1、第八章 多因素试验结果的统计分析,二因素随机区组设计的结果分析三因素随机区组设计的结果分析二因素裂区设计的结果分析,8.1 多因素随机区组试验的统计分析,一、二因素随机区组试验结果的方差分析1、二因素随机区组试验的线性模型和期望均方 设有A、B两个试验因素，A因素有a个水平,B因素有b个水平 , 采用随机区组设计，重复r次。该二因素试验共有ab个水平组合，每一个水平组合有r个观察值。则该试验共有rab个观察值。,在二因素试验中，由于有两个试验因素，其处理效应由三部分构成，即：,故二因素随机区组试验中每一观察值的线性模型为：,式中，h=1, 2，r； i =1, 2, , a； j =1, 2，
2、b; ,因此，在可加性的假设下，二因素随机区组试验结果的总变异可分解为区组间、处理间和试验误差三部分，而处理又可分解为A因素、B因素和AB互作三个部分。,二因素随机区组试验设计可参照单因素随机区组试验进行，唯一不同点是二因素随机区组试验把各因素不同水平组合当作单因素试验中的处理看待，并按随机的原则排列在各区组。,假定有一个A、B二因素试验，a=3, b=4, 随机区组设计，重复两次r=2，该试验共有12个水平组合.,因重复2次，故应先划分为两个区组；又因有12个水平组合，故每区组划分为12个试验小区。,肥瘦,2、二因素随机区组试验的结果分析,单因素随机区组试验,二因素随机区组试验,二因素随机区
3、组设计的平方和与均方,变异 期望均方来源 固定模型 随机模型区组 2e+ab2 2e+ab2 A 2e+rb2A 2e+r2(AB) +rb2A B 2e+ ra2B 2e+r2(AB) +ra2BAB 2e+ r2(AB) 2e+r2AB误差 2e 2e,二因素随机区组的期望均方,对于多因素试验而言，效应模型的不同将导致F测验的方法不同。 对固定模型来说，各变异项的均方除误差均方即构成相应的F测验。 但对随机模型来说，区组变异和互作变异用误差均方进行F测验；而A 、B的变异则应用互作项的均方进行F测验。,当选用固定模型：,其F值都是以误差项的均方为分母的。,当选用随机模型：,测验,应以误差项
4、均方为分母；,而测验,需以互作项的均方为分母。,二因素随机区组与单因素随机区组的差别：二因素试验的处理项可以再分解为A因素水平间、B因素水平间和AB互作三部分，因此二因素处理项的平方和与自由度亦可作相应的剖分： SSt = SSA + SSB + SSAB (ab-1)=(a-1)+(b-1)+(a-1)(b-1) 其中，SSt 为处理平方和；SSAB 为互作项平方和 ;SSA为A因素平方和； SSB为B因素平方和。,二、二因素随机区组试验结果的分析实例 【例8.1】玉米品种与施肥二因素随机区组试验，A因素有A1，A2，A3(a=3)三个品种，B因素有B1，B2，B3(b=3)三个施肥水平，重
5、复3次(r=3)，小区计产面积20m2，田间排列和小区产量(kg)如图8.1，试作分析。, ,图8.1 玉米品种与施肥随机区组试验田间排列和小区产量,(1)结果整理 将试验所得结果按处理和区组两向分组整理成表8.2；,表8.2 图 8.1资料处理与区组两向表,表8.3 图8.1资料品种(A)与施肥(B)两向表 B1 B2 B3 TA A1 45 38 28 111 A2 43 52 51 146 A3 53 28 24 105 TB 141 118 103 362,再按品种(A)和施肥(B)作两向分组整理成表8.3。,(2)自由度和平方和的分解 在表8.2和表8.3中，Tr为区组总和，Tt为处
6、理总和，TA为各品种总和，TB为各施肥水平总和，T为全试验总和。, AB互作 df(AB)=(a-1)(b-1)=22=4,自由度的分解,总变异 dfT=rab-1=333-1=26,区组 dfr=r-1=3-1=2,处理 dft=ab-1=33-1=8,误差 dfe=(r-1)(ab-1)=28=16,再对dft作分解：,A因素 dfA=a-1=3-1=2,B因素 dfB=b-1=3-1=2,矫正数 C = T2/rab=3622/(333)=4853.48,平方和的分解,误差 SSe=SST-SSr-SSt =436.52-35.19- 338.52=62.81,处理 SSt=(T2t/r
7、)-C =(452+382+242/3)-4853.48=338.52,区组 SSr=(T2r/ab)-C =(1342+1192+1092/(33)-4853.48=35.19,总变异 SST=x2hij C =172+112+72-4853.48=436.52,对处理SSt进行再分解可得：,AB互作 SS(AB)=SSt-SSA-SSB =338.52-108.96-81.41=148.15,B 因 素 SSB=(T2B/ra)-C =(1412+1182+1032)/(33)-4853.48 =81.41,A 因 素 SSA=T2A/rb-C =(1122+1462+1052)/(33)
8、-4853.48 =108.96,表8.4 玉米品种与施肥二因素试验的方差分析（区组随机，处理固定）,（3）方差分析和F测验,这里对A和B两因素都取固定模型，区组则取随机模型，根据表8.1中所列各变异来源EMS的组成情况，各F值的计算都应用误差项MS作分母，取显著水平=0.05。,表8.4的F测验结果表明，区组间、品种间、施肥水平间以及品种与施肥互作间的差异均达5%显著水平，所以应进一步进行差异显著性测验。,(4)差异显著性测验(SSR) 计算过程已多次重复叙述，本章只列出各自的标准误、LSR和显著性测验结果，查表计算过程从略。,k=2时，LSR0.05，16=1.98(kg)，LSR0.01
9、，16=2.73(kg)。 k=3时，LSR0.05，16=2.08(kg)，LSR0.01，16=2.88(kg)。,以各品种的小区平均产量为单位进行新复极差测验，求得：,品种间比较,品种 小区平均产量(kg) 差异显著性 5% 1% A2 16.22 a A A1 12.33 b B A3 11.67 b B,表8.5 三个品种小区平均产量新复极差测验,推断：品种A2与A1、A3的差异达=0.01水平，A1与A3间差异不显著。因此，A2品种平均产量最高，极显著地优于A1、A3品种。,施肥水平间比较 仍以施肥水平的小区平均产量进行比较，求得： 因施肥水平间与品种间的标准误相同，故LSR也一样
10、。显著性测验结果如表8.6。,施肥量 小区平均产量(kg) 差异显著性 5% 1% B2 13.11 b AB B3 11.44 b B,表8.6 三种施肥量小区平均产量间差异显著性测验,推断：以上分析表明施B1水平的肥量，各品种的平均产量最高，显著高于B2、B3，并与B3差异达极显著。,水平组合间的比较 AB的F测验显著、说明不同品种要求的施肥量是不相同的。因此，还需要比较两因素水平组合之间的差异显著性。简便而常用的方法是对A各水平下B间(或B各水平下A间)作多重比较。, 各品种在不同施肥水平下的小区平均产量比较对各Ai，算得AB的标准误为,k=2, LSR0.05,16=3.44(kg)，
11、LSR0.01,16=4.73(kg)。k=3, LSR0.05,16=3.61(kg)，LSR0.01,16=4.97(kg)。,施肥 平均(kg) 差异显著性 水平 产量 5% 1% B1 15.00 a A B2 12.67 ab AB B3 9.3 b B,表8.7 各品种在不同施肥水平下的差异显著性,施肥 平均(kg) 差异显著性 水平 产量 5% 1% B2 17.33 a A B3 17.00 a A B1 14.33 a A,A2品种,A1品种,比较结果列于表8.7，,施肥 平均 (kg) 差异显著性水平 产量 5% 1% B1 17.67 a A B2 9.33 b B B3
12、 8.00 b B,A3品种,从表8.7可看出,A1品种以B1施肥量产量最高，它与B2无显著差异，但与B3差异极显著；A2品种以B2施肥量产量最高，但与B3、B1差异不显著；A3品种以B1 施肥量最优，并与B2、B3有极显著差异。,另一种方法是直接比较全部九个处理的差异显著性 新复极差法的显著标准,9个处理间的差异显著性（SSR）,(5)试验结论 参试品种水平间有显著差异:以A2平均产量最高，与A1，A3均有极显著差异。施肥量水平间有显著差异:以B1产量为最高，与B2、B3有显著差异，并与B3达极显著差异。品种与施肥量互作显著:A1，A3品种应取B1施肥量为优，A2品种在3种施肥量下产量差异不
13、显著。,二、三因素随机区组试验结果的方差分析 1.三因素随机区组试验的线性模型与期望均方 设试验有A，B，C三个因素，各具有a，b，c个水平，且将abc个处理安排在r个随机完全区组内，则该试验有rabc个观察值。由于有A，B，C三个因素参加试验，处理效应则为三个因素的总效应，它可以分解为Ai，Bj，Ck，(AB)ij，(AC)ik，(BC)jk和(ABC)ijk 七个部分。,各观察值的线性模型为：,式中：h=1，2，r； i=1，2，a； j=1，2，b； k=1, 2，c。,根据上述分析，三因素随机区组试验的总变异可分解为区组、处理和误差，而处理间又分解为A因素，B因素，C因素，AB，AC，
14、BC及ABC互作七项。各项变异来源的名称、符号、计算公式、期望均方均分别列在表8.8。,表8.8的期望均方提供了三因素随机区组试验正确进行F测验的依据，测验时仍按分子均方EMS比分母均方EMS只多一个分量的原则。 当有现成适合的被比量时，直接计算F值进行F测验。 当无现成适合的被比量时，可通过有关项均方相加来近似测验。,例如，在随机模型中，测验 H0：2A=0对HA：2A0，,于是，由F=s21/s22 可测验H0：2A=0对HA：2A0。,再将AB和AC的均方相加得s22=s2AB+s2AC， 估计22+2r2ABC+rc2AB+rb2AC。,先将A和ABC的均方相加得s21=s2A+s2A
15、BC， 估计22+2r2ABC+rc2AB+rb2AC+ rbc2A，,此F值的近似自由度为：,以后遇到随机模型以及混合模型的某些变异来源没有现成适合的被比量时，F测验均可仿此进行近似测验。但当期望均方中某些分量的H0被接受，使该变异来源可以直接测验时，则不应使用上述近似方法。,2、三因素随机区组试验结果的分析示例 【例8.2】有一玉米三因素随机区组试验，A因素为品种，有A1，A2，A3三个水平(a=3)；B因素为密度，有B1，B2二个水平(b=2)；C因素为施肥量，有C1，C2二个水平(c=2)；重复三次，小区计产面积44.4m2。试验处理与代号、田间排列和小区产量(kg)见图8.2，试作分
16、析。,图8.2 玉米三因素随机区组试验的田间排列和小区产量,(1)结果整理 先将试验结果按区组与处理两向分组整理成表8.9。,8.9 图8.2资料的区组与处理两向表区组 A1 A2 A3 B1 B2 B1 B2 B1 B2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 Tr 33 32 30 29 30 28 27 26 28 26 25 24 338 34 33 30 29 29 28 29 27 27 25 26 25 342 32 32 29 28 29 27 28 28 28 26 25 24 336 Tt 99 97 89 86 88 83 84 81 83
17、 77 76 73 T=1016,A，C两向表 A，B两向表 B，C两向表 A1 A2 A3 TC A1 A2 A3 TB C1 C2 TB C1 188 172 159 517 B1 196 171 160 527 B1 270 257 527 C2 183 164 150 497 B2 175 165 149 489 B2 249 240 489 TA 371 336 309 1016 TA 371 336 309 1016 TC 519 497 1016,表8.10 图8.2资料二因素两项表,再按任二因素两向分组整理成表8.10的，。,(2)自由度与平方和的分解 r=3, a=3, b=
18、2, c=2总变异：dfT=rabc-1=3322-1=35,区组变异：dfr=r-1=2,处理间变异：dft=abc-1=11,A 品种间：dfA=a-1=2,B 密度间：dfB=b-1=1,C 施肥间：dfC=C-1=1,AB: df(AB)=(a-1)(b-1)=2,AC: df(AC)=(a-1)(c-1)=2,BC: df(BC)=(c-1)(b-1)=1,ABC: dfABC=(a-1)(b-1)(c-1),误差： dfe=(r-1)(abc-1),(3)方差分析表和F测验 这三个试验因素都取固定模型，所以各项均方都可与误差均方相比而得出F值。,表8.11 玉米三因素试验的方差分析
19、表 变异来源 DF SS MS F F0.05 F0.01 区组 2 1.55 0.78 1.63 处理 11 226.22 20.57 A(品种) 2 161.05 80.53 167.76* 3.44 5.72 B(密度) 1 40.11 40.11 83.56* 4.30 7.94 C(施肥) 1 13.44 13.44 28.00* 4.30 7.94 AB 2 9.73 4.87 10.14* 3.44 5.72 AC 2 0.73 0.37 1 BC 1 0.45 0.45 1 ABC 2 0.71 0.36 1 误差 22 10.45 0.48 总变异 35 238.22,F测验
20、表明，A，B，C三个因素主效以及一级互作AB均达到极显著，其余皆不显著。所以应进一步对A，B，C以及AB水平组合作多重比较。,(4)各因素及水平组合的显著性测验(SSR) 品种间比较,A3品种的亩产量=3091.25=386.3(千克/亩),A2品种的亩产量=3361.25=420.0(千克/亩),A1品种的亩产量=3711.25=463.8(千克/亩),每个TA是rbc=322=12个小区的产量总和，故将小区总产量折算为亩产量的改算系数为，cf=666.67/(1244.4)=1.25,以亩产量为单位比较,k=2时，LSR0.05,22=8.79； LSR0.01,22=11.97 k=3时
21、，LSR0.05,22=9.24； LSR0.01,22=12.51 以上述尺度去测验三个品种亩产量的差数，其测验结果列于表8.12。,表8.12 三个品种亩产量的新复极差测验 品 种 亩产量(kg) 差异显著性 5% 1% A1 468.8 a A A2 420.0 b B A3 386.3 c C,推断：A1，A2，A3三个品种间亩产量的差异均达到极显著，A1品种为最优。,密度间和施肥量间比较,当变异来源的自由度为1时，t测验、SSR测验和F测验的结果完全相同。所以，对密度间、施肥水平间可以根据F测验直接作出判断：B1极显著地高于B2，C1极显著地高于C2，而不必再作测验。,因为AB交互作
22、用极显著，说明不同品种适宜不同的密度，所以还需测验AB水平组合之间的差异显著性。将各AB水平组合的亩产量列于表8.13，根据如下计算做显著性测验。,AB水平组合间的比较,cf=666.67/(644.4)=2.50 ,k=2时，LSR0.05,22=12.4， LSR0.01,22=16.9,k=5时，LSR0.05,22=13.7， LSR0.01,22=18.5,k=4时，LSR0.05,22=13.4， LSR0.01,22=18.1,k=3时，LSR0.05,22=13.1， LSR0.01,22=17.7,A1B1的亩产量=小区总产（99+97）cf,A3B2的亩产量=小区总产（76
23、+73）cf,A3B1的亩产量=小区总产（83+77）cf,A2B2的亩产量=小区总产（84+81）cf,A2B1的亩产量=小区总产（88+83）cf,A1B2的亩产量=小区总产（89+86）cf,品种密度 亩 产 量(kg) 差异显著性 5% 1% A1B1 490.0 a A A1B2 437.5 b B A2B1 427.5 b BC A2B2 412.5 c CD A3B1 400.0 d D A3B2 372.5 e E,表8.13 不同品种不同密度的新复极差测验,比较结果表明，在5%显著水平下，除A1B2与A2B1之间差异不显著外，其余品种密度间均存在显著差异，在1%显著水平下，A
24、1B2与A2A1，A2B1与A2B2，A2B2与A3B1之间的差异不显著，其余品种密度间存在极显著差异。,(5)试验结论 本试验品种、密度、施肥量间均有极显著差异，品种应选A1，密度应选B1，施肥量应选C1。但AB互作显著，根据AB水平组合间显著性测验结果，A1B1较其他品种密度极显著增产，与C1组合为A1B1C1是本试验的最佳组合。,第二节 裂区试验的方差分析一、二因素裂区试验结果的方差分析 1二因素裂区试验的线性模型和期望均方 设有A，B二因素，A因素为主处理，具a个水平，B因素为副处理，具b个水平，有r个完全区组，则全试验共有rab个观察值。,样本中任意观察值的线性可加模型为：,式中：h
25、=1,2，r; i=1,2，a; j=1,2，b；,h,估计区组效应,Ai,估计主区因素A的主效，,(e1)hi,估计主区误差，,Bj,估计副区因素B的主效，,（AB）ij,估计二因素互作效应,(e2)hij,估计副区误差。,由此不难看出，二因素裂区试验与二因素随机区组试验在分析上大致相同，不同之处仅在于将误差分成了主区误差和副区误差两部分，分别用来测验主处理、副处理以及主与副处理互作的的显著性。,二因素裂区设计的方差分析,当选用固定模型时，Ea可以测验区组间和主处理（A）水平间均方的差异显著性；Eb可用以测验副处理（B）水平间和AB互作间均方的差异显著性。,多重比较时的标准误,2、二因素裂区
26、试验结果的分析示例 【例8.3】设有一水稻施N量(A)、品种(B)试验，主处理为A，有A1，A2，A3(a=3)三个水平，副处理为B，有B1，B2，B3，B4(b=4)四个水平，裂区设计，重复三次(r=3)，副区计产面积13.34m2，其田间排列和小区产量(单位：kg)列于图8.3，试作分析。 P129 图8.3 水稻施N量与品种裂区试验田间排列和小区产量,(1)试验结果的整理先将图8.3的试验结果按区组和处理作两向分组整理成表8.16.再按A和B因素作两向分组整理成表8.17。,表8.16 图8.3资料处理与区组两向表主处理A 副处理B 区 组 TAB TA A1 B1 14 14 13 4
27、1 B2 13 12 12 37 B3 11 10 11 32 B4 15 18 19 52 Tm 53 54 55 162 A2 B1 19 21 22 62 B2 20 22 21 63 B3 19 23 24 66 B4 25 26 23 74 Tm 83 92 90 265 A3 B1 16 18 19 53 B2 17 16 20 53 B3 21 25 27 73 B4 20 19 21 60 Tm 74 78 87 239 Tr 210 224 232 T=666,表8.17 图8.3资料的A和B两向表 B1 B2 B3 B4 TA 平均数 A1 41 37 32 52 162
28、13.50A2 62 63 66 74 265 20.08A3 53 53 73 60 239 19.92TB 156 153 171 186 T=666平均数 17.3 17.0 19.0 20.6 18.5,(2)自由度与平方和的分解 表8.16和表8.17中，Tr为各区组总和，TAB为各处理总和。TA为A因素各水平总和，TB为B因素各水平总和，Tm为各主区总和，T为全试验总和。,自由度的分解,总变异 dfT=rab-1=334-1=35,主区部分：,主区 dfm=ra-1=33-1=8,区组 dfr=r-1=3-1=2,A因素 dfA=a-1=3-1=2,误差 dfEa=(r-1)(a-
29、1)=22=4,副区部分：,B因素 dfB=b-1=4-1=3,A与B互作 df(AB)=(a-1)(b-1)=23=6,误差 dfEb=a(r-1)(b-1)=323=18,区组 SSr=T2r/ab-C =(2102+2242+2322)/(34)-12321 =20.67,平方和的分解,矫正数 C=T2/rab=6662/(334)=12321,总变异 SST=x2-C=142+142+212-12321=739,主区总变异 SSm=T2m/b-C =(532+542+872)/4-12321=512,处 理 SSAB=T2AB/r-C =(412+372+602)/3-12321=66
30、9 ,A因素 SSA=T2A/rb-C =(1622+2652+2392)/(34)-12321=478.17,主区误差SSEa=SSm-SSr-SSA =512-20.67-478.17=13.16,平方和的分解,副区误差SSEb=SST-SSm-SSB-SSAB =739-512-77-113.83=36.17,由表8.17可求得：,AB互作 SSAB=SSAB-SSA-SSB =669-478.17-77=113.83,B因素 SSB=T2B/ra-C =(1562+1532+1712+1862)/(33)-12321 =77,平方和的分解,(3)方差分析表和F测验 将上述计算结果录入表
31、8.18，因本试验研究各指定处理的效应，故按固定模型作F测验。结果表明，施N量(A)间，品种(B)间，以及AB互作均达极显著。,表8.18 图8.3资料的方差分析表 变异来源 DF SS MSF F0.01 主区部分 区组 2 20.67 10.34 A 2 487.17 39.09 72.67*.18.00 Ea 4 13.16 3.29 总变异 8 512.00 副区部分 B 3 77.00 26.67 12.77* 5.09 AB 6 113.83 18.97 9.44* 4.01 Eb 18 36.17 2.01 总变异 35 739.00,(4)主效的显著性测验 在此以小区平均产量用新复极差法进行测验。 主处理(施N量)间比较 k=2时，LSR0.05，4=2.06， LSR0.01，4=3.41。 k=3时，LSR0.05，4=2.10, LSR0.01，4=3.56。,以上述尺度测验施N量(A)的各水平间差数，其测验结果列于表8.19，表明A2，A3的小区平均产量都极显著高于A1；A2与A3之间无显著差异。,副处理(品种)间比较见表8.20。 以上述尺度测验品种(B)的各水平小区平均产量间的差异，结果列于表8.21。表明B4品种最优，它显著高于B3品种，极显著高于B1和B2品种；B3的小区平均产量显著高于B1和B2品种，B1和B2品种间差异不显著。,
