1、 2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 试题参考答案及评分标准 说明： 1. 评阅试卷时 , 请依据本评分标准 . 选择题、填空题只设 6分和 0分两档 . 其他各题 的评阅 , 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分 , 不要再增加其他中间档次 . 2. 如果考生的解答方法和本解答不同 , 只要思路合理 , 步骤正确 , 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次 , 3分为一个档次 , 不要再增加其他中间档次 . 一 选择题 (本题满分 36分 , 每小题 6分 ) 1. 函数 ()y f x 的图像按向量 ( ,2)4a 平移后 , 得到的图像的解析式为 sin( ) 24yx . 那
2、么 ()y f x 的解析式为 A. sinyx B. cosyx C. sin 2yx D. cos 4yx 答 : B 解 ： sin ( ) 44yx , 即 cosyx . 故选 B 2. 如果二次方程 2 0 ( ,x p x q p q N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 A. 5个 B. 6个 C. 7 个 D. 8个 答 : C 解：由 2 4 0 , 0p q q , 知方程的根为一正一负 设 2()f x x px q ，则 2(3) 3 3 0f p q , 即 39pq . 由于 ,pq N*， 所以 1, 5pq 或 2, 2pq. 于是共有 7 组 (
3、, )pq 符合 题意 故选 C 3. 设 0ab , 那么 2 1()a b a b 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答 : C 解：由 0ab , 可知 2 2210 ( ) ( )4 2 4aab a b b a , 所以， 22214 4()aab a b a . 故选 C 4. 设四棱锥 P ABCD 的底面不是平行四边形 , 用平面 去截此四棱锥 , 使得 截面四边形是平行四边形 , 则这样的平面 A. 不存在 B. 只有 1个 C. 恰有 4个 D. 有无数多个 答 : D 解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线 为 m 、 n , 直线 m 、 n 确 定了一
4、个平面 . 作与 平行的平面 , 与四棱锥的各个侧面 相截，则截得的四边形必为平行四边形而这样 的平面 有无数多个故选 D 5. 设数列 na : 0 1 2 12 , 1 6 , 1 6 6 3n n na a a a a , n N*, 则 2005a 被 64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 答 : C 解：数列 na 模 64 周期地为 2， 16， 2， 16， . 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C 6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 1 m2 的整块地砖来铺设 (每块地砖 都是单色的 , 每种颜色的地砖都足够多 ),
5、要求相邻的两块地砖颜色不同 , 那么所有的不同 拼色方法有 A. 830 个 B. 730 25 个 C. 730 20 个 D. 730 21 个 答 : D 解：铺第一列 (两块地砖 )有 30 种方法；其次铺第二列设第一列的两格铺了 A 、 B 两色 (如图 )，那么，第二列的上格不能铺 A 色若铺 B 色，则有 (61) 种铺法；若不 铺 B 色，则有 2(62) 种方法 . 于是第二列上共有 21 种铺法 . 同理， 若前一列铺好，则其后一列都有 21 种铺法因此，共有 730 21 种铺法 故选 D 二 填空题 (本题满分 36分 , 每小题 6分 ) 7. 设向量 OA 绕点 O
6、 逆时针旋转 2 得向量 OB , 且 2 (7 , 9)OA OB, 则 D 1 C 1B 1A 1DCBAPAB向量 OB （ 115 ， 235 ） . 解：设 ( , )OA m n , 则 ( , )OB n m , 所以 2 ( 2 , 2 ) ( 7 , 9 )O A O B m n n m . 即 2 7,2 9.mnmn 解得 23,511.5mn 因此， 2 3 1 1 1 1 2 3( , ) , ( , )5 5 5 5O A O B . 故填 11 23( , )55 8. 设无穷数列 na 的各项都是正数 , nS 是它的前 n 项之和 , 对于任意正整数 n ,
7、na 与 2 的等差中项等于 nS 与 2 的等比中项 , 则该数列的通项公式为 an= 4n 2 (n N*) . 解：由题意知 2 22nna S ， 即 2( 2)8nn aS . 由 11aS 得 112 22a a , 从而 1 2a . 又由 式得 211 ( 2 ) ( 2 )8nn aSn , 于是有 1n n na S S 221( 2 ) ( 2 ) ( 2 )88nnaa n , 整理得 11( ) ( 4 ) 0n n n na a a a . 因 10,nnaa, 故 114 ( 2 ) , 2nna a n a 所以数列 na 是以 2 为首项、 4 为公差的等差数
8、列，其通项公式为 2 4( 1)nan ， 即 42nan. 故填 4 2 (na n n N*) 9. 函数 xxxy (|2c o s|c o s| R) 的最小值是 22 . 解：令 | cos | 0,1tx，则 2| 2 1|y t t 当 2 12 t 时， 22192 1 2 ( )48y t t t ，得 2 22 y； 当 20 2t 时， 22192 1 2 ( )48y t t t ，得 2928y 又 y 可取到 22 , 故填 22 10. 在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 , 12 , 1A B A A A D , 点 E 、 F 、 G 分别是
9、棱 1AA 、 11CD 与 BC 的中点 , 那么四面体 1B EFG 的体积是 VB1 EFG = 38 . 解：在 11DA 的延长线上取一点 H ，使 1 14AH. 易证， 1|HE BG ， |HE 平面 1BFG 故 1 1 1 1B E F G E B F G H B F G G B F HV V V V 而 1 98BFHS ， G 到平面 1BFH 的距离为 1 故填 138B EFGV 11. 由三个数字 1、 2 、 3 组成的 5 位数中 , 1、 2 、 3 都至少出现 1 次 , 这样的 5 位数共有 150 个 . 解：在 5 位数中 , 若 1 只出现 1 次
10、，有 1 1 2 35 4 4 4( ) 7 0C C C C 个； 若 1 只出现 2 次，有 2 1 25 3 3( ) 60C C C 个； 若 1 只出现 3 次，有 315220CC 个 则这样的五位数共有 150 个 故填 150 个 12. 已知平面上两个点集 22 ( , ) | | 1 | 2 ( ) , ,M x y x y x y x y R, ( , ) | | | | 1 | 1 , ,N x y x a y x y R. 若 MN , 则 a 的取值范围是 1 6， 3+ 10 解：由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10xy 为准线的抛物线上及其凹口 内侧的点集，
11、 N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集 (如图 ) 考察 MN 时 , a 的取值范围 : 令 1y , 代入方程 22| 1 | 2 ( )x y x y , -2 -1 4 6-3 5 7-1yx123123O得 2 4 2 0xx ，解出得 26x 所以， 当 2 6 1 1 6a 时 , MN 令 2y ，代入方程 22| 1 | 2 ( )x y x y , 得 2 6 1 0xx . 解出得 3 10x 所以， 当 3 10a 时 , MN 因此 , 综合 与 可知 ，当 1 6 3 10a ，即 1 6 , 3 1 0 a 时 , MN 故填 1 6,3 10. 三
12、 解答题 (第一题、第二题各 15分 ； 第三题、第四题各 24分 ) 13. 已知点 M 是 ABC 的中线 AD 上的一点 , 直线 BM 交边 AC 于点 N , 且 AB 是 NBC 的外接圆的切线 , 设 BCBN , 试求 BMMN (用 表示 ). 证明：在 BCN 中，由 Menelaus 定理得 1BM N A C DM N AC D B 因为 BD DC ，所以 BM ACMN AN 6 分 由 ABN ACB ，知 ABN ACB ，则 AB AC CBAN AB BN 所以， 2A B A C C BA N A B B N， 即 2 BNBCANAC 12 分 因此，
13、2 BNBCMNBM 又 BCBN ， 故 2BMMN 15 分 14. 求所有使得下列命题成立的正整数 ( 2)nn : 对于任意实数 12, , , nx x x , 当 1 0nii x 时 , 总有 11 0niii xx ( 其中 11nxx ). ABCDNM解： 当 2n 时，由 120xx，得 21 2 2 1 120x x x x x 所以 2n 时命题成立 . 3 分 当 3n 时，由 1 2 3 0x x x ，得 2 2 2 21 2 3 1 2 31 2 2 3 3 1 ( ) ( )2x x x x x xx x x x x x 2221 2 3()02xxx .
14、所以 3n 时命题成立 . 6 分 当 4n 时，由 1 2 3 4 0x x x x ，得 21 2 2 3 3 4 4 1 1 3 2 4 2 4( ) ( ) ( ) 0x x x x x x x x x x x x x x 所以 4n 时命题成立 9 分 当 5n 时，令 121xx， 4 2x ， 35 0nx x x , 则 1 0nii x . 但是 , 11 10niin xx ，故对于 5n 命题不成立 综上可知，使命题成立的自然数是 2, 3, 4n . 15 分 15. 设椭圆的方程为 22 1 ( 0 )xy abab , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 x 轴垂直
15、的焦点弦 . 若在左准线上存在点 R , 使 PQR 为正三角形 , 求椭圆的离心率 e 的取值范围 , 并用 e 表示直线 PQ 的斜率 . 解： 如图 , 设线段 PQ 的中点为 M 过点 P 、 M 、 Q 分别作准线的垂线 , 垂足 分别为 P 、 M 、 Q , 则 1 1 | | | | | | | ( | | | |) ( )2 2 2P F Q F P QM M P P Q Q e e e 6 分 假设存在点 R ，则 3| | | |2RM PQ ， 且 | | | |MM RM ， 即 | | 3 |22PQ PQe ， PM MFRPQO xyQ 所以， 33e 12 分
16、 于是，ePQePQRMMMR M M 31|3 22 | |c o s ， 故 21c o t 31R M M e 若 | | | |PF QF (如图 )，则 13 1c o tt a nt a n 2 eR M MF M MQ F xk PQ. 18 分 当 33e 时 , 过点 F 作斜率为 2131e 的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线于 R , 由上述运算知 , 3| | | |2RM PQ 故 PQR 为正三角形 . 21 分 若 | | | |PF QF ，则由对称性得 2131PQk e 24 分 又 1e , 所以，椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 的离心率 e
17、 的取值范围是 3( ,1)3e ， 直线 PQ 的斜率为 2131e 16. (1) 若 (nn N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的 最小值 , 并 说明理由 ； (2) 若 (nn N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 20022005 , 求 n 的 最小值 , 并 说明理由 . 解： (1) 因为 3 3 3 31 0 1 0 0 0 , 1 1 1 3 3 1 , 1 2 1 7 2 8 , 1 3 2 1 9 7 , 3312 2005 13， 故 1n . 因为 3 3 3 32 0 0 5 1 7 2 8 1 2 5 1 2 5 2 7
18、 1 2 5 5 3 ，所以存在 4n ， 使 min 4n 6 分 若 2n ，因 3310 10 2005 , 则最大的正方体边长只能为 11 或 12，计算 332 0 0 5 1 1 6 7 4 , 2 0 0 5 1 2 2 7 7 ，而 674 与 277 均不是完全立方数 , 所以 2n 不可能是 n 的最小值 . 9 分 若 3n ，设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 32 8320053 x , 知 最大的正方体棱长只能为 9 、 10、 11 或 12. 由于 3932005 , 547922005 3 , 08292005 33 , 所以 9x . 由于 510
19、22005 3 , 332 0 0 5 1 0 9 2 7 6 , 332 0 0 5 1 0 8 4 9 3 , 072102005 33 , 所以 10x . 由于 332005 11 8 162 , 332005 11 7 331 , 062112005 33 , 所以 11x . 由于 332005 12 6 61 , 3 3 32 0 0 5 1 2 5 1 5 2 5 , 所以 12x . 因此 3n 不可能是 n 的最小值 . 综上所述， 4n 才是 n 的最小值 . 12 分 (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 12, , , nx x x ， 则 3 3 3 2 0 0 5
20、12 2002nx x x 由 2002 4(mod 9) ， 34 1(mod9) ，得 2 0 0 5 2 0 0 5 6 6 8 3 1 3 6 6 82 0 0 2 4 4 ( 4 ) 4 4 ( m o d 9 ) 15 分 又当 x N* 时， 3 0, 1 (m od 9)x ，所以 31x 4(mod9) ， 3312xx 4 (mod9) ， 3331 2 3xxx 4 (mod9) . 21 分 式模 9 , 由 、 可知 , 4n 而 3 3 3 32 0 0 2 1 0 1 0 1 1 ，则 2 0 0 5 2 0 0 4 3 3 3 3 6 6 8 3 3 3 3 3
21、2 0 0 2 2 0 0 2 ( 1 0 1 0 1 1 ) ( 2 0 0 2 ) ( 1 0 1 0 1 1 ) 6 6 8 3 6 6 8 3 6 6 8 3 6 6 8 3( 2 0 0 2 1 0 ) ( 2 0 0 2 1 0 ) ( 2 0 0 2 ) ( 2 0 0 2 ) 24 分 因此 4n 为所求的最小值 2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案 一、选择题： 1已知 ,ab N ， 100a 是一个 120位数， ba 是一个 10位数，则 b 的值是 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 2将 4 个相同的红球和 4 个相同的蓝球排成一排，从左到右每个
22、球依次对应序号为1,2, ,8 若同色球之间不加区分，则 4 个红球对应序号之和小于 4 个蓝球对应序号之和的排列方法的种数为 （ ） A 31 B 27 C 54 D 62 3若某圆柱的体积与表面积在数值上恰好相等，则该圆柱的体积的最小可能是 （ ） A 48 B 50 C 54 D 66 4已知 ,均为锐角，且满足 2sin cos ，则 与 的关系 （ ） A B C D 2 5正四面体的 4 个面上分别写着 1， 2， 3， 4将 4 个这样的均匀正四面体投掷于桌面上 ，与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的乘积被 4 整除的概率是 （ ） A 18 B 964 C 116 D 131
23、6 6甲、乙、丙， 3 人用擂台赛形式进行训练，每局 2 人进行单打比赛，另 1 人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战半天训练结束时，发现甲共打了12 局，乙共打了 21 局，而丙共当裁判 8 局那么整个比赛的第 10 局的输方 （ ） A 必是甲 B 必是乙 C 必是丙 D 不能确定 二、填空题： 7已知向量 1, 2a ， 2,1b 若正数 k 和 t 使得 2 1x a t b 与1y ka bt 垂直则 k 的最小值是 8在直角坐标系内，如 果一个点的横坐标和纵坐标都是整数，则称该点为整点若凸 n边形的顶点都是整点，并且多边形内部及其边上没有其他整点，则 n 9
24、若实数 ,xy满足 0x ，且 m a x 1 , 1 2x x y x 则二元函数 ,u y 2xy的最小值是 10设方程 1nx （ n 为奇数）的 n 个根为 1 2 11, , , , nx x x ，则 1111nk kx 11用 x 表示实数 x 的小数部分，若 20055 13 18a 则 aa 12已知 P 、 Q 、 R 、 S 是三棱锥 A BCD 内的四点，且 Q 、 R 、 S 、 P 分别是线段 PA 、 QB 、 RC 、 SD 的中点，若用 PABCV 表示三棱锥 P ABC 的体积，其余的类推则: : :P A B C P B C D P C D A P A B
25、 DV V V V 三、解答题： 13设 12, , , 2nP P P n 是 1,2, ,n 的任意一个排列求证： 1 2 2 3 2 1 11 1 1 1 12n n n nnP P P P P P P P n 14一医生知道某种疾病患者的自然痊愈率为 0.25 ，为实验一种新药是否有效，把它给 10 个病人服用他事先决定，若这 10 个病人中至少有 4 个治好，则认为这种药有效，提高了痊愈率否则认为无效求 （ 1）虽然新药有效，并把痊愈率提高到了 0.35 ，但通过实验却被否定的概率； （ 2）新药完全无效，但通过实验却被判断为有效的概率 参考数据： p 2.0000 3.0000 4
26、.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000 0.2500 0.0625 0.0156 0.0039 0.0010 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.3500 0.1225 0.0429 0.0150 0.0053 0.0018 0.0006 0.0002 0.0001 0.0000 0.6500 0.4225 0.2746 0.1785 0.1160 0.0754 0.0490 0.0319 0.0207 0.0135 0.7500 0.5625 0.4219 0.3164 0.2373 0.1780
27、 0.1335 0.1001 0.0751 0.0563 答案请保留四位有效数字 15设双曲线 22:1xyS ab， 00,M x y S ，且 000xy 00,N x y ，其中22001 xyab 过点 N 的直线 L 交双曲线 S 于 ,AB两点，过点 B 作斜率为 2 02 0bxay的直线交双曲线 S 于点 C 求证： ,AMC 三点共线 解： B 由题设： 100119 lg 1209 lg 10b aa ，从而 9 101.19 1.2b 8b 解： A 1 2 3 8 36 1 到 8 中任取四个不同的数求和，可以得到 48 70C 种答案（可以相同） 其中和为 18 的共
28、有 8 种： 8,7,2,1 ， 8,6,3,1 ， 8,5,4,1 ， 8,5,3,2 ， 7,6,4,1 ， 7,6,3,2 ， 7,5,4,2 ， 6,5,4,3 4 个红球对应序号之和小于 4 个蓝球序号之和的排列数为 70 8 312 解： C 设圆柱底面半径为 r ，高为 h 则 2222r h r rh ，即 22rh r ， 2r 从而 32 2 222rrVr rr令 20tr ，则 3 222 816 1 2 1 8 1 1 2 72 tV t t t tt t t 当 1t 时， V 取最小值 54 解： C 由题设： 2s i n c o s c o s s i n s
29、 i n s i n c o t c o s s i n s i n 解： D 4 4 344 2 4 2 134 1 6 解： A 丙共当裁判 8 局，所以甲乙之间共有 8 局比赛 又甲共打了 12 局，乙共打了 21 局，所以甲和丙打了 4 局，乙和丙打了 13 局 三个人之间总共打了（ 8+4+13） =25 局 考察甲，总共打了 12 局，当了 13 次裁判所以他输了 12 次 所以当 n 是偶数时，第 n 局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第 10 局的输方必 是甲 解： 2 3ab ， 0ab 2210 x y k a t bt ，即 1 2ktt 解： 3n 或 4 3n 或 4
30、显然满足题意 当 5n ，考察其顶点 1 1 1,A x y ， 2 2 2,A x y ， 3 3 3,A x y ， 4 4 4,A x y ， 5 5 5,A x y ，由抽屉原理知道必然有两点的横坐标与纵坐标的奇偶性完全相同，不妨设为 ,i i iA x y ，PDCBAQPRS ,j j jA x y ， ij 则 ijAA 的中点必然是一个整点而由凸 n 边形的性质知道，线段 ijAA的中点必然在该多边形的内部或者边上 解： 1 由题意： 12x y x ，且 0x ,u xy 2xy 3 1 2 , 1121 1 , 0 1xxxx 解： 12n 22c o s s ink kk
31、xinn， 1, 2,3, , 1kn注意到 2 2 2 2c o s s i n c o s 2 s i n 2k k k k kx i in n n n 22c o s s in nkn k n kixnn 1 1 1 1 1 11 1 1 11 kkk n k k kk k k kxxx x x xx x x x 而 n 为奇数，所以 1n 为偶数，从而 111112nk knx 解： 1 记 20055 13 18b ，则 01b，且 1ab 又 2 0 0 5 2 0 0 52 0 0 5 2 0 0 52 0 0 5 2 0 0 5005 3 1 8 5 3 1 8rr rr r
32、rrra b C C 1002 2 0 0 4 22 1 2 120050 2 5 3 1 8kkkk CZ 而 a a b b ，其中 a b Z ， 01b ba 1a a ab 解： 8:1:2:4 记 ,PBCDH 为点 P 到平面 BCD 的距离其余类推设 1P BCDV ,: : 2S B C D P B C DH H S D P D 2S BCDV ,: : 2 : 1R B C D S B C DH H R C S C， 4R BCDV ,: : 2 : 1Q B C D R B C DH H Q B R B， 8BCDV 设 AP 延长后交平面 BCD 于 P 则 : : 8
33、 : 1Q B C D P B C DQ P P P V V : 7 :1QP PP ，又 AQ QP ， : 15 :1AP PP 15A BCDV 同理 1Q ACDV ， 1S ABCV ， 1R ABDV 88P A B C S A B CVV， 22P C D A Q C D AVV， 2 4 4P A B D Q A B D R A B DV V V : : : 8 : 1 : 2 : 4P A B C P B C D P C D A P A B DV V V V 证：记 1 2 2 3 2 1 11 1 1 1n n n nA P P P P P P P P ， 1 2 2 3
34、1nnB P P P P P P 则 21A B n （ 1 2 2 3P P P P，故等号不成立） 而 21 2 12 2 1 2 1 2 3nnB P P P P P n n n 2 2 2221 1 1 13 2 2n n n nA B n n n n n 解：设痊愈率为 p ，恰好有 k 个人痊愈的概率为 ka ， 0,1,2, ,10k 则 1010 1 kkkka C p p （ 1） 0.35p ，此时： 0 1 2 3 0 .5 1 3 8a a a a 即新药有效，并把痊愈率提高到了 0.35 ，但通过实验却被否定的概率为 0.5138 （ 2）新药完全无效， 0.25p
35、，此时： 0 1 2 31 0 .2 2 4 1a a a a 证：设 11,A x y ， 22,B x y ， 33,C x y 过点 M 作斜率为 2 020bxay 的直线 m ，则直线 m 的方程为 2 0002 0bxy y x xay Q 设直线 m 交 NA 与点 P 、交 NC 于点 Q ， ,FFF x y 为 BC 中点 由 ,BC S 得： 221xyab， 22331xyab 两式相减后化简后可得： 00FFyyxx F 在直线 MN 上 从而 M 为 PQ 中点 设直线 L 的斜率为 k ，则直线 L 的方程为 00y y k x y 故 12,xx是方程 2 20
36、0221 1x k x x yab 的两根整理得： 222 20 0 0 0002 2 2 2 2 21 2 1 0x k y x yk x x x xa b a b a b 将 22001 xyab 代入上式，得： 2 2 00002 2 2 21 2 1 0x k yk x x x xa b a b 将其视为关于 0xx 的一元二次 方程由韦达定理，有 00221 0 2 01 1 2 1 x k yx x x x a b 联立，消去 y 得到 002201 1P k y xx x b a 比较式得：0 1 0 2 02 1 1Px x x x x x 从而 2 1 1NP NA NB 下
37、面利用平几知识证明 ,AMC 三点共线 首先假设 ,AMC 三点共线，来证明： 2 1 1NP NA NB F P D G 过 A 做直线 AD BC ，交 NC 与 D 设 G 为 AD 中点 由于 AD BC PQ ， ,AD BC PQ 的中点 ,GFM 共线（过点 N ） N A A G A G A M A P N P N AN B B F F C M C B P N B N P 整理即得： 2 1 1NP NA NB 反之，用同一法可证明当 2 1 1NP NA NB时 ,AMC 三点共线 2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛 (加试 )试题参考答案 一 锐角三角形 ABC 的内切
38、圆分别切 ,ABAC 边于点 ,DE， ,XY分别为 ABC 和ACB 的平分线与 DE 的交点， Z 为 BC 边的中点 求证：当且仅当 60A 时， XYZ 为正三角形 证：记 ABC 的内心为 I ，由 1118022A D E A E D A B C Y I B 得 , , ,BI Y D 四点共圆 又 ID AB ，故 BY CY 则 ZY ZB ZC 同理 ZX ZB ZC，故 ZX ZY 又 ZY ZC ， Z Y C Z C Y A C Y 从而 ZY AC 同理 ZX AB 当且仅当 60A 时， XYZ 为正三角形 二 求与数列 *2 3 6 1 ,n n nna n N
39、中每一项都互质的所有正整数 解：设质数 3p ，由费马小定理得： 12 1 modp p ， 13 1 modp p ， 16 1 modp p 记 121p rp ， 131p sp ， 161p tp ， ,r st Z 则 2 2 22 1 1 12 3 6 1 12 3 6p p pp r p s p t pa 336r s tp 2pa 为整数，而 ,6 1p 2| ppa 又 42 48 2 3a ，故没有质数与数列所有的项都互质 综上所述，与 na 中所有项都互质的正整数只有 1 ZXYCBAIDE三 设 1 2 3 4 5 6 7 8A A A A A A A A为一凸八边形，
40、其中任意三条对角线不共点我们把任意两条对角线的交点（不包含顶点）称为“扣”，把以这个八边形的四个顶点为顶点的凸四边形称为“子四边形”求满足以下性质的最小正整数 n ：可以找到 n 个“扣”，并将它们染色，使得对任意 , 1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8ik ， ik ， ,sik 为定值其中， ,sik 表示以 iA 、 kA为其中两个顶点，且对角线交点是一个染色的“扣”的“子四边形”的个数 解：由题目条件，容易看出，任意四个顶点组和“子四边形”一一对应，所有“子四边形”的对角线交点又与所有的“扣”一致，所以我们可以用无序四元集 1 2 3 4, , ,i i i i（ 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7 , 8ji ， 1,2,3,4j ）来标记以1 2 3 4, , ,i
