1、书书书$!目!录总序 !0前言 !00!覆盖 !0#!嵌入 !#$!一些例题 !“:!凸集 !202!密度 !“2“!海莱 “AB#定理及其应用 !31习题 !13习题解答概要 !0$书书书!覆!盖在前言中已经提到圆的覆盖问题!圆是最简单而又用得最多的图形!为了明确起见 !在本书中 !我们把到定点“的距离等于定长#的点的集合称为圆周!把圆周及其内部 !也就是到定点“的距离“#的点的集合称为圆 !并记为#“!#或#“!“称为圆心 !#称为半径!同样地 !本书中说到的三角形 $多边形 $椭圆 !也都是同时包括了这些图形的边界及其内部的 !而不单是指围成这些图形的边界!在本书中要遇到的图形是多种多样
2、的 !它们都是点的集合“点集 #!现在我们给出覆盖的严格的定义!定义$! %设$%是两个点集 !如果点集$的每一个点都属于点集%“采用集合论的符号写 !就是$ !#“/*:*;#!“!从而#“#+!式中等号当且仅当#“!#为内切圆时成立!例!中的三角形换为正多边形或者任意一个有内切圆 “即这圆与多边形的各边都相切 #的多边形时 !结论同样成立!例$! %“证明 )正0边形$能嵌入#“!#中的充分必要条件是$的边长/“#“!#的内接正0边形$0的边长/0!解!“!#充分性!设/“/0!以“为位似中心 !作一个相似比为/0“!的位似变换 !那么$0就变成在$0中的正0边形$(!且$(/$!因为$0
3、在#“!#中 !所以$(在#“!#中!换句话说 !$能嵌入#“!#中 “图#“#“!#!图 #“#“#必要性!设正0边形$已嵌入#“!#中!自它的顶点&8“8!#!+!0#向$外作&8&(8$&8&38分别与&8&8$!$&8&81!垂直 “约定&*即&0$&!即&01!#!交圆周于&(8$&38“图#“#“#!因为-&8)!&8&(8*-&38&8&8*!*-&8*!&8&8)!“!3*+*-&8*!&8&8)! *,0*+!所以&38$!&(6 78与&38&(86 71!不相重叠 “87!#!+!0#!从而&38&(86 71!“87!#!+!0#中必有一个不大于#“!#的圆周的!0!相
4、应的弦&38&(81!不大于/0!而/&8&8*!是&38&(81!的射影 !所以&8&8*! “&38&(8*!因此更有/&8&8*! “/0!例$! %#已知在#“!#中嵌入一个点集%!点集%由0个点组成 !这0个点间的最小距离为/!在/分别为 “!#槡,#!“#槡#!“,# 时 !求0的最大值!解!“!#0)!时 !这0个点都不会是圆心“!否则/“#*槡,#!与已知矛盾!根据同样的理由 !这0个点中每两个点不在同一条半径上!设这0个点为&!&#!+!&0!把其中每一点&8与圆心“相连 !再延长“&8交圆周于&(8“87!#!+!0#!在83=时 !我们设法证 -&8“&=!#*+!如果
5、-&8“&=*!#*+!则&(8&(=有&(8&(=#-./-&8“&=#*槡,#!因为三角形中 任一线段不大于三角形的最 长边即直径 “见第(页 #!所以 !&8&=“%&“&(8&(=!“&(8!“&(=#*%&“槡,#!#!#槡,#!但是由已知&8&=/槡,#!矛盾 !所以-&8“&= !#*+!由“奥数”课外阅读篇单墫老师教你学数学 7 种当读书不只是为了考试你才会真正爱上数学单墫老师娓娓道来与你分享他所理解的数学之美读者对象：初高中学生初高中学生初高中学生初高中学生，数学教师数学教师数学教师数学教师，数学爱好者数学爱好者数学爱好者数学爱好者单墫老师教你学数学 7 种 平面几何中的小花
6、 十个有趣的数学问题 趣味数论 棋盘上的数学 覆盖 组合数学的问题与方法 解析几何的技巧学奥数，这里总有一本适合你自从 2000 年奥数教程中首次在图书中使用 “ 奥数 ” 一词以来，华东师范大学出版社已陆续出版近 200 种 “ 奥数 ” 图书 , 形成多品种 、 多册层次全系列 。“奥数 ”入门篇 从课本到奥数 （ 1-9 年级）、 B 版“奥数 ”智优篇 优等生数学 （ 1-9 年级）“奥数 ”辅导篇 奥数教程 、 学习手册 、 能力测试 （一至高三年级 ）“奥数 ”小学顶级篇 高思学校竞赛数学课本 、 高思学校竞赛数学导引 “奥数 ”专题篇 数学奥林匹克小丛书 （小学、初中、高中共 30 种）“奥数 ”题库篇 多功能题典 数学竞赛 （小学、初中、高中共 3 种）“奥数 ”高中预赛篇 高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦 ） “奥数 ”联赛冲刺篇 高（初）中数学联赛考前辅导“奥数 ”IMO 终极篇 走向 IMO：数学奥林匹克试题集锦“ 奥数 ” 域外篇 日本小学数学奥林匹克 、 全俄中学生数学奥林匹克
