1、1双曲线的标准方程及简单的几何性质第一部分双曲线及其标准方程学习目标1、掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导，能根据条件确定双曲线的标准方程。2、培养的分析能力、归纳能力、推理能力。3、进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是要熟练掌握用定义法、待定系数法求双曲线标准方程的方法。4、会利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。5、培养分析能力、归纳能力、推理能力和数学的应用能力。重点难点重点：双曲线的定义及其标准方程；难点：1、双曲线标准方程的推导；2、利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。例题分析第一阶梯例 1已知两定点 F1（-5，0）、F 2（5，0），求与
2、两定点 F1、F 2的距离的差的绝对值等于 6 的点的轨迹方程。分析：根据双曲线的定义可知，动点的轨迹是以 F1、F 2为焦点的双曲线，又由焦点位置可知，所求的点的轨迹方程是双曲线的标准方程。解：由题意可知，所求点的轨迹是双曲线，其方程可设为 ，这里 2a=6,2c=10.2变题：如将本题条件中的 6 改为 10，其余条件不变，求解本题。解：由条件可知，所求点的轨迹是两条射线，其方程为 y=0(x-5 或 x5)注意：在求解轨迹方程的问题时，要注意应用有关曲线的定义去判断所求的点的轨迹是什么曲线，如是已经研究过的曲线，则可用曲线的标准方程去求解。例 2分析：分别求出椭圆及双曲线的焦点即可。证明
3、：易得椭圆的两个焦点为（-4，0） 、 （4，0） ，双曲线的两个焦点也为（-4，0） 、 （4，0） 。例 3分析迹是以 B、C 为两焦点，实轴长为 6 的双曲线的左支。解：在ABC 中，|BC|=10，故项点 A 的轨迹是以 B、C 为两焦点，实轴长为 6 的双曲线的左支。第二阶梯3例 4 A、1 C、2 解：+|PF2|2-|PF1|PF2|=16，因为F 1PF2=90，所以|PF 1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=20.所以评注：本题考查双曲线的基础知识以及计算能力和推理能力。例 5在周长为 48 的直角三角形 MPN 中，MPN=90， 求以 M、N 为焦点，且过点
4、 P 的双曲线方程。思路分析：首先应建立适当的坐标系，由于 M、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程。由双曲线定义可知|PM|-|PN|=2a,|MN|=c,所以利用条件确定MPN 的边长是关键。解答：设|PN|=3k，|PM|=4k,则|MN|=5k,4由 3k+4k+5k=48,得 k=4.|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20. 由|PM|-|PN|=4，得 2a=4,a=2,a2=4.由|MN|=20,得 2c=20,c=10.例 6思路分析：利用双曲线的定义求解。解答：由 P 是双曲线上一点，得|PF 1|-|PF2|=16。|PF 2|=1 或|PF
5、 2|=33。又|PF 2|c-a=2，得|PF 2|=33.第三阶梯例 75交点，则|PF 1|PF2|的值是（ ）思路分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到 |PF1|和|PF 2| 的关系式，再变形得结果。解答：两式平方相减，得 4|PF1|PF2|=4(m-s)，故 |PF1|PF2|=m-s。故选 A。例 8解：由题意得 F1（-5，0） ，F 2（5，0） 。设点 P 的坐标为(x 0,y0)又 PF1PF 2，则|PF 1|2+|PF2|2=|F1F2|2，评注：本题考查双曲线的方程等基础知识。6例 9已知动圆与定圆 C1：(x+5) 2+y2=4
6、9,C2:(x-5)2+y2=1 都外切，求动圆圆心的轨迹方法。 分析：设动圆圆心为 P(x,y),半径为 r,则题意可得 C1(-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.|PC1|=r+7,|PC2|=r+1,|PC1|-|PC2|=6。解： 设动圆圆心为 P(x,y)，半径为 r,则题意可得 C1(-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.|PC1|=r+7,|PC2|=r+1,|PC1|-|PC2|=6，则动圆圆心 P 的轨迹方程为四、检测题1、ax 2+by2=b(ab1)的点 P 的轨迹叫做双曲线. 3标准方程a0, b0. a0, b0. 17图形对称轴 x 轴，实轴长
7、 2a y 轴，虚轴长 2b y 轴，实轴长 2a x 轴，虚轴长 2b 范围 x-a 或 xa y-a 或 ya 顶点坐标 (-a,0),(a,0) (0, -a) (0, a) 焦点坐标 焦点在 x 轴上F1(-c,0), F2(c, 0)焦点在 y 轴上F1(0, -c), F2(0, c)焦距 |F1F2|=2c |F1F2|=2c 离心率准线渐近线4焦半径 . 5等轴双曲线 实轴长与虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线.其离心率 . 6共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，即 与 互为共轭双18曲线.共轭双曲线有共同的渐近线. 7共焦点的圆锥曲线
8、方程 与椭圆 共焦点的椭圆或双曲线的方程为 ，根据条件确定 的数值. 当 l-b2时，方程表示与已知椭圆共焦点的椭圆. 当-a 20 时，方程表示焦点与已知双曲线焦点在同一直线上的共渐近线双曲线. 当 2 或 k5 或-25 分析:上述方程表示双曲线 解得 k0,2)(5,+)或 k(-2,0), -25. 答:C. 19例 2双曲线 的两条渐近线所夹角的正切为_. 分析 1:已知双曲线的两渐近线为 即 ，其斜率分别为 和- ，设夹角 ，由夹角公式. 分析 2:设渐近线 的倾角为 ，则 ， ， 由 为钝角，从而 ， 夹角正切为 . 例 3中心在原点，一焦点在(0,3)，一条渐近线为 的双曲线方
9、程为_. 分析:由已知，这是处于标准位置上的双曲线图形，关于坐标轴对称.因一条渐近线为 ，所以另一条渐近线是 ，以这两直线为渐近线的双曲线系的方程为: ， 又 一焦点(0,3)在 y 轴上， 方程应为 ， a 2=4k2, b2=9k2. 由 a 2+b2=c2 得 4k 2+9k2=9, , 双曲线方程为 . 点评:本题中，由于两渐近线 已知，也就是 ，所以在解法中运用了“共渐近线的双曲线系”，直20接写出了双曲线系的方程，再用另一个条件就定出了参数 k, 这种方法对解已知两渐近线的问题是常用的. 例 4双曲线 2mx2-my2=2 有一条准线 y=1 则 m 的值为_. 分析:因为一条准线
10、是 y=1.把方程改写成第二种标准方程. ，其中 ， ， 由 得 解得 . 例 5在双曲线 的一支上有三个不同点 A(x1,y1), B( ), C(x2,y2)，它们到焦点 F(0, 5)的距离成等差数列. （1）求 y1+y2.（2）证明线段 AC 的中垂线过某定点，求该点坐标. 解:（1）按照与焦点距离的条件考虑转化到准线的距离 a 2=12, b2=13, , , 准线 l1 的方程为: . 由 得|AF|=e|AA 1|同理 |BF|=e|BB 1|, |CF|=e|CC1|, |AA 1|, |BB1|, |CC1|成等差数列， y 1, 6, y2 成等差数列， y 1+y2=1
11、2. （2）欲证 AC 的中垂线过定点，我们只能用代数分析的方法，先求 AC 中垂线的方程: 21 A(x 1,y1), C(x2,y2)在双曲线上， ， 两式相减得 即 线段 AC 中点 即 ， AC 中垂线方程为 ，即 可见 AC 中垂线必过定点 . 点评:本题的实质在于“弦中点”问题（弦 AC），因此使用处理弦中点的通法. 本周练习1双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，一渐近线为 3x+5y=0，求离心率 e.（ ） 2P 为双曲线 上定点，F 1，F 2为两焦点，且F 1PF2=，求证:F 1PF2面积为 .测试22选择题1“ab1, 1,得 e2= =1+ 2, e 2=4，故 e=2
12、. 说明：本题难度系数为 0.47，难度较大.不但要用方程思想求出 e，还要根据已知条件 ba 检验，得出符合条件的 e.本题由已知 ba，可知离心率大于等轴双曲线的离心率，解出 e=2 与 后就可断定 e=2. 5选 A.本题考查双曲线的基本知识，以及计算能力和推理能力. 解：解法 1 由双曲线的方程知 a=2, b=1, c= .因此|F 1F2|=|2c|=2 . 由于双曲线是对称图形，如图所示，设 P 点坐标为(x, )，由已知 F1PF 2P， =-1, 即 =-1， 得 x2= . = |F1F2| = 2 =1. 解法 2 (|PF 1|-|PF2|)2=4a2=16,而由勾股定
13、理得|PF 1|2+|PF1|2=(2c)2=20, 25则|PF 1|PF2|= |PF1|2+|PF2|2-(|PF1|-|PF2|)2= (20-16)=2, =1. 说明：本题难度系数为 0.56，有一定难度.解法 2 远强于解法 1，解法 2 利用双曲线定义与勾股定理求出|PF 1|与|PF 2|的积，进而求 F 1PF2的面积，思路清晰，运算简便. 6. 选 B 解：因为|PF 2|=|F2F1|， P 点满足 =1， y= , 2c= , 即 2ac=b 2=c2-a2, 2=e- 故 e=1+ . 7. 选 C 解：由题意知 a 2=- , b2=- , a 2+b2=- -
14、=- ,c2=- .准线方程 y= = =1,- = ,即 =- , -6k=4, k= - . 8选 C 解： 双曲线 =1 的渐近线为 y= x，点(-3,2 )在渐近线 y=- x 下方第二象限，设所求方程为 =k,代入(-3,2 )得 k= , c= , d=csin,tan= ,sin= , d=2. 9选 B 解：关于直线 x-y+2=0 对称，故可作变换公式 ，代入原双曲线方程得 =1，即 =1. 10选 A. 26解：由题意知圆心为（5，0）.圆心到双曲线渐近线的距离为圆的半径 r, r= =4, 所求圆的方程为(x-5) 2+y2=16,即 x 2-10x+y2+9=0.一类
15、直线与圆锥曲线相交问题的解法直线与圆锥曲线的位置关系问题涉及到解析几何主要研究对象，所用到的知识点较多，综合性强这里介绍的是一类直线与圆锥曲线相交问题的处理方法 例 1：已知椭圆 C 中心在坐标原点，与双曲线 x2-3y21 有相同的焦点，直线 yx+1 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点，且OPOQ，求椭圆 C 的方程 分析：本题是有关直线与椭圆的交点问题，一般方法是将直线方程代入到椭圆方程，消元得 x(或 y)的一元二次方程，利用韦达定理和已知条件(本题是 OPOQ)，结合椭圆 C 与双曲线的焦点之间的关系求出椭圆方程，这是解决有关直线与圆锥曲线相交问题的基本方法，应注意掌握 解法 1：双曲
16、线 x2-3y21 的焦点为 设椭圆 C 的方程为 。 由椭圆 C 与双曲线 x2-3y2l 同焦点，知 ，即 。 由题意，点 P、Q 的坐标满足方程组 将(2)代入(1)，整理，得 2(3b2+2)x2+2(3b2+4)x+(3b2+4)(1-b2)=0.(3) 设方程(3)的两根为 x1，x 2，则直线 yx+1 与椭圆 C 的交点为 P(x1，y 1)、Q(x 2，y 2) 由 OPOQ，得 , 即 , 也即 x 1+x2+2x1x2+1=0. 由韦达定理及方程(3)，得 , 27即 3b 4+b2-2=0, . 故所求椭圆方程为 . 上述方法中利用了条件 ，由此可以看出，若能够构造相应
17、的一元二次方程，使其两根为 与 就可以了，这就要利用椭圆 C 与直线 yx+1 得到相应的关于 的一元二次方程 解法 2：易知椭圆 C 的方程为 ， 即 3b2x2+(3b2+4)y2=b2(3b2+4) 将其与直线方程 yx+l 联立，得 (2)b 2(3b2+4)-(1)，得 (3b 4+b2)x2-2b2(3b2+4)xy+(3b2+4)(b2-1)y2=0.两边同除以 x2，得 (3) 设 P(xl，y 1)，Q(x 2，y 2)，则 是方程(3)的两根 又 OPOQ, , 由(3)和韦达定理，得 , 即 3b4+b2-2=0, , 所求椭圆 C 的方程为 .(3) 上述解法 2 利用
18、了条件 OPOQ，构造了关于 的一元二次方程，由韦达定理求得椭圆 C 方程中的参数 b2，较解法 1 简单，这不失为解决一类垂直问题的方法，但只能用于椭圆与双曲线，对于抛物线不能得到相应的二次齐次式 28从上述两种解法中，我们可以看到在解决直线与圆锥曲线相交问题时，不一定要求出它们的交点，就可以解决有关弦长，弦中点及直线与圆锥曲线中有关参数，其中的关键是由直线方程和圆锥曲线方程得出相应的一元二次方程，并利用韦达定理或判别式，由此获得问题的解决 下面再举一个例子 例 2：(高考题)如图，抛物线方程为 y2p(x+1)(p0)，直线 x+ym 与 x 轴的交点在抛物线的准线的右边(1)求证：直线与
19、抛物线总有两个交点； (2)设直线与抛物线的交点为 Q、R，OQOR，求 p 关于 m 的函数 f(m)的表达式， (3)在(2)的条件下，若抛物线焦点 F 到直线 x+ym 的距离为 ，求此直线的方程 分析：(1)由抛物线方程知准线方程为 . 直线 x+ym 与 x 轴的交点为(m，0) 由交点在准线右边，知 ，即 4m+p+40 为考察直线 x+ym 与抛物线的交点，可将 x+ym 代入抛物线方程，得 x 2-(2m+p)x+m2-p=0, =(2m+p) 2-4(m2-p)=p(4m+p+4)0, 直线与抛物线总有两个交点 (2)设 R(xl，y 1)，Q(x 2，y 2) 由 OROQ，得 x1x2+y1y2=0, 即 x 1x2+(m-x1)(m-x2)=0. 2x 1x2-(x1+x2)m+m2=0, 又 x 1+x2=2m+p, x1x2=m2-p 2(m2-p)-m(2m+p)+m2=0. 29 . 由 p0，得 m-2 又当 m0 时，直线为 x+y0，经过原点，与 OROQ 矛盾 所以 (m-2, 且 m0)。 (3)由点到直线距离公式即可得所求直线方程为 3x+3y+40
