1、初一数学竞赛讲座1 / 82初一数学竞赛讲座(一)自然数的有关性质一、知识要点1、 最大公约数定义 1 如果 a1,a2,an 和 d 都是正整数，且 da 1,da 2, da n ，那么 d 叫做 a1,a2,an 的公约数。公约数中最大的叫做 a1,a2,an 的最大公约数，记作 (a1,a2,an). 如对于 4、8、12 这一组数，显然 1、2、4 都是它们的公约数，但 4 是这些公约数中最大的，所以 4 是它们的最大公约数，记作(4,8,12)=4.2、最小公倍数定义 2 如果 a1,a2,an 和 m 都是正整数，且 a1m, a2 m, anm，那么 m 叫做 a1,a2,an
2、 的公倍数。公倍数中最小的数叫做 a1,a2,an 的最小公倍数，记作 a1,a2,an.如对于 4、8、12 这一组数，显然 24、48、96 都是它们的公倍数，但 24 是这些公倍数中最小的，所以 24 是它们的最小公倍数，记作4,8,12=24.3、最大公约数和最小公倍数的性质性质 1 若 ab,则(a,b)=a.性质 2 若(a,b)=d,且 n 为正整数，则(na,nb)=nd.性质 3 若 na, nb,则 .nba,性质 4 若 a=bq+r (0r1)可以唯一地分解为： ,kaapn21其中 p111)，一定可以表示成两个合数之和。评注：本题是通过对整数的合理分类来帮助解题，这
3、是解决整数问题的一种常用方法。但要注意对整数的分类要不重复不遗漏。例 9 证明：n (n+1)+1(n 是自然数 )不能是某个整数的平方。分析：注意到 n (n+1)+1=n2+n+1，n 是自然数，n 2n2，且 ，则 n1= ，n 2= 7921解答题13、证明：不存在这样的三位数 ，使 成为完全平方数。abccab14、试求四位数 ，使它是一个完全平方数。xy15、a、b、c、d 都是质数，且 10a1，由 减去 得一个三位数 ，123 123a32123b证明： + =1089b2119、对于自然数 n，如果能找到自然数 a 和 b，使得 n=a+b+ab,那么 n 就称为“好数” 。
4、如3=1+1+11，所以 3 是“好数” 。在 1 到 100 这 100 个自然数中，有多少个“好数”？20、AOMEN 和 MACAO 分别是澳门的汉语拼音和英文名字。如果它们分别代表两个 5 位数，其中不同的字母代表从 1 到 9 中不同的数字，相同字母代表相同的数字，而且它们的和仍是一个 5 位数，求这个和可能的最大值是多少？初一数学竞赛讲座(四)有理数的有关知识9、 知识要点1、绝对值x 的绝对值 的意义如下： =x0x， 如 果， 如 果是一个非负数，当且仅当 x=0 时， =0绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得：表示数轴上 a 点到
5、 b 点的距离。ba初一数学竞赛讲座16 / 820 1-32、倒数1 除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。3、相反数绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。两个互为相反数的数的和等于 0。10、 例题精讲例 1 化简 632xx分析：由 2x+1=0、x-3=0、x-6=0 求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。解：由 2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3， x=6当 时，原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+221x当 时，原式= (2x+1)+(x-3)
6、- (x-6)= 2x+43当 时，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 106当 x6 时，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2原式= 时当， 时当， 时当， 时当， 6x 2-x3 10421评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。例 2 已知 的最大值和最小值。(第六届迎春杯决赛试题)3123513xxx， 求分析：先解不等式，求出 x 的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。解：解不等式 得： 7的几何意义是 x 到 1 的距离与 x 到-3 的距离的差，从上图中可以看出：当1x
7、x-3 时这差取得最大值 4，因 ，则当 时这差取得最小值 .7713评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。2、本题求得 x 的范围后，也可用零点分段法将 化简，然后求出最大值和1x最小值。=3117323 4xxx， 当 时当，初一数学竞赛讲座17 / 82由上式可以看出：当 x-3 时取得最大值 4，当 时取得最小值17x13例 3 解方程 0 3.281 145926. yx(第六届华杯赛决赛初一试题)分析：两个非负数的和是 0，这两个非负数必须都是 0。解：由原方程得)2( 13.7284596yx由(1)得： .x从而 x=x-3.1415926 或 x=3.
8、1415926-x，所以 x=1.5707963由(2)得： 13.728y从而 yy 13.78 .1或所以 y= 或 y=207605于是，原方程的解是 601593. 2179.yxyx评注：两个非负数的和是 0，这两个非负数必须都是 0 是解题中常用的一个结论。本题中，求中的 x 值也可以用绝对值的几何意义来解， 表示 x 到145926.3x 145926.3x原点与到 3.1415926 的距离相等，因而 x 是原点与点 3.1415926 连结线段的中点，即 x=1.5707963例 4 有理数 均不为 0，且 设 试求代数式cba, .0cba |,|baccbax2000 之
9、值。(第 11 届希望杯培训题)x91分析：要求代数式 2000 的值，必须求出 x 的值。根据 x 的特征和已知条件，分析 ax91与 b+c,b 与 a+c，c 与 a+b 的关系，从而求出 x 的值。解：由 均不为 0，知 均不为 0ba, bacb, . ).(),()( bac即 1,1c又 中不能全同号，故必一正二负或一负二正ba,初一数学竞赛讲座18 / 82所以 中必有两个同号，即其值为两个1，一个1 或两个1，一个bacb|,|1 ,| c .| baccbax因此， 2091x.190291例 5 已知 a、b、c 为实数，且 ，求 的值。543cba， c(第 8 届希望
10、杯试题)分析：直接对已知条件式进行处理有点困难，根据已知条件式的结构特征，可以将它们两边取倒数。解：由已知条件可知 a0，b0，c0，对已知三式取倒数得：51 41 3a，三式相加除以 2 得： 6c因为 ，所以 =babc cab61例 6 求方程 的实数解的个数。(1991 年祖冲之杯数学邀请赛试题)132x分析：1 可以化成： ，于是32x32x由绝对值的性质：若 ab0，则 可得(x-2) (x-3) 0 从而求得 xba解：原方程可化为： 32xx则 (x-2) (x-3)0，所以 ，所以 2x303 0或因此原方程有无数多个解。评注：本题很巧妙地将“1”代换成 ，然后可利用绝对值的
11、性质来解题。在解数学2x竞赛题时，常常要用到“1”的代换。例 7 求关于 x 的方程 的所有解的和。1)a(0 12 解：由原方程得 ， x20a1， ，即 x-2=(1a), x=2(1a),x从而，x 1=3+a， x 2=3-a， x 3=1+a， x 4=1-ax 1+x2+x3+x4=8，即原方程所有解的和为 8初一数学竞赛讲座19 / 82例 8 已知： 。的 值， 求， 且 101242 xax分析：直接求值有困难，但我们发现将已知式和待求式倒过来能产生 ，通过将 整体处x1x1理来求值。解： axax10122 ， 且即 1 而 2222224 11axxx ax124评注：本
12、题通过将 整体处理来解决问题，整体处理思想是一种常用的数学思想。例 9 解方程组 (1984 年江苏省苏州市初中数学竞赛试题)221yzxz解：观察得，x=y=z=0 为方程组的一组解。当 xyz0 时，将原方程组各方程两边取倒数得：(1)+(2)+(3)得：)3( 122)( yzxz 22132yxzyx 011222222 zyxzyxzx x=y=z=1011y初一数学竞赛讲座20 / 82故原方程组的解为： 1 0zyxzyx或评注：本题在对方程组中的方程两边取倒数时，不能忘了 x=y=z=0 这组解。否则就会产生漏解。11、 巩固练习选择题1、若 ( )A、1 B、-1 C、1 或
13、-1 D、以上都不对 的 值 是， 则 a22、方程 的解的个数是( ) (第四届祖冲之杯数学邀请赛试题)3xA、0 B、1 C、2 D、3 E、多于 3 个3、下面有 4 个命题：存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。其中正确的命题是：（ ） （A ）和 （B）和 （C）和 （D）和4、两个质数的和是 49，则这两个质数的倒数和是( )A、 B、 C、 D、9458645、设 y=ax15+bx13+cx11-5(a、b、c 为常数)，已知当 x=7 时， y=7，则
14、 x= -7 时，y 的值等于( )A、-7 B、-17 C、17 D、不确定6、若 a、c、d 是整数，b 是正整数，且满足 a+b=c，b+c=d，c+d=a，则 a+b+c+d 的最大值是( )A、-1 B、0 C、1 D、-5填空题7、设 a0，且 x = 2 ,xa则8、a、b 是数轴上两个点，且满足 ab。点 x 到 a 的距离是 x 到 b 的距离的 2 倍，则 x= 9、 若 互为相反数，则 236m与 m10、计算： 10321311 11、若 a 是有理数，则 的最小值是.|)(|)(aa12、有理数 在数轴上的位置如图所示，化简cb,._|1|1| c解答题13、化简：
15、325x初一数学竞赛讲座21 / 8214、已知 202 101baba， 求15、若 abc0，求 的所有可能的值c16、X 是有理数，求 的最小值。219510xx17、已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值为 1，求 a+b+x 2-cdx 的值。18、求满足 的所有整数对(a，b).19、若 的值恒为常数，求 x 的取值范围及此常数的值。631542x20、已知方程 有一个负根而没有正根，求 a 的取值范围。a初一数学竞赛系列讲座(5)代数式初步12、 知识要点1、代数式定义 1 用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方 )把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式
16、。2、代数式的值定义 2 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。3、列代数式列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识。列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言” 。4、求代数式的值代数式的值由它所含字母的取值决定，并随字母取值的改变而改变，字母取不同的值，代数式的值可能同也可能不同。代数式中所含字母取值时，不能使代数式无意义。求代数式的值的一般步骤是(1)代入，(2)计算。13、 例题精讲例 1、轮船在静水中的速度是每小时 a 千米，水流速度为每小时 b 千米(ba) ，甲乙两码头间相距 S
17、千米，则轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为每小时 千米。分析：轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度应为往返一趟的总路程除以总时间。解 因为轮船在静水中的速度是每小时 a 千米，水流速度为每小时 b 千米(ba)则轮船的顺流速度为(a+b)千米，逆流速度为(a-b) 千米，所以顺流所用时间是 ba逆流所用时间是 ，轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为往返路程的和除以往返所baS初一数学竞赛讲座22 / 82用时间的和，即 abSba22评注：顺流速度=静水中的速度+水流速度；逆流速度= 静水中的速度-水流速度。例 2 一支部队排成 a 米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用 t
18、1 分钟追上了团长。为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了 t2 分钟。如果他从最前头跑步回到队尾，那么要( )分钟。A、 B、 C、 D、21t21t21t21t分析：这是行程问题中的相遇问题。解 部队的行军速度为 米/分。t 1 分钟内，队尾的战士比部队多走了 a 米，则他的速度为2a米/分= 米 /分。他从最前头跑步回到队尾的过程中，队尾恰好与他相向而行，12ta 12t故所需时间应为 (分) 选 C12212ttata 21t例 3 若 abc，xyz，则下面四个代数式的值最大的是( )A、ax+by+cz B、ax+cy+bz C、bx+ay+cz D、bx+cy+az分析：由于本题
19、涉及的字母比较多，直接比较四个代数式的大小很困难。因为是选择题，故可采用特值排除法来解。解：abc，xyz，可设 a=x=1,b=y=2,c=z=3，然后分别代入四个选择支计算得： A 的值是14；B、C 的值都为 13；C 的值为 11，故选 A评注：用特值排除法来解选择题，有时能取到事半功倍的效果。例 4 已知 ，求 0121011262 axxaxax 的值。028102a分析 此题若将左边六次方展开，计算相当繁琐。注意到求的是偶次幂项的系数和，故可将 x=1 和x= -1 分别代入已知等式的两边，得到 10121012 aa和 ，相加除以 2 即可得所求的值。970291012 aaa
20、解 将 x=1 代入已知等式，得 01211将 x= -1 代入已知等式，得 97902 a初一数学竞赛讲座23 / 82两式相加，得 2( )=730028102aa =3658102a评注：本题采用的是特值法。例 5 已知当 x=7 时,代数式 ax5+bx-8=8,求 x=7 时, 的值.825xba分析 代数式 ax5+bx-8 中有三个字母,将 x=7 代入，仍无法求出 a,b 的值，影响直接代入求值，但通过观察，发现将 x=7 代入,可整体地求出 75a+7b 的值，从而问题得到解决。解 由已知条件知：a 75+b 7-8=8，所以 a 75+b 7=16当 x=7 时， = (a
21、 75+b 7)+8= 16+8=1682xb121评注：本题采用的是“整体处理思想” ，整体处理是一种常用的数学思想。例 6 若 ab=1，求 的值1ba分析 此题的解法很多，关键是如何充分利用好 ab=1，如由 ab=1 得出 ，然后直接代入计算；ba1如利用 ab=1 巧秒地将式子中的“1”代换成 ab；如在式子的一个分式的分子、分母上乘以 a 或 b，然后化成同分母进行计算。解法 1 由 ab=1 得 ，从而 =ba1ba 11bb解法 2 ab=1， =1a解法 3 ab=1， =ba 11bb评注：本题中的解法 2 与解法 3 巧秒地应用了 “1”的代换， “1”的代换是恒等变形中
22、的常用技巧之一。例 7 若 a、b、c 全不为零，且 求证： (1978 丹东市数学竞赛试题),1cbaac分析 本题是由两个已知等式来证明一个等式，容易发现，所求证等式中没有 b，因而可设法从两已知等式中消去 b。证明：由 ，由1得 cc1得两式相乘得 整理得aa去分母得 ac+1=a，因为 a0，故两边同除以 a 得 1c评注：本题是证明条件恒等式，条件恒等式的证明关键是充分利用好条件式。初一数学竞赛讲座24 / 82例 8 对任意实数 x、y，定义运算 x y 为 x y=ax+by+cxy 其中 a、b、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法。现已知 1 2=3，2 3=4，
23、并且有一个非零实数 d，使得对于任意实数 x,都有 x d=x，求 d 的值。解 由已知条件知 1 2=a+2b+2c=3 2 3=2a+3b+6c=4 x d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x 由得 a+cd=1 bd=0因为 d0，所以 b=0 代入得 a+2c=3，代入得 2a+6c=4从而解得 a=5，c= -1，将 a=5，c= -1 代入 a+cd=1 得 d=4评注：解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算。例 9 已知代数式 ，当 时的值分别为1，2，2，而且 不等于 0，问当 时dcxba2,od2x该代数式的值是多少？(第 11 届希
24、望杯数学竞赛培训题)分析：所给代数式中含有 4 个字母 a、b、c、d，将所给的三个 x 取值代入，可得三个方程，要直接求出 a、b、c、d 的值不可能，但可将 d 视为常数，从而三个方程可组成关于 a、b、c 方程组，可将 a、b、c 用 d 表示出来，代入将代数式化简后求值。解：将 分别代入该代数式，得到1,0x .2;1dcabc由此可得 将 代入第一个和第三个等;c).(2;ab式中，得 ,2da,2da ； 进而得到 c3.0.3,6b将 和 代入代数式 中，得到 b,cx2 xcx223dx)1(26；再将 代入，得 1326x .14)(36即当 时该代数式的值是 .14评注：本
25、题采用的是方程思想，方程思想是常用的数学思想，含有未知数的等式常常可看作一个方程。14、 巩固练习选择题1、若代数式 2y2+3y+7 的值是 2，则代数式 4y2+6y-9 的值是( )A、1 B、-19 C、-9 D、92、在代数式 xy2 中，x 与 y 的值各减少 25%，则代数式的值( )A、减少 50% B、减少 75% C、减少其值的 D、减少其值的643764273、一个两位数，用它的个位，十位上的两个数之和的 3 倍减去-2，仍得原数，这个两位数是( )A、26 B、28 C、36 D、384、在式子 中，用不同的 x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，4321xx最小的
26、值是( ) A、1 B、2 C、3 D、4初一数学竞赛讲座25 / 825、实数 a、b、c 满足 a+b+c=0，且 abc=1 则 的值 ( )cba1A、是整数 B、是零 C、是负数 D、正、负不定6、如果 ，那么下列说法正确的是( )11zyxzyxA、x、y、z 中至少有一个为 1 B、x、y、z 都等于 1C、x、y、z 都不等于 1 D、以上说法都不对填空题7、某人上山、下山的路程都是 S，上山速度为 v，下山速度为 u，则此人上、下山的平均速度是 8、已知 ，则代数式 xx+yy-xy-yx 的值是 032)-(9、设 a、b、c、d 都是整数，且 m=a2+b2，n=c 2+
27、d2，mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是_。10、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数 x、y 有则 = yx31*92111、如果 2x2-3x-1 与 a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式，那么 cba12、如果(x-a) (x-4)-1 能够分解成两个多项式 x+b、x+c 的乘积，且 b、c 均为整数，则 a= 解答题13、已知 ，求 a1+a2+a3+a4+a5 54321052 xaxaxx 14、a、b、c 互不相等，化简 bcbcb15、已知 x-2y=2，求 的值。8463yx16、若 abc=1，求 的值11cabcab
28、17、已知 a+b+c=0，求 的值。3b18、已知 的值yxyx231， 求19、已知 ax+by=7，ax 2+by2=49，ax 3+by3=133，ax 4+by4=406.求 1999(x+y)+6xy 的值ba1720、一个四位数，这个四位数与它的各项数字之和是 1999，求这个四位数。初一数学竞赛讲座26 / 82初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形15、 知识要点1、 整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、 整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解
29、决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。3、 乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条： (a+b) (a-b)=a2-b2 (ab) 2=a22ab+b2 (a+b) (a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b) (a 2+ab+b2)=a3-b3 (a+b+c) 2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a+b+c) (a 2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc (ab) 3= a33a2b+3a b2b34、 整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。5、
30、 余数定理多项式 除以 (x-a) 所得的余数等于 。xf af特别地 =0 时，多项式 能被(x-a) 整除axf16、 例题精讲例 1 在数 1，2，3，1998 前添符号“+”和“- ”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析 要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解 因 1+2+3+1998= 是一个奇数，192198又在 1，2，3，1998 前添符号“+”和“- ”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于 1。先考虑四个连续的自然数 n、n+1、n+2、n+3 之间如何添符号，使其代数和最小。很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以
31、我们将 1，2，3，1998 中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号，即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1故所求最小的非负数是 1。例 2 计算 (2x3-x+6)(3x2+5x-2)分析 计算整式的乘法时，先逐项相乘( 注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列。解法 1 原式=6x 5+10x4-4x3-3x3-5x2+2x+18x2+30x-12初一数学竞赛讲座27 / 82=6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12评注：对于项数多、次数高的整式乘法，可用分离系数法计算，用
32、分离系数法计算时，多项式要按某一字母降幂排列，如遇缺项，用零补上。解法 2 2+0-1+6) 3+5-2 6+0-3+1810+0-5+30-4+0+2-126+10-7+13+32-12所以，原式=6x 5+10x4-7x3+13x2+32x-12例 3 求(2x 6-3x5+4x4-7x3+2x-5) (3x5-x3+2x2+3x-8)展开式中 x8 的系数解 x8 的系数=22+(-3) (-1)+(-7) 3= -14评注：只要求 x8 的系数，并不需要把展开式全部展开。例 4 计算 (3x4-5x3+x2+2)(x2+3)分析 整式除法可用竖式进行解 3 x2 5x - 8 x2+3
33、) 3x4 - 5x3 + x2 + 0x + 23x4 +9 x2 - 5x3 -8 x2+ 0x- 5x3 -15x -8 x2+15x+ 2-8 x2 - 2415x+ 26所以，商式为 3 x2 5x 8，余式为 15x+ 26评注：用竖式进行整式除法要注意：(1) 被除式和除式要按同一字母的降幂排列；(2) 如被除式和除式中有缺项，要留有空位；(3) 余式的次数要低于除式的次数；(4) 被除式、除式、商式、余式之间的关系是：被除式= 除式 商式+余式例 5 计算 (2x5-15x3+10x2-9) (x+3)分析 对于除式是一次项系数为 1 的一次多项式的整式除法可用综合除法进行。用
34、综合除法进行计算，首先要将除式中的常数项改变符号，并用加法计算对应项的系数。解 -3 2 0 -15 10 0 -9 -6 18 -9 -3 9 2 -6 3 1 -3 0 商式=2x 4-6x3+3x2+x -3评注：用综合除法进行整式除法要注意：(1) 被除式按 x 的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用 0 补上；(2) 把除式 x-a 的常数项的相反数 a 写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开；(3) 下移第一个系数作为第三行的第一个数，用它乘以 a，加上第二个系数，得到第三行的第二个数，再把这个数乘以 a，加上第三个系数，就得到第三行的第三个数，依次进行运算，最后一个数即为
35、余数，把它用竖线隔开，线外就是商式的多项式系数。初一数学竞赛讲座28 / 82(4) 如果除式是一次式，但一次项系数不是 1，则应把它化到 1 才能用综合除法。例 6 已知 x+y= -3，x 3+y3= -18，求 x7+y7 的值分析：先通过 x+y= -3，x 3+y3= -18，求出 xy，再逐步求出 x2+y2、x 4+y 4，最后求出 x7+y7 的值解 由 x3+y3=(x+y) 3-3xy (x+y) 得 -18=(-3) 3-3 xy(-3) xy=1又由 x2+y2=(x+y) 2-2xy 得 x2+y2=(-3) 2- 21=7而 x 4+y 4=(x2+y2)2-2 x
36、2y2=72-2=47(-18)47=(x 3+y3)(x 4+y 4)= x7+y7+ x3 y3 (x+y)= x7+y7 -3从而 x7+y7= -843评注：本题充分利用 x+y 和 xy，与 x2+y2、x 4+y 4、x 7+y7 的关系来解题。例 7 求证：(x 2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3 能被 2x2+2y2 整除分析 如果将(x 2-xy+y2)3 与 (x2+xy+y2)3 直接展开，太繁，可将两个式子整体处理，分别看作 a 和b，然后利用乘法公式展开，可将计算简化。解 (x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3=(x2-xy+y2)+(x2+xy+y2
37、)3 - 3(x2-xy+y2) (x2+xy+y2) (x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)=(2x2+2y2)3-3(x2-xy+y2) (x2+xy+y2) (2x2+2y2)所以原式能被 2x2+2y2 整除。评注：本题采用的是整体处理思想。例 8 试求 x285-x83+x71+x9-x3+x 被 x-1 除所得的余数。解法 1 x285-x83+x71+x9-x3+x=( x285-1) (x83-1)+( x71-1)+( x9-1) (x3-1)+( x -1)+2因为 x285-1、x 83-1、x 71-1、x 9-1、x 3-1、x -1 均可被 x-1 整除，所以，
38、原式被 x-1 除所得的余数是 2。解法 2 由余数定理，余数等于 x285-x83+x71+x9-x3+x 在 x=1 时值，即余数=1 285-183+171+19-13+1=2评注：本题两种解法中，解法 1 是通过恒等变形，将原式中能被 x -1 整除的部分分解出，剩下的就是余数。解法 2 是通过余数定理来求余数，这是这类问题的通法，要熟练掌握。例 9 研究 8486，9892，的简便运算，并请你用整式运算形式表示这一简便运算规律。分析：观察 8486，9892，可得：它们的十位数字特点是 8=8，9=9；而它们的个位数字和为4+6=10，8+2=10。则可设十位上的数字为 a，个位上的
39、数字为 b、c，且 b+c=10解：根据上面的分析，设十位上的数字为 a，个位上的数字为 b、c，且 b+c=10则 (10a+b)(10a+c)=100a 2+10a(b+c)+bc=100a2+100a+bc=100a(a+1)+bc评注：以后，凡是遇到上述类型的运算均可用此结果进行简便运算。如 7278=10078+28=5600+16=5616例 10 已知关于 x 的三次多项式除以 x2-1 时，余式是 2x-5；除以 x2-4 时，余式是-3x+4，求这个三次多项式。分析：利用被除式=除式商式+余式的关系来解。解：设这个三次多项式为 ax3+bx2+cx+d (a0)，因为这个三次
40、多项式分别除以 x2-1 和 x2-4，故可设两个商式是：ax+m 和 ax+n，由题意得：初一数学竞赛讲座29 / 82ax3+bx2+cx+d=( x2-1) (ax+m)+2x-5 ax3+bx2+cx+d=( x2-4) (ax+n)+ (-3x+4) 在式中分别取 x=1, -1，得 a+b+c+d= -3，-a+b-c+d= -7在式中分别取 x=2, -2，得 8a+4b+2c+d= -2，-8a+4b-2c+d= 10由上面四式解得： 831 ,35dcba，所以这个三次多项式为 2xx评注：对于求多项式的系数问题常常使用待定系数法。17、 巩固练习选择题1、若 m=10x3-
41、6x2+5x-4，n=2+9x 3+4x-2x2，则 19x3-8x2+9x-2 等于A、m+2n B、m-n C、3m-2n D、m+n2、如果(a+b-x) 2 的结果中不含有 x 的一次项，则只要 a、b 满足( )A、a=b B、a=0 或 b=0 C、a= -b D、以上答案都不对3、若 m2=m+1，n 2=n+1，且 mn，则 m5+n5 的值为 ( ) A、5 B、7 C、9 D、114、已知 x2-6x+1=0，则 的值为 ( ) A、32 B、33 C、34 D、3521x5、已知 ，则(a-b) 2+(b-c)2+(a-b) (b-c)的值为 ( )333cbaA、1 B
42、、2 C、3 D、46、设 =x2+mx+n (m,n 均为整数) 既是多项式 x4+6x2+25 的因式，又是多项式 3x4+4x2+28x+5 的xf因式，则 m 和 n 的值分别是 ( )A、m=2，n=5 B、m= -2，n=5 C、m=2，n= -5 D、m= -2，n= -5填空题7、设 a、b、c 是非零实数，则 abccabca8、设(ax 3-x+6)(3x2+5x+b)=6x5+10x 4-7x3+13x2+32x-12，则 a= , b= 9、x+2 除 x4-x3+3x2-10 所得的余数是 10、若 x+y-2 是整式 x2+axy+by2-5x+y+6 的一个因式，
43、则 a+b= 11、(2 1+1) (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1) (264+1)+1= 12、已知 a、b、c 满足 ，则 a+b-2c 的值为 acba解答题13、设 x、y、z 都是整数，且 11 整除 7x+2y-5z，求证：11 整除 3x-7y+12z14、计算：(4x 4-6x2+2) (5x3-2x2+x-1)15、计算：(8x 2-2x+x 4-14)(x+1)16、已知 的值。161242 aa， 试 求初一数学竞赛讲座30 / 8217、已知 x、y、z 满足条件求 xyz 及 x 4+y 4+z 4 的值4529332z18、当
44、 a、b 为何值时，多项式 2x4+6x3-3x2-ax+b 能被多项式 2x2-4x+1 整除？19、设 P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，a、b、c、d 为常数，P(1)=1993，P(2)=3986，P(3)=5979。试计算7P120、一个关于 x 的二次多项式 ，它被(x-1)除余 2，它被(x-3) 除余 28，它还可被(x+1) 整除，求xff初一数学竞赛系列讲座(7)有关恒等式的证明18、 知识要点恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式。在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法
45、外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、 “1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系。19、 例题精讲例 1 求证：a 1+(1-a1)a2+(1-a1)(1-a2)a3+(1-a1)(1-a2)(1-a n-1)a n=1-(1-a1)(1-a2)(1-a n-1)(1-a n)分析：要证等式成立，只要证明 1- a1- (1-a1)a2- (1-a1)(1-a2)a3 - (1-a1)(1-a2)(1-a n-1)a n=(1-a1)(1-a2)(1-a n-1)(1-a n)证明：1- a 1- (1
46、-a1)a2- (1-a1)(1-a2)a3 - (1-a1)(1-a2)(1-a n-1)a n =(1-a1) 1- a2- (1-a2)a3- (1-a2)(1-a3)a4 - (1-a2)(1-a3)(1-a n-1)a n=(1-a1) (1-a2) 1- a3- (1-a3)a4- (1-a3)(1-a4)a5 - (1-a3)(1-a4)(1-a n-1)a n=(1-a1) (1-a2) (1-a3) 1- a4- (1-a4)a5- (1-a4)(1-a5)a6 - (1-a4)(1-a5)(1-a n-1)a n=(1-a1)(1-a2)(1-a n-1)(1-a n) 原等式成立例 2 证明恒等式 1322113221 aaaaaa nn (第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题)证明 13221 11323212 121 aaannn
