵，b是m维向量.(a)写出最优性的必要条件.这也是一个充分条件吗？(b)最优解唯一吗？理由是什么？(c)你能给出最优解的一种闭合(解析)形式吗？可以规定任
4、何你所需的假设.4. (10分)考虑等式约束二次规划minimize 12xTGx+dTxsubject to ATx = b,其中b IRm,A IRnm，且假设A的列a1,am线性无关。设Z IRn(nm)是由齐次线性方程组ATs = 0的基础解系中的向量为列组成的矩阵，x是方程组ATx = b的特解.请完成以下问题：(a)把原问题化成等价的无约束极小化问题；(b)给出(a)中问题有惟一解的充分条件；在此充分条件下，给出解的显式表达式；此时原问题的最优解是什么？5. (16分)考虑问题minimize x1x2subject to x1 + 2x2 4 = 0.(a)计算最优解和Lagra
5、nge乘子.(b)设罚参数为，写出该问题的Courant罚函数(二次罚函数).(c)确定二次罚函数的极小点，由此得到原问题最优解的近似和相应Lagrange乘子的近似.6. (20分)考虑等式约束问题minimize x1 + x2 subject to x2 = x21.请完成以下问题：(a)写出该问题的KKT条件，并求出该问题的KKT点；(b)以x(0) = 0,(0) = 1为初始点，用解方程组的基本牛顿法解(a)中KKT条件所对应的方程组，迭代一次;(c)以x(0) = 0,(0) = 1为初始点，用SQP法求解该等式约束优化问题，迭代一次，要求用求KKT点的方法解其中的二次规划子问题；(d)将题目中的等式约束条件x2 = x21换成x2 x21，考虑用SQP法求解所得的不等式约束优化问题，写出以x(0) = 0,(0) = 1为初始点时，需要求解的二次规划子问题.3
