1、1第一章分数统计及全同粒子位形空间的基本性质本章我们讲述什么是统计以及为什么二维空间会出现分数统计。我们将阐述统计与位形空间拓扑性质之间的关系，同时指出全同粒子的真正的位形空间是什么。1.1分数统计在二维空间，自旋与统计之间存在着一些高维空间所没有的特征：自旋不再是整数或半整数的，粒子也不再是费米子或玻色子。实际上它们遵从任意的统计，所以被命名为任意子。在二维空间，自旋是任意的并不惊奇，因为二维旋转群是SO(2)，它是一个阿贝尔群，即在二维平面上，仅仅存在着一个方向的旋转（垂直于平面的转轴），即只存在Sz，而Sz与它自己对易。所以说自旋Sz没有任何的限制，它的取值可以是任意的。（而在三维或高维
2、空间角动量之间的对易关系是非对易的，例如三维空间转动群为SO(3)），生成元的对易关系为Si,Sj = iijkSk; i, j,k = 1,2,3。而正是这个对易关系导致了自旋角动量算符的量子化，即使得S只能取整数或半整数。）如果我们相信自旋与统计之间的关系的话，二维平面的任意性很自然地使我们想到统计的任意性。下面我们来具体看一下。一般说来，统计的概念是与多体波函数中两个粒子互换产生的符号相关。如果波函数得一正号，我们说它描述玻色系统；如果得一负号，我们说它描写费米系统。下面我们来扩展这个统计的概念。1(1,2)描述两个全同硬心且有角动量的粒子，我们假设当粒子2绕着粒子1转动角时，波函数的改
3、变是(1,2)(1,2) = ei(1,2) (1.1)如图2.1所示。(2.1)式中波函数相因子中的参数通常叫做统计。如果我们考虑两个粒子的交换的话，(2.1)的意义将更清晰。粒子交换可以用下面两种方式实现：(i).粒子2绕粒子1逆时针旋转,即 = ,然后整体移动一下质心，如图2.2所示。(ii).粒子2绕粒子1顺时针旋转,即 = ,然后整体移动一下2 第一章 1. 分数统计及全同粒子位形空间的基本性质图1.1当粒子2绕粒子1转动时，波函数从变到了质心，如图2.3所示。根据(2.1)的定义，操作(i)在波函数上产生的相位为ei,而操作(ii)产生的相位为ei。这个简单的例子将展示二维和三维及
4、高维空间统计的不同。在d 3时，操作(i)和操作(ii)没有区别没有区别。因为我们可以从操作(i)连续地变到操作(ii)：即我们可以把操作(i)的路径连续的提到第3维上，然后再折回到平面上，最后得到路径(ii)。既然操作(i)和操作(ii)一样，那么波函数也一样，即ei = ei (1.2)显然地，只有 = 0,1(mod2)时，(2.2)式才成立。所以d 3时，统计只有两种可能性，交换粒子时，若 = 0,对应玻色统计，波函数得一正号；若 = 1,对应费米统计，波函数得一负号。而在二维时，情况发生了彻底的变化，因为不可能将(i)连续的变到(ii)。因为粒子是实心的，不能够互相穿过对方。所以二维
5、时，(i)和(ii)在拓扑上和物理上都是截然不同的。所以在d = 2时，给定初始与末尾的位形空间并不能够决定系统的性质，它还需要去指出不同的轨迹，即初始和末尾之间的过程。换句话说，在二维空间，粒子的时间演化是重要的，不能忽略。下面我们将看到这个事实隐含了任意子位形空间基本群是辫子群，而不是置换群。以上就是一种定义统计的方法。但是，大家看到，出发点是(2.1)式的假设。那么为什么这个假设是合理的呢？下面我们用路径积分的思想来给出证明。图1.2两粒子的交换通过粒子2绕粒子1逆时针转动 = 实现1.1. 分数统计 3图1.3两粒子的交换通过粒子2绕粒子1顺时针转动 = 实现给出证明之前需要澄清一件事
6、情。目前大多数统计书中的统计的定义方法：即讨论两个全同粒子的坐标置换引起的波函数的相位。但是这里要指出：这个方法虽然清晰易懂，但却是有歧义，甚至是错误的。文献2正确的批评了这种方法。如果粒子是全同的，置换这个词就没有任何物理意义，因为一个给定的位形空间及另一个置换粒子的坐标得到的位形空间仅仅是描述同一个粒子位形空间的不同方法而已。引起误解的根源在于理论中引进了粒子的编号这一不可观测量从而使讨论模糊不清。下面我们利用路径积分来证明前面给出的统计假设是合理的。量子统计实际上指的是当两个粒子在空间中绝热地交换时引起的波函数的位相3。下面我们跟随吴永时45的脚步来严格的推出二维空间上的量子统计。根据量
7、子力学的标准路径积分公式6，系统从位形q在时刻t演化到t时刻的位形q，传播子为K(q,t;q,t) =q,t|q,t=q(t)=q;q(t)=qDqe ihtt dLq(),q() (1.3)其中L(q, q)是N粒子体系的Lagrangian密度。q(t)=q;q(t)=qDq这个记号代表对连接时刻t,q点到时刻t,q点的所有路径的和。波函数在传播子表述下的演化为(q,t) =MdNdqq,t|q,tq,t|=MdNdqK(q,t;q,t)q,t| (1.4)其中MdN表示N个d维粒子的位形空间。不失一般性，我们可以选择q = q，从而需要讨论MdN中的所有回路。如果两个回路可以通过连续的变
8、形得到，我们就说它们是等价的。所有的等价回路构成一个类，而所有这些类构成了一个群，叫做基本群，记为1。所以1(MdN)中的两个不同元素意味着它们之中不能通过连续变形得到。所以方程(2.3)可以重写为K(q,t;q,t) = 1(MdN)()K(q,t;q,t)4 第一章 1. 分数统计及全同粒子位形空间的基本性质= 1(MdN)()q(t)=q;q(t)=qDqe ihtt dLq(), q() (1.5)式中()是一些复常数。为什么要添加这些常数呢？因为正常情况下，我们知道同一类中的所有回路都可以连续的变形得到，所以同一类回路的比重相同。而对于那些不可以连续变形的回路，没有任何先决条件指出它
9、们应该相同，所以我们在不同类之间添加不同的权重()。那么现在就要问，()是任意的吗？它们的大小是多少？靠什么原则来确定它们呢？根据量子力学的一般原理，系统从时刻t0演化到t1,再从t1演化到时刻t2，与系统直接从t0演化到t2提供相同的位相，即K(q,t;q,t) = q,t|q,t=MdNdqq,t|q,tq,t|q,t=MdNdqK(q,t;q,t)K(q,t;q,t) (1.6)代入上式可得，权重()必须满足，对于任意的1，2。(1)(2) = (12) (1.7)文献3中证明了()必须是一个位相且构成基本群1(MdN)的一个一维表示。方程(2.7)的解为() = ei = ei;0 ,
10、0 = 1 (1.8)为了得到具体的()的值，我们必须深入了解全同粒子的位形空间，然后才能找到位形空间的基本群，最后找基本群的一维表示从而定出()。1.2全同粒子的位形空间下面7我们用X来代表一个粒子的坐标空间，假设N个全同粒子都在这个空间中运动，则N个全同粒子的位形空间一般写为XN，它是单粒子的位形空间的笛卡尔直积。然而，因为粒子是全同的，所以XN中的以下两点x = (x1,.,xN)x = p(x) = (xp1(1),.,xp1(N) (1.9)1.2. 全同粒子的位形空间 5其中xi X;i = 1,.,N,p是粒子标号的置换，都表示系统的相同的位形空间。所以说N个全同粒子的真实的位形
11、空间并不是XN，而是把这个空间中所有表示相同位形空间的点都粘合成一个点。我们把新的这个位形空间记为XN/SN,其中SN代表置换群。因为置换群SN是离散的，是有限群，所以说除去奇点之外，空间XN/SN与XN局部同构。这两个空间的差别在于它们的整体性质，准确的说是XN/SN的奇性。本质上来说真实的粒子的位形空间是XN/SN去除奇点之后的空间，即XN/SN D,D = (x1,.,xN)其中一些i = j时，xi =xj。因为隐含了我们对于全同粒子的假设，即它们是硬心的，所以不能占据同一个位置。但是，为了方便我们只写出XN/SN。N个全同粒子的位形空间是XN/SN而非XN的事实被有意无意的忽略了很多
12、年。从经典多体粒子的微观描述可以让我们清楚的看到原因。经典系统的动力学仅仅包含位形空间的局部性质，而XN/SN与XN局部同构，所以选择XN更加方便处理。但是量子情况却不一样，因为量子中系统的整体性质变得十分重要。下面我们来更仔细的研究位形空间XN/SN。前面说了真实的位形空间需要把XN中满足SN的点全部粘在一起。那么，具体该怎么操作呢？为了研究方便，先把在SN下不变的点去掉，然后再来研究相对空间。假设X是一个n维的欧几里得空间n，引入质心系坐标X = N1 n i=1xi n (1.10)其中x1,.,xN是N个粒子的坐标。在SN下，质心坐标是不变的。所以说现在N个粒子的空间是以下的笛卡尔乘积
13、Nn /SN = nr(n,N) (1.11)其中n代表质心的位形空间，而r(n,N)是一个nNn维的相对空间。相对空间r(n,N)是把欧几里得空间nNn中所有置换（属于SN的一个元素）的点黏在一起而得到。下面我们讨论二粒子N = 2的情形，相对空间r(n,2)是把n中的两点x =x1x2和x =x2x1黏在一起而得到。位形空间有一个奇点x = 0,对应的是两个粒子在同一位置。当包含奇点时，r(n,2)是简单连通的。如果我们去除奇点0，我们可以把去除后的空间写成以下的乘积形式r(n,2)0 =Pn1 (1.12)6 第一章 1. 分数统计及全同粒子位形空间的基本性质图1.4图中没有阴影的区域是
14、两个全同粒子在一条线上运动的位形空间21 /S2。我们还画出了点x = (x1,x2)上的矢量 = (1,2)沿一条曲线的平行输运。其中正实线给出矢量x的长度|x|，而n1维的实射影空间Pn1给出矢量x的方向x/|x|。上式的分解相当于将相对空间中的长度单独拿出来，只研究矢量的方向。P0是个点，P1是一个无穷连通的圆圈，而对于n 3，Pn1是双联通的。谨记一维，二维，三维及其高维空间的不同，下面我们来仔细的研究这三种情况。最简单的情形是，当两个粒子在一条线上运行时，即N = 2, X = 1.相对于其他维的情况，一维粒子是特殊的，因为他们不能互相穿过对方。位形空间可以通过使得空间21 = 2中
15、的点对(x1,x2)和(x2,x1)相等来得到。所以，如图2.4所示，它是一个半平面。考虑自由运动，两个粒子在一个位置的偶然情况被描述成一个半平面的“墙”的反射。显然，动量是不守恒的。然而，这多多少少是因为定义的原因，因为我们选择定义矢量沿曲线的平行输运为在碰“墙”的地方保持矢量的切线方向不变，而法线方向反向。就像粒子从“墙”上反射回来一样。所以说矢量沿着一条经过“墙”的曲线平行移动时，末矢量与初矢量不同。这儿的定义人为的感觉太重，马上到高维时情况就会很自然。当两个粒子在一个平面上运动时，它们的位形空间是22 /S2 = 2r(2,2) (1.13)相对空间r(2,2)是使得平面上x和x相等的
16、空间。这个空间，如图2.5所示，1.2. 全同粒子的位形空间 7图1.5相对空间r(2,2)是使得平面上x和x相等的面。当我们把这些相等的点粘到一起时可以沿l处将平面剪开然后关于卷成一个顶点在O，顶角为30度的圆锥。此时平面上的圆周C刚好在圆锥上转了两圈。图1.6矢量沿两条不同路径的平行输运。C1在平面上可收缩为一点，所以使得矢量不变。而C2放到平面上相当于从x到x。又因为x点的矢量和x点的矢量-相同，所以路径C2使得矢量改变负号。可以看成是一个顶角为30度的圆锥。对于矢量的平行输运，如图2.6所示，一般说来，对于X =n, n = 1,2,3,.,相对空间r(n,2)中仅仅只有两种等价的矢量
17、的平行输运。一类不改变，而另一类将改变为。第一类的闭合曲线可以连续的收缩为一个点；而第二类的闭合曲线不能收缩为一点。所以说在圆锥r(2,2)上沿闭合曲线的平行输运将变成(1)m，其中m是绕圆锥顶点的次数。不同的m即绕顶点次数不同的闭合曲线不能够连续的转化，所以从这儿可以看出二维空间的相对空间是多联通的。基于以上性质，吴永时于1984年4指出二维空间的基本群是辫子群BN。三维平面是物理上最重要的。此时相对空间r(3,2)的射影空间P2是把单位球的对点黏在一起得到的一个半边赤道为虚线的半球面。如图2.7所示，同时给出了三维空间中所有可能的闭合路径。在射影空间P2中任何一条闭合曲线如果两次包含奇点的
18、话，这条闭合曲线总是可以收缩为一个不通过奇点的点。所以说三维空间的相对空间是双连8 第一章 1. 分数统计及全同粒子位形空间的基本性质图1.7射影空间P2及其所有可能的闭合路径通的。找到了粒子的位形空间，而数学家很早就已经知道了这种空间的基本群89。三维空间的基本群是置换群SN。高维空间与三维空间类似。1.3 ()的具体形式从上节我们知道位形空间的基本群为1(MdN) = SN, d 31(MdN) = BN, d = 2. (1.14)对于d 3时，基本群是置换群SN,而置换群仅有两个一维表示：(i).对于所有的,+() = 1;对于是偶置换还是奇置换,() = 1。此处，()决定了系统的统
19、计。代入方程(2.8)式可得，对于+() = ei = 1 = = 0，对应玻色统计；对于() = ei = 1 = = 1，对应费米统计。可看出，此处统计的定义和前面第一节讲得一致。对于d = 2时，基本群是辫子群BN。下面介绍一点辫子群的性质。BN是一个无限群，它的生成元有N1个，用1,.,N1来标记，满足II+1I = I+1II+1, I = 1,2,.N2. (1.15)IJ = JI, |IJ| 2. (1.16)为了描述BN的基本移动I,我们引入以下图形表示。给定N个竖直的弦，生成元I作用在N个弦上相当于把第I个弦和第I+1个弦如图(2.8)所示编起来。要注意的是，在辫子群中2I
20、 = 1,若是对于所有的I，2I = 1的话，辫子群就退化为置换群。以上公式(2.15)(2.16)是辫子群的所有关系式，而它们也决定了辫子1.3. () 的具体形式 9图1.8生成元I的图形表示图1.9 t时刻，三粒子的位形空间群的一维表示。辫子群是阿贝尔群，一维表示为(1) = . = (n1) = ei = ei (1.17)其中为周期为2的实数，它被称为统计。下面我们讨论一个三粒子的位形空间如图2.9所示。粒子对间的极角为12(t) = 0, 13(t) = , 23(t) = , (1.18)IJ代表粒子I相对于粒子J的极角，即IJ = tan1(yJ yIxJ xI) (1.19)
21、当到达t时刻时，位形空间变成如图2.10所示，粒子间的极角变为12(t) = +, 13(t) = +, 23(t) = . (1.20)10 第一章 1. 分数统计及全同粒子位形空间的基本性质图1.10 t时刻，三粒子的位形空间如果我们把(2.20)放到(2.19)的上方，然后把每个粒子的初始和末尾位置连接起来就得到如图2.11所示的辫子群操作121.注意一般来说IJ(t)IJ(t)并不等于，而IJIJ(t) IJIJ(t) = n (1.21)上面的例子中刚好是辫子群的三个操作作用，所以n = 3.由此可以推知如果n = 1时，即只有1作用的话，则IJIJ(t) IJIJ(t) = (1.
22、22)所以说我们可以把方程(2.17)中的改写为 IJIJ(t) IJIJ(t),即(1) = ei IJ IJ(t) IJ IJ(t) (1.23)再次将上式改写为(1) = ei IJtt d ddIJ(t) (1.24)其中 IJIJ(t) IJIJ(t)改写成了对参数的积分。要注意的是 IJIJ(t)是很复杂的，因为它要将每一个粒子都考虑进去。我们以后将(2.24)式作为的定义式，重写为() = ei IJtt d dd()IJ (t) (1.25)下面我们把的表达式(2.25)代入到第一节中的方程(2.5)得，K(q,t;q,t) = 1(MdN)q(t)=q;q(t)=qDqe i
23、htt dLq(), q()h IJ dd()IJ ()(1.26)1.3. () 的具体形式 11如果我们定义L =L h IJd()IJ ()d (1.27)因为如本节开始时所说，玻色子的所有权重都相同，所以我们可以把L看成是玻色子的拉格朗日量，即K(q,t;q,t) = 1(MdN)q(t)=q;q(t)=qDqe ihtt dL (1.28)由此可看出二维平面内全同粒子的拉格朗日量可以看成是玻色子的拉格朗日量再加上一个相互作用项，而这也正是任意子的性质，下一章我们就会讲到。所以，我们说可以把分数统计即任意子统计看成是一些“假想的“力，然后将任意子描述成普通的玻色子再加上一个附加的统计相
24、互作用。注意这个统计相互作用是非常特殊的，本质上是拓扑的。我们的例子中它表现为一个全微分，把它加到拉格朗日量上并不改变运动方程的形式，而运动方程仅仅是位形空间局部结构的一个反映。这个统计相互作用虽然不能改变运动方程，但却改变粒子的统计性质，而粒子的统计性质是与位形空间的整体性质有关的。参考文献 13参考文献1 A. Lerda, Anyons:Quantum Mechanics of Particles with Fractional Statistics.Springer-Verlag, Berlin, 1992.2 R. Mirman, Nuovo Cim. B18 , 110 (1973
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