庞加莱关于数学发现的心理学的演讲.pdf

1、经典演讲庞加莱关于数学发现的心理学的演讲虽然在讨论组上发过了，但还是忍不住转载过来。上次从认知学角度总结了一下关于算法学习为何应该知其所以然，收到一些批评，但其实我说的早就不是什么新鲜的观点，关于知识讲授过程中的思维呈现西方早有评论和建设性的做法，尤其是对于数学。而我只是加了点认知科学解释而已（而这方面的解释则是基于我大半年来在心理学和认知科学方面做的功课（这里，和这里）。想来是开头对著作们的批评语气所致（但其实我完全没有否认它们的价值，只是建议多做一些寻根究底的功课而已）。好吧，那就再来看看庞加莱是怎么说的（如果我没记错的话，欧拉也非常注重思维的讲述，并认为不能讲述数学发明背后的思维的教学是

2、没有意义的）。注意，庞加莱那个时候，心理学和认知科学差不多才起步。关于学习和记忆的研究也不是很清晰。（关于学习与记忆的神经生物学基础是E r i c K a nd e l做的（追寻记忆的痕迹），那都已经是晚近的事情了，K a nd e l因此获得2 0 0 0年诺贝尔奖。关于记忆的系统介绍强烈推荐找寻逝去的自我。）庞加莱是基于内省方法来研究问题解决心理学的，但基于一个最牛数学家的大量解决问题的心理体验，庞加莱基本上把解题心理学归纳了个八九不离十，从今天的认知科学角度来看是他总结得是相当准确的。感谢微软百科全书收藏了科学美国人曾经重新刊印的这篇经典演讲。以下是导读和自己的一点感想，如果不想被先入

3、为主地干扰请略过直接浏览全文：在读数学领域发现的心理学的时候看到脚注里面提到庞加莱的这篇演讲。最喜欢数学家讲p r o b l e m sol vi n g心理学了。认知科学家、神经科学家没有数学家解决复杂问题时候的心理体验，所以做的研究缺乏一些也许只能靠内省来获得的知识，而且使用的问题也趋于简单。而数学家又往往不通心理学，或者干脆就不关心问题到底是怎么解决的，只关心能否解决。所幸庞加莱，这个被称为最后一位全才的人，对解题的心理学也非常有兴趣和研究。在演讲中可以发现，他对于自己解决数学问题过程中的心理过程作了深刻的反省，虽然庞加莱不是认知神经科学家，但演讲中的使用的类比以及描述基本上都是靠谱的

4、。其中最有意思的是他也提到了自己的几次顿悟的瞬间（其中有一次就是著名的踏上马车一瞬间想到解的那次）。庞加莱认为下意识里面会对问题的各个元素（条件）进行组合，然后根据人对于知识的某种美感上的偏好筛选出来，那些足够“美“的东西就会浮上意识层面，于是产生顿悟。这也是我看了一些认知科学的书之后得到的说法。但此外庞加莱同时也认为下意识进行的探索是相当多的，他认为也许远远大于意识层面进行的探索（组合）。而我倾向于认为下意识层面能进行的逻辑推理是有限远的，一般一到两步就了不得了。下意识里面更多的进行的是某种模糊的模式匹配，或者说模糊联想。这就是为什么对问题有一个全局感性认识那么重要的原因，这样的认识足够模糊

5、足够全局，有助于提取出重要的相关知识来。此外，一个总体的认识往往包含了问题的最重要（往往也是最本质的）要素，将这些要素同时装进工作记忆有着非常重要的意义使它们有机会组合在一起，衍生出新的知识。否则就是陷在在问题的某个局部（某几个局部条件）下，得到不相干的知识。另外他也提到了对问题整体理解的另一个好处：当你对解的大致过程有了一个整体认识之后，即便缺乏某个局部的细节，也可以在这个整体视图的指导下将其推导出来（填充出来）。说到这里顺便说一个有关的思维心理学实验：大家知道围棋高手能够记忆非常复杂的残局，而新手简直连半部残局也记忆不了。原因其实就是围棋高手具有领域知识：对各种各样围棋套路的知识，对各种局

6、面的形态的知识。有了这些知识，只要记住局面的一个大概，就可以推导出那些细节了。事实上，当让高手们记忆一盘毫无规律放置的棋局时，他们的表现并不比门外汉好。以下是全文转载( via)：（文章不长；况且，如果庞加莱的文章不值得你捏着鼻子看中古英文，什么人的才值得呢？: - )）Ma t h e ma t i cal Cr e a t i o nHo w i s ma t h e ma t i cs ma d e ? Wh a t sor t o fb r a i n i s i t t h a t can comp o se t h e p r o p o sit i o nsa nd syste

7、ms o f ma t h e ma t i cs?Ho w d o t h eme n t a l p r o cesses o f t h e g e o me t e r o ra l g e b r a i st comp a r e wi t h t h o se o f t h emu sicia n, t h e p o e t , t h e p a i nt e r , t h e che ssp l a yer ? I n ma t h e ma t i cal cre a t i o n wh i ch a r et h e key e l e me n t s? I n

8、t u i t i o n? A n e xq u i sit esense o f spa ce a nd t i me ? Th e p r e cisio n o f acal cul a t i ng ma chi ne ? A p o we r f ul me mo r y?F o r mi d a b l e skil l i n f o l l o wi n g comp l e x l o g i calseq ue n ces? A sup r e me cap a cit y f o rconcen t r a t i o n ?Th e e ssay b e l o w,

9、 d e l i ve r e d i n t h e f i r styea r s o f t h i s cent u r y a s a l e ctu r e b e f o r e t h eP sycho l o g i cal S o cie t y i n P a r i s, i s t h e mo stcel e b r a t e d o f t h e a t t e mp t s t o d e scri b e wh a tg o e s o n i n t h e ma t h e ma t i cia n s b r a i n. I t sa ut h o

10、 r , He nr i P o i ncar , cousin o f Ra ymo n d ,t h e p o l i t i cia n, wa s p e cul i a r l y f i t t e d t oun d e r t a ke t h e t a sk. On e o f t h e f o r e mo stma t h e ma t i cia ns o f a l l t i me , un r i va l e d a s a na na l yst a nd ma t h e ma t i cal p hysicist, P o i ncar wa s k

11、no wn a l so a s a b r i l l i a n t l y l u cid e xp o sit o ro f t h e p hi l o sop h y o f science. Th e se wr i t i ng sa r e o f t h e f i r st i mp o r t a nce a s p r o f e ssio na lt r e a t i ses f o r scie nt i sts a nd a r e a t t h e samet i me a ccessib l e , i n l a r g e p a r t , t o

12、 t h eun d e r sta n d i ng o f t h e t h o ug h t f u l l a yma n .P o i ncar o n Ma t h e ma t i cal Cr e a t i o nTh e g e ne sis o f ma t h e ma t i cal cre a t i o n i sa p r o b l e m wh i ch sho u l d i nt e n sel y i nt e r e st t h ep sycho l o g i st. I t i s t h e a cti vi t y i n whi ch

13、t h ehu ma n mi nd see ms t o t a ke l e a st f r o m t h eo ut sid e wo r l d , i n wh i ch i t a cts o r see ms t o a cto nl y o f i t sel f a nd o n i t sel f , so t h a t i n stu d yingt h e p r o ced ur e o f g e o me t r i c t h o u g ht we ma yho p e t o r e a ch wh a t i s mo st e ssent i a

14、l i n ma n smi nd . . .A f i r st f a ct sho u l d sur p r i se us, o r r a t h e rwo u l d sur p r i se u s i f we we r e n o t so used t o i t .Ho w d o e s i t ha p p e n t h e r e a r e p e o p l e wh o d ono t un d e r sta n d ma t h e ma t i cs?I f ma t h e ma t i csi nvokes o nl y t h e r u l

15、 e s o f l o g i c, such a s a r ea ccep t e d b y a l l no r ma l mi nd s; i f i t s e vi d e n cei s b a sed o n p r i ncip l e s commo n t o a l l me n,a nd t h a t no n e coul d d e ny wi t h o u t b e i ng ma d ,ho w d o e s i t come a b o ut t h a t so ma n yp e r sons a r e he r e r e f r a c

16、to r y?Th a t n o t e ve r y o ne can i nven t i s no wi semyste r i o us. Th a t no t e ve r y o ne can r e t a i n ad e mo nstr a t i o n o nce l e a r n e d ma y a l so p a ss.B ut t h a t no t e ve r y o ne can un d e r sta n dma t h e ma t i cal r e a soni n g wh e n e xp l a i ne da p p e a r

17、s ve r y sur p r i sing wh e n we t h i nk o f i t .A nd yet t h o se wh o can f o l l o w t h i s r e a soni n go nl y wi t h d i f f i cul t y a r e i n t h e ma j o r i t y; t h a t i sun d e n i a b l e , a nd wi l l sur e l y no t b e g a i nsai d b yt h e e xp e r i e nce o f second a r y-scho

18、 o lt e a che r s.A nd f u r t h e r : ho w i s e r r o r p o ssib l e i nma t h e ma t i cs?A sane mi nd sho u l d no t b eg ui l t y o f a l o g i cal f a l l a cy, a nd yet t h e r e a r ever y f i ne mi nd s wh o d o no t t r i p i n b r i e fr e a soni n g such a s o ccur s i n t h e o r d i na

19、 r yd o i ng s o f l i f e , a nd wh o a r e i ncap a b l e o ff o l l o wi n g o r r e p e a t i ng wi t h o u t e r r o r t h ema t h e ma t i cal d e mo nstr a t i o n s wh i ch a r el o n g e r , b u t wh i ch a f t e r a l l a r e o nl y a na ccumu l a t i o n o f b r i e f r e a soni n g s wh

20、o l l ya na l o g o us t o t h o se t h e y ma ke so e a sil y.Ne e d we a d d t h a t ma t h e ma t i cia nst h e msel ves a r e no t i nf a l l i b l e ? . . .A s f o r mysel f , I must conf e ss, I a ma b sol u t e l y i ncap a b l e e ve n o f a d d i ng wi t h o u tmi sta kes . My me mo r y i s

21、 no t b a d , b ut i two u l d b e i nsuf f i cie nt t o ma ke me a g o o dche ss-p l a yer . Why t h e n d o e s i t n o t f a i l me i na d i f f i cul t p i e ce o f ma t h e ma t i cal r e a soni n gwh e r e mo st che ss-p l a yer s wo ul d l o set h e msel ves? E vi d e nt l y b e cause i t i s

22、 g ui d e db y t h e g e ne r a l ma r ch o f t h e r e a soni ng . Ama t h e ma t i cal d e mo nstr a t i o n i s n o t a simp l ej u xta p o sit i o n o f syll o g i sms, i t i s syl l o g i smsp l a ced i n a cer t a i n o r d e r , a nd t h e o r d e r i nwh i ch t h e se e l e me n t s a r e p

23、l a ced i s mu chmo r e i mp o r t a n t t h a n t h e e l e me n t st h e msel ves. I f I ha ve t h e f e e l i n g , t h e i nt u i t i o n ,so t o spe a k, o f t h i s o r d e r , so a s t o p e r cei ve a ta g l a nce t h e r e a soni ng a s a wh o l e , I ne e d nol o n g e r f e a r l e st I f

24、 o r g e t o ne o f t h e e l e me n t s,f o r e a ch o f t h e m wi l l t a ke i t s a l l o t t e d p l a ce i nt h e a r r a y, a nd t h a t wi t h o ut a ny e f f o r t o fme mo r y o n my p a r t .We kno w t ha t t h i s f e e l i n g , t hi s i nt u i t i o n o fma t h e ma t i cal o r d e r ,

25、 t h a t ma kes u s d i vi nehi d d e n ha r mo n i e s a nd r e l a t i o ns, cann o t b ep o ssessed b y e ve r y o ne . S o me wi l l n o t ha vee i t he r t h i s d e l i cat e f e e l i n g so d i f f i cul t t o d e f i ne ,o r a str e n g t h o f me mo r y a nd a t t e n t i o n b e yo n dt h

26、 e o r d i na r y, a nd t h e n t h e y wi l l b e a b sol u t e l yi ncap a b l e o f un d e r sta n d i ng hi g h e rma t h e ma t i cs. S uch a r e t h e ma j o r i t y. Ot h e r swi l l ha ve t h i s f e e l i n g o nl y i n a sli g ht d e g r e e ,b ut t h e y w i l l b e g i f t e d wi t h a n

27、 un commo nme mo r y a nd a g r e a t p o we r o f a t t e n t i o n. Th e ywi l l l e a r n b y he a r t t h e d e t a i l s o ne a f t e ra no t h e r ; t h e y can un d e r sta n d ma t h e ma t i csa nd some t i me s ma ke a p p l i cat i o ns, b ut t h e ycann o t cre a t e . Ot h e r s, f i na

28、 l l y, wi l l p o ssess i na l e ss o r g r e a t e r d e g r e e t h e spe cia l i nt u i t i o nr e f e r r e d t o , a nd t h e n n o t o nl y can t h e yun d e r sta n d ma t h e ma t i cs e ve n i f t he i rme mo r y i s no t h i n g e xt r a o r d i n a r y, b u t t h e yma y b e come cre a t

29、 o r s a nd t r y t o i nvent wi t hmo r e o r l e ss success a ccor d i ng a s t h i si nt u i t i o n i s mo r e o r l e ss d e ve l o p e d i n t he m.I n f a ct, wh a t i s ma t h e ma t i cal cre a t i o n? I td o e s no t consist i n ma king ne w comb i na t i o nswi t h ma t h e ma t i cal e

30、nt i t i e s a l r e a d y kno wn .A nyon e coul d d o t h a t , b u t t h e comb i na t i o n sso ma d e wo u l d b e i nf i ni t e i n nu mb e r a ndmo st o f t h e m a b sol u t e l y wi t h o ut i nt e r e st. Tocre a t e consists p r e cisel y i n no t ma kingusel e ss comb i na t i o n s a nd

31、i n ma king t h o sewh i ch a r e usef u l a nd whi ch a r e o nl y a sma l lmi no r i t y. I n ven t i o n i s d i scer n me n t , cho i ce.I t i s t i me t o p e ne t r a t e d e e p e r a nd t o seewh a t g o e s o n i n t h e ve r y soul o f t h ema t h e ma t i cia n. F o r t h i s, I b e l i e

32、 ve , I can d ob e st b y r e cal l i ng me mo r i e s o f my o wn. B ut Isha l l l i mi t mysel f t o t e l l i ng ho w I wr o t e my f i r stme mo i r o n F uchsia n f u ncti o ns. I b e g t h er e a d e r s p a r d o n; I a m a b o ut t o use somet e chn i cal e xp r e ssio n s, b ut t h e y ne e

33、 d n o tf r i g h t e n hi m, f o r he i s no t o b l i g e d t oun d e r sta n d t h e m. I sha l l say, f o r e xa mp l e ,t h a t I ha ve f o u n d t h e d e mo nstr a t i o n o f such at h e o r e m un d e r such cir cumsta n ces. Th i st h e o r e m wi l l ha ve a b a r b a r o us na me ,un f a

34、 mi l i a r t o ma ny, b ut t ha t i s un i mp o r t a n t ;wh a t i s o f i nt e r e st f o r t h e p sycho l o g i st i s n o tt h e t h e o r e m b ut t h e cir cumsta nces.F o r f i f t e e n d a ys I str o ve t o p r o ve t h a tt h e r e coul d no t b e a ny f u n cti o n s l i ke t h o se Iha

35、 ve since cal l e d F uchsia n f u n cti o ns. I wa st h e n ve r y i g no r a n t ; e ve r y d a y I sea t e d mysel fa t my wo r k t a b l e , sta yed a n ho u r o r t wo , t r i e da g r e a t nu mb e r o f comb i na t i o n s a nd r e a che dno r e sul t s. One e ve n i n g , cont r a r y t o my

36、custo m, I d r a nk b l a ck cof f e e a nd coul d no tsle e p . I d e a s r o se i n cro wd s; I f e l t t h e m col l i d eun t i l p a i r s i nt e r l o cked , so t o spe a k, ma king asta b l e comb i na t i o n . B y t h e ne xt mo r n i ng Iha d e sta b l i she d t h e e xi ste n ce o f a cla

37、 ss o fF uchsia n f u ncti o ns, t ho se wh i ch come f r o mt h e hype r g e o me t r i c ser i e s; I ha d o nl y t o wr i t eo ut t h e r e sul t s, wh i ch t o o k b u t a f e w ho u r s.Th e n I wa n t e d t o r e p r e sen t t h e sef u n cti o n s b y t h e q uo t i e n t o f t wo ser i e s;

38、t h i si d e a wa s p e r f e ctl y conscio us a nd d e l i b e r a t e ,t h e a na l o g y wi t h e l l i p t i c f u n cti o n s g ui d e d me .I a sked mysel f wh a t p r o p e r t i e s t h e se ser i e smu st ha ve i f t h e y e xi ste d , a nd I succee d e dwi t h o u t d i f f i cul t y i n f

39、 o r mi n g t h e ser i e s I ha vecal l e d t he t a - F u chsia n.Just a t t h i s t i me I l e f t Ca en, wh e r e I wa st h e n l i vi n g , t o g o o n a g e o l o g i c e xcur sio nun d e r t h e a uspi ces o f t h e scho o l o f mi ne s.Th e cha n g e s o f t r a vel ma d e me f o r g e t mym

40、a t h e ma t i cal wo r k. Ha vi n g r e a che dCo ut a n ces, we e nt e r e d a n o mni b u s t o g osome p l a ce o r o t h e r . A t t h e mo me n t wh e n Ip ut my f o o t o n t h e ste p t h e i d e a came t o me ,wi t h o u t a nyth i ng i n my f o r me r t h o ug h t ssee mi ng t o ha ve p a

41、ve d t h e wa y f o r i t , t h a t t h et r a n sfo r ma t i o n s I ha d used t o d e f i ne t h eF uchsia n f u ncti o ns we r e i d e nt i cal wi t h t h o seo f no n - E ucli d e a n g e o me t r y. I d i d no t ve r i f yt h e i d e a ; I sho u l d no t ha ve ha d t i me , a s, up o nt a king

42、my sea t i n t h e o mn i b us, I we n t o n wi t ha conver sat i o n a l r e a d y comme n ced , b ut I f e l ta p e r f e ct cer t a i n t y. On my r e t u r n t o Ca e n, f o rconscie n ce s sake I ver i f i e d t h e r e sul t a t myl e i sur e .Th e n I t ur n e d my a t t e n t i o n t o t h e

43、 stud y o fsome a r i t hme t i cal q ue sti o ns a p p a r e nt l ywi t h o u t mu ch success a nd wi t h o u t asuspi cio n o f a ny conn e cti o n wi t h myp r e ced i ng r e sea r che s. Di sguste d wi t h myf a i l u r e , I we n t t o spe nd a f e w d a ys a t t h esea sid e , a nd t h o u g h

44、t o f some t h i ng e l se. Onemo r n i ng , wa l king o n t h e b l u f f , t h e i de a camet o me , wi t h j u st t h e same cha r a cte r i sti cs o fb r e vit y, sud d e n n e ss a nd i mme d i a t e cer t a i n t yt h a t t h e a r i t h me t i c t r a n sfo r ma t i o n s o fi nd e t e r mi n

45、a t e t e r n a r y q ua d r a t i c f o r ms we r ei d e nt i cal wi t h t h o se o f no n - E u cli d e a ng e o me t r y.Re t u r n e d t o Ca e n, I me d i t a t e d o n t h i sr e sul t a nd d e d uced t h e conseq u e nces. Th ee xa mp l e o f q ua d r a t i c f o r ms sho we d me t h a tt h e

46、 r e we r e F uchsia n g r o u p s o t h e r t h a n t h o secor r e spo n d i ng t o t h e hype r g e o me t r i c ser i e s; Isaw t h a t I coul d a p p l y t o t h e m t h e t h e o r y o ft h e t a - F u chsia n ser i e s a nd t h a t conseq u e n t l yt h e r e e xi ste d F uchsia n f u ncti o

47、ns o t h e r t h a nt h o se f r o m t h e hype r g e o me t r i c ser i e s, t h eo ne s I t h e n kne w. Na t u r a l l y I set mysel f t of o r m a l l t h e se f u n cti o ns. I ma d e a syste ma t i ca t t a ck up o n t h e m a nd car r i e d a l l t h e o ut wo r ks,o ne a f t e r a no t he r

48、. Th e r e wa s o ne , ho we ver ,t h a t sti l l he l d o ut , wh o se f a l l wo u l d i nvol vet h a t o f t h e wh o l e p l a ce. B ut a l l my e f f o r t s o nl yser ved a t f i r st t h e b e t t e r t o sho w me t h ed i f f i cul t y, wh i ch i nd e e d wa s some t h i ng . A l lt h i s wo

49、 r k wa s p e r f e ctl y conscio us.Th e r e u p o n I l e f t f o r Mo n t - V a l r i e n, wh e r eI wa s t o g o t h r o u g h my mi l i t a r y ser vi ce; so Iwa s ver y d i f f e r e n t l y o ccup i e d . On e d a y, g o i nga l o n g t h e str e e t , t h e sol u t i o n o f t h e d i f f i cul t ywh i ch ha d sto p p e d me sud d e n l y a p p e a r e d t ome . I d i d no t t r y t o g o d e e p i nt o i t i mme d i a t e l y,a nd o nl y a f t e r my ser vice d i d I a g a i n t a ke upt h e q ue sti o n. I ha d a l l t h e e l e me n t s a nd ha do nl y t o a r