1、书书书G21G22G23G24高中数学联赛备考手册G21预赛试题集锦G22中国数学会普及工作委员会G21组编安徽省数学会G21 G21福建省数学会甘肃省数学会贵州省数学会河北省数学会河南省数学会黑龙江省数学会湖北省数学会湖南省数学会吉林省数学会江苏省数学会江西省数学会辽宁省数学会山东省数学会山西省数学会陕西省数学会四川省数学会天津市数学会浙江省数学会新疆维吾尔自治区数学会G21联合编写华东师范大学出版社G21图书在版编目G21G21 G22 G23 G22数据G21高中数学联赛备考手册G21G21 G22 G23 G24 G23预赛试题集锦G24中国数学会普及工作委员会组编G21 G25上海G
2、23华东师范大学出版社G26G21 G22 G23 G21 G21G23 G23G21 G22 G23 G24 G25 G25 G26 G27 G26 G28 G29 G26 G28 G22 G22 G29 G29 G21G21 G21 G21 G22高G27G21 G23 G21 G22中G27G21 G24 G21 G22数学课高中试题G25 G21 G22 G26 G29 G24 G2A G21G29 G22 G28G21中国版本图书馆G27 G22 G28数据核字G21G21 G22 G23 G21 G22第G21 G26 G2A G2A G27 G22号G21高中数学联赛备考手册G2
3、1G24 G25 G26 G27G22G21预赛试题集锦G22组编者G21中国数学会普及工作委员会策划编辑G21倪G21明G21数学工作室G22组稿编辑G21孔令志审读编辑G21徐惟简G21孔令志装帧设计G21黄惠敏出版发行G21华东师范大学出版社社G21 G21址G21上海市中山北路G21 G22 G22 G21号G21邮编G23 G24 G24 G24 G22 G23网G21 G21址G21 G25 G25 G25 G26G27 G28 G29 G2A G2B G2C G27 G2D G2D G26G28 G2E G2F G26G28 G29电G21 G21话G21 G24 G23 G30
4、 G22 G24 G31 G23 G30 G22 G22 G22 G21行政传真G24 G23 G30 G22 G23 G32 G33 G23 G30 G24 G32客服电话G21 G24 G23 G30 G22 G23 G31 G22 G32 G32 G21 G33 G21门市G21邮购G22电话G24 G23 G30 G22 G23 G31 G22 G34 G31 G31 G33地G21 G21址G21上海市中山北路G21 G22 G22 G21号华东师范大学校内先锋路口网G21 G21店G21 G35G36G36 G2BG23 G21 G21G35 G37 G2D G37 G28 G38
5、 G2D G26G36 G2F G39G3AG3A G26G28 G2E G2F印刷者G21上海崇明裕安印刷有限公司开G21 G21本G21 G31 G34 G24 G3B G30 G23 G3C G24 G21 G21 G23开印G21 G21张G21 G33 G26G32字G21 G21数G21 G30 G34 G33千字版G21 G21次G21 G23 G24 G30 G21年G30月第一版印G21 G21次G21 G23 G24 G30 G21年G30月第一次书G21 G21号G21 G3D G3E G3F G40 G34 G33 G31 G33 G32 G22 G33 G32 G24
6、 G24 G22 G22 G23G21G41G22G22 G24 G24 G32定G21 G21价G21 G23 G24 G26G24 G24元出版人G21朱杰人G21如发现本版图书有印订质量问题G26请寄回本社客服中心调换或电话G22 G21 G23 G29 G21 G27 G29 G28 G28 G24 G26联系G22编委会成员G21按拼音为序G22毕耜琨G21 G21辽宁省数学会普委会主任陈发来中国科学技术大学教授G28安徽省数学会秘书长陈荣斯福州大学教授G28福建省数学竞赛委员会主任陈文远新疆数学会副秘书长丁龙云南开大学教授G28天津市数学会秘书长方祖耀山东大学教授郭建华东北师范大学
7、教授G28吉林省数学会秘书长郝成功山西省数学会秘书长黄仁寿湖南省高中数学竞赛委员会副主任李胜宏浙江大学教授刘康宁陕西省数学会副理事长柳G21斌四川省数学会普及工作委员会主任梅全雄华中师范大学副教授欧阳新龙湖南省高中数学竞赛委员会副主任石东洋河南省数学会竞赛委员会主任G28郑州大学教授陶平生江西省数学会副理事长G28江西科技师范学院教授王海明甘肃省数学会普及工作委员会主任王玉文哈尔滨师范大学教授G28黑龙江省数学会普及工作委员会主任吴忠麟江苏省数学会常务副秘书长G28南京大学教授吴建平中国数学会普及工作委员会主任项G21昕贵州省数学会竞赛委员会主任熊G21斌华东师范大学教授杨晓鸣浙江大学教授张生
8、春河北师范大学数学系主任前G21言G29高中数学联赛备考手册G21G29 G2A G2B G2CG22 G21预赛试题集锦G22 G2A即将出版G26这已经是该套丛书的第五本了G21该丛书记录了几年来随着相关政策的调整G26我们对全国高中数学联赛进行不断改革的轨迹G26其中凝聚着很多同仁的辛苦G21G29 G2A G2B G29年的全国高中数学联赛是在G2B G2A月G2B G2D日进行的G21在各赛区初评的基础上G26复评工作于G2B G2B月G2B G2B日至G2B G2D日在西安进行G26中国数学会和陕西省数学会的相关负责人参加G21经过复评G26确定了G2BG29 G2A G2B G2
9、9年全国高中数学联赛赛区一等奖名单G2C G26G2C G2B个赛区共有G2B G29 G2E G2B名同学获得赛区一等奖G21确定G2BG29 G2A G2B G2C年冬令营营员名单G2C G26有G2C G2B G29名同学取得了参加G29 G2A G2B G2C年沈阳冬令营的资格G21去年和今年是政策调整前过渡期的关键两年G26由于我们有效地改变了试卷的传送方式G26使得过渡期平稳顺利G21在此谨向今年活动的承办单位G23陕西省数学竞赛委员会的各位同志G28特别是吕振琪教授表示衷心的感谢G21从明年开始G26全国高中数学联赛赛区一等奖的同学将不再具有保送生资格G26但是从前不久中国科协召
10、开的五项学科竞赛联席会议上得到的消息G23今后赛区一等奖初评G28复评G28产生G28公示的方式依旧G2D获奖名单依旧在教育部阳光高考网站上公布G2D获奖证书依旧由中国科协统一印制G21相信全国高中数学联赛依旧是一项广受中学生欢迎的数学课外活动G21吴建平G29 G2A G2B G29年G2B G29月G2B G2A日目G21录G2A G2B G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛天津市预赛G2BG2A G29 G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛河北省预赛G2B G2AG2A G2C G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛山西省预赛G2
11、C G2CG2A G2D G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛辽宁省预赛G2D G2BG2A G2F G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛吉林省预赛G2F G2CG2A G30 G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛山东省预赛G30 G29G2A G31 G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛福建省预赛G31 G2EG2A G2E G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛江西省预赛G32 G2AG2A G32 G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛河南省预赛G32 G32G2B G2A
12、 G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛湖北省预赛G2B G2B G2BG2B G2B G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛四川省预赛G2B G2B G31G2B G29 G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛陕西省预赛G2B G29 G31G2B G2C G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛甘肃省预赛G2B G2C G32G2B G2D G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛黑龙江省预赛G2B G2D G2EG2B G2F G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛江苏省复赛G2B G
13、30 G2AG2B G30 G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛贵州省预赛G2B G31 G2DG2B G31 G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛安徽省预赛G2B G2E G29G2B G2E G21 G29 G2A G2B G29年浙江省高中数学竞赛G2B G2E G2EG2B G32 G21 G29 G2A G2B G29年湖南省高中数学竞赛G2B G32 G2EG29 G2A G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛G29 G2A G2EG29 G2B G21 G29 G2A G2B G29年全国高中数学联赛G
14、29 G2B G30书书书G21 G22 G23 G21年全国高中数学联赛天津市预赛G21 G22G21G21G21G21G21天津G21 G22 G23 G21年高中数学联赛天津市预赛于G21 G22 G23 G21年G24月G23 G25日举行G21共有五千多名中学生参加此次预赛G21并从中选拔出约一千名学生参加于G23 G22月G23 G26日举行的全国高中数学联赛G21天津市预赛所涉及的知识范围基本参照现行G22全日制普通高级中学数学教学大纲G23中所规定的教学内容和要求G21但在方法的要求上有所提高G21主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况G21以及综合G24灵活运用知识的能力
15、G21试卷包括G25道选择题G24G25道填空题和G27道解答题G21全卷满分G23 G28 G22分G21考试时间为两小时G21预赛的命题工作由天津市数学会负责G21组织工作由科协五学科竞赛管理委员会办公室负责G21阅卷及报送参加全国高中数学联赛的名单由各区县教研室具体实施G21G22G21G21G21G21天津试G21题一G24选择题G25每小题G25分G21共G27 G25分G26G21G21数列G27G22 G23G28的前G23项和G24 G23 G29 G23G21G2A G21 G23 G21则G22G27G2B G22G23 G2C等于G25G21 G21G26G21G25G2
16、DG26G27 G25G25G2EG26G27 G28G25G2FG26G27 G26G25G30G26G27 G27G22G21若G25 G22 G23G21则G25G31G32G31G32 G25G2A G25G31 G32 G25 G26G31G32 G25的值是G25G21 G21G26G21G25G2DG26正数G25G2EG26零G25G2FG26负数G25G30G26以上皆有可能G23G21如果G23 G26 G27 G28中G21G26G24G27为锐角G21且G33G34 G32G21G26 G2B G33G34 G32G21G27 G29 G33G34 G32 G28G21
17、则对G23 G26 G27 G28的形状描述最准确的是G25G21 G21G26G21G25G2DG26直角三角形G25G2EG26等腰三角形G25G2FG26等腰直角三角形G25G30G26以上均不对G24G21设椭圆与G25轴交于G26G24G27两点G21已知对于椭圆上不同于G26G24G27的任意一点G29G21直线G26 G29与G27 G29的斜率之积均为G2AG23G21G21则椭圆的离心率为G25G21 G21G26G21G25G2DG26G23槡G27G25G2EG26槡G21槡G27G25G2FG26G23G21G25G30G26G23槡G21G25G21在正四面体G26
18、G27 G28 G2A中G21G2BG24G2C分别是G27 G28和G2A G26的中点G21则直线G26 G2B和G27 G2C所成角的余弦值是G25G21 G21G26G21G25G2DG26G23G27G25G2EG26G23G21G25G2FG26G21G27G25G30G26G27G26G26G21在半径为G23的球面上有不共面的四个点G26G24G27G24G28G24G2AG21且G26 G27 G2D G28 G2A G2D G25G21G27 G28 G2D G2A G26 G2D G2EG21G28 G26 G2D G27 G2A G2D G2F G21则G25G21G3
19、0G2EG21G30 G2FG21等于G25G21 G21G26G21G25G2DG26G21G25G2EG26G26G25G2FG26G35G25G30G26G23 G25二G24填空题G25每小题G24分G21共G28 G26分G26G27G21函数G2EG2D G23 G30 G36 G37 G33 G25G21G25 G24G29G31 G21G21G21G2A的图象与G25轴围成的区域的面积是G21 G21 G21 G21 G21G23G21G21G21G21天津G28G21已知G26 G27 G28 G2A G32 G33是边长为G21的正六边形G21一条抛物线经过G26G24G2
20、7G24G28G24G2A四点G21则该抛物线的焦点到准线的距离是G21 G21 G21 G21 G21G29G21如果复数G2F满足G34 G2F G34 G2D G23G21且G2FG21G2D G22 G30 G35 G34G21其中G22G24G35为实数G21则G22 G30 G35的最大值是G21 G21 G21 G21 G21G21 G2AG21函数G2EG2D G34 G25 G31 G23 G34 G30 G34 G25 G31 G21 G34 G30G2BG30 G34 G25 G31 G23 G22 G34的最小值是G21 G21 G21 G21 G21G21 G21G2
21、1极限G31G34 G38G23 G25 G39G23 G31G23G21G25 G26G21G23 G31G23G27G25 G26G21G2BG23 G31G23G23G25 G26G21G2D G21 G21 G21 G21 G21G21 G22G21如果对一切正实数G25G24G2EG21都成立不等式G2EG26G31 G36 G37 G33G21G25 G26 G22 G33G34 G32 G25 G31G24G2EG21则实数G22的取值范围是G21 G21 G21 G21 G21三G24解答题G25每小题G21 G22分G21共G25 G22分G26G21 G23G21如果双曲线
22、的两个焦点坐标分别为G33 G23G25 G2AG21G21G22G26和G33 G21G25G21G21G22G26 G21双曲线的一条切线交G25轴于G36G23G21G21G25 G26G22G21且斜率为G21 G21G25G23G26求双曲线的方程G2CG25G21G26设该切线与双曲线的切点为G29G21求证G2DG27 G33G23 G29 G36G2D G27 G33G21 G29 G36 G21G21 G24G21电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字G23或G21 G21将输出的前G23个数字之和被G27整除的概率记为G29 G23 G21证明G2D G25G23G26G29
23、G23 G30 G23 G2DG23G21G25G23 G31 G29 G23G26 G2CG25G21G26G29 G21 G22 G23 G21 G22G23G27G21G21 G25G21三次函数G37G25G25G26G2D G26 G25G27G30 G22 G25G21G30 G35 G25 G30 G38G25其中G22G21G35G21G38 G24 G21G26满足G2D当G31G23 G28 G25 G28 G23时G21 G31G23 G28 G37G25G25G26G28 G23 G21求G22G24G35G24G38的所有可能取值G21解G21答G21G21 G2F
24、G21提示G2D当G23 G22 G23时G21G22 G23 G2D G24 G23 G31 G24 G23 G31 G23 G2D G21 G23 G31 G27G21因此G22 G27 G30G22 G23 G2C G2D G27 G26 G21 G21G24G21G21G21G21天津G22G21 G2E G21提示G2D设G2EG2D G31 G32 G25G21则G25 G2D G3AG2EG21原式G2DG25G3AG2EG26G31G32 G2EG31G2EG2EG2D G22 G21G23G21 G2D G21提示G2D若G26 G2B G27 G22G21G21G21则G3
25、3G34 G32 G26 G22 G36 G37 G33 G27G21G33G34 G32 G27 G22 G36 G37 G33 G26G21从而G33G34 G32G21G26 G30 G33G34 G32G21G27 G22 G33G34 G32 G26 G36 G37 G33 G27 G30 G33G34 G32 G27 G36 G37 G33 G26 G2D G33G34 G32G25G26 G30 G27G26G2D G33G34 G32 G28G21与所给条件矛盾G21同理G21若G26 G30 G27 G29G21G21G21则也导致矛盾G21所以G26 G30 G27 G2D
26、G21G21G21G24G21 G30 G21提示G2D不妨设G26G25G23G21G22G26 G24G27G25 G2AG23G21G22G26 G21又设G29G25G25G21G2EG26 G21则直线G26 G29的斜率为G2EG25 G2A G23G21直线G27 G29的斜率为G2EG25 G2B G23G21依题意得G2EG25 G31 G23G2EG2EG25 G30 G23G2D G31G23G21G21由此得到椭圆方程为G25G21G30 G21G2EG21G2D G23 G21可得离心率为G23槡G21G21G25G21 G2F G21提示G2D不妨设正四面体棱长为G
27、23G21则G25G2AG2AG26 G27G2EG25G2AG2AG26 G27 G2D G23G21G21G25G2AG2AG26 G27G2EG25G2AG2AG2A G27 G2DG23G21G21G25G2AG2AG26 G28G2EG25G2AG2AG26 G27 G2DG23G21G21G21G25G2AG2AG26 G28G2EG25G2AG2AG2A G27 G2D G22 G21现在G25G2AG2AG26 G2B G29G23G21G25G25G2AG2AG26 G27 G2BG25G2AG2AG26 G28G26 G21G25G2AG2AG2C G27 G29G23G2
28、1G25G25G2AG2AG26 G27 G2BG25G2AG2AG2A G27G26 G21所以G25G2AG2AG26 G2BG2EG25G2AG2AG2C G27 G2DG23G26G25G25G2AG2AG26 G27 G30G25G2AG2AG26 G28G26 G2E G25G25G2AG2AG26 G27 G30G25G2AG2AG2A G27G26G2DG23G21G21而G2BG25G2AG2AG26 G2B G2B G29 G2BG25G2AG2AG2C G27 G2B G29槡G27G21G21所以G26 G2B与G27 G2C所成角的余弦值是G25G2AG2AG26 G
29、2BG2EG25G2AG2AG2C G27G34G25G2AG2AG26 G2B G34 G34G25G2AG2AG2C G27 G34G2DG21G27G21G26G21 G2F G21提示G2D构造一个长方体G21使得G26 G27 G28 G2A的六条棱分别是长方体某个面的对角线G21这时G21长方体的体对角线长为G25G25G21G30G2EG21G30 G2FG21G26G2F槡G21G21它恰好等于外接球面的直径G21故G25G21G30G2EG21G30 G2FG21G2D G35 G21G25G21G21G21G21天津G27G21 G21 G21 G21提示G2D作出四条直线
30、G2EG2D G21G21G25 G2D G31 G21G21G25 G2D G21G21G2EG2D G22G21则所给函数的图象落在上述四条直线所围成的长方形内部G21且关于G2E轴对称G21在第一象限内的部分G21函数图象关于点G21G21G21G25 G26G23成中心对称G21因此这部分函数图象与G25轴G24G2E轴所围成区域的面积G21等于相应长方形面积的一半G21进而整个函数图象与G25轴围成的区域面积为前述长方形面积的一半G21即G21 G21 G21G28G21槡G27G21G21提示G2D建立平面坐标系G21使得G26G24G27G24G28G24G2A的坐标分别为G25
31、 G2AG21G21槡G27G26 G24 G25 G2AG23G21G22G26 G24 G25G23G21G22G26 G24 G25G21G21槡G27G26 G21则可求得该抛物线方程为槡G27 G2E G2D G25G21G31 G23 G21因此该抛物线焦点到准线的距离为槡G27G21G21G29G21槡G21 G21提示G2D由G2B G2F G2BG29 G23可知G2B G2FG21G2BG29 G23 G21即G22G21G2B G35G21G29 G23 G21因此G25G22 G30 G35G26G21G28 G21G25G22G21G30 G35G21G26G2D G
32、21 G21故G22 G30 G35 G28槡G21G21且当G22 G2D G35 G2D槡G21G21时等号可以成立G21故G22 G30 G35的最大值是槡G21 G21G21 G2AG21 G21 G28 G21提示G2D我们有G34 G25 G31 G23 G34 G30 G34 G25 G31 G23 G22 G34 G26 G34G25G25 G31 G23G26G31G25G25 G31 G23 G22G26G34 G2D G24G21且等号当G25 G24G29G23G21G23 G22G2A时成立G21同理G21G34 G25 G31 G21 G34 G30 G34 G25
33、 G31 G24 G34 G26 G2CG21 G2B G21G34 G25 G31 G28 G34 G30 G34 G25 G31 G25 G34 G26 G23G21且等号分别当G25 G24G29G21G21G24G2A G21 G2B G21G25 G24G29G28G21G25G2A时成立G21因此G21G2E G26 G24G30 G2C G30G2BG30 G23 G2D G21 G28G21且当G25 G24G29G28G21G25G2A时等号成立G21故所求最小值为G21 G28 G21G21 G21G21G23G21G21提示G2D由于G2CG23G39 G2D G21G2
34、3 G31G23G39G25 G26G21G2DG2CG23G39 G2D G21G23 G31G23G25 G26G39G2CG23G39 G2D G21G23 G30G23G25 G26G39G2DG2CG23G39 G2D G21G39 G31 G23G39G2CG23G39 G2D G21G39 G30 G23G39G2DG23G23G2EG23 G30 G23G21G21G26G21G21G21G21天津故所求极限为G23G21G21G21 G22G21G29 G2AG27G21G27G2AG21提示G2D依题意G21G36 G37 G33G21G25 G30 G22 G33G34
35、G32 G25 G28G2EG26G30G24G2E对一切正实数G25G24G2E成立G21则左端必小于等于右端的最小值G27 G21令G3A G2D G33G34 G32 G25G21则G31 G3AG21G30 G22 G3A G28 G21G21G3A G24G29G31 G23G21G23G2AG21取G3A G2D G31 G23G21得G22 G26 G31 G27G2C取G3A G2D G23G21得G22 G28 G27 G21而且当G22 G24G29G31 G27G21G27G2A时G21易证G31G3AG21G30 G22 G3A G28 G21对任意G3A G24G29
36、G31 G23G21G23G2A成立G21故G22的取值范围是G29 G2AG27G21G27G2AG21G21 G23G21方法一G21设双曲线方程为G25G21G22G21G2AG2EG21G35G21G29 G23 G21由于它与直线G2EG29G25G21 G25 G2AG23G26G21即G2EG29 G21 G25 G2A G23相切G21所以方程组G25G21G22G21G31G2EG21G35G21G2D G23G21G2EG2D G21 G25 G31 G23G2DG2EG2FG21只有唯一一组解G21这样G21关于G25的方程G25G21G22G21G31G25G21 G2
37、5 G31 G23G26G21G35G21G2D G23有两个相等的实根G21其判别式等于零G21所以有G26G35G25 G26G21G21G31 G26G23G22G21G31G26G35G25 G26G21G31G23G35G21G31G25 G26G23 G2D G22 G21整理得G35G21G31 G26 G22G21G30 G23 G2D G22 G21注意双曲线的两个焦点坐标分别为G25 G2AG21G21G22G26和G25G21G21G22G26 G21所以其半焦距为G38 G2D G21 G21这样G22G21G30 G35G21G2D G26 G21与前述方程联立解得G
38、22G21G2D G23G21G35G21G2DG27 G21因此双曲线方程为G25G21G31G2EG21G27G2D G23 G21由于G22G21G2D G23G21G35G21G2D G27G21前述关于G25的方程成为G25G21G31G25G21 G25 G31 G23G26G21G27G2DG23G21从中解得G25 G2D G21G21代入G2EG2D G21 G25 G31 G23得G2EG2D G27 G21这表明切点G29的坐标G27G21G21G21G21天津为G25G21G21G27G26G21因此G33 G23 G29的斜率为G39 G2DG27 G31 G22G2
39、1 G31G25G31 G21G26G2DG27G26G21可见G3B G3C G32 G27 G33 G23 G29 G36 G2DG3A G31 G39G23 G30 G39 G3AG2DG23G21G21其中G3A G29 G21是切线G29 G36的斜率G21注意G33 G21与G29的横坐标相同G21所以G33 G21 G29平行于G2E轴G21G3BG3C G32 G27 G33 G21 G29 G36 G2DG23G3AG2DG23G21G21所以G3BG3C G32 G27 G33 G23 G29 G36 G2DG3BG3C G32 G27 G33 G21 G29 G36G21
40、G27 G33G23 G29 G36G2D G27 G33G21 G29 G36 G21方法二G21设双曲线方程为G25G21G22G21G31G2EG21G35G21G2D G23 G21由于半焦距G38 G2D G21G21可知G22G21G30 G35G21G2D G26 G21又设G29G25G25 G22G21G2E G22G26 G21则G29点切线的方程为G25 G22G25G22G21G31G2E G22G2EG35G21G2D G23 G21与所给的切线方程G2EG29 G21 G25 G2AG23G25 G26G21即G21 G25 G2A G2E G29 G23比较可知G
41、25 G22 G2D G21 G22G21G21G2E G22G2D G35G21G21将之代入G25G21G22G22G21G31G2EG21G22G35G21G2D G23可得G26 G22G21G31 G35G21G2D G23 G21与G22G21G2B G35G21G29 G26联立G21就解得G22G21G29 G23 G21 G35G21G29 G27 G21因此双曲线方程为G25G21G2AG2EG21G27G29 G23 G21进一步G21切点坐标为G25G25 G22G21G2E G22G26 G29 G25G21 G22G21G21G35G21G26 G29 G25G21
42、G21G27G26 G21以下同方法一G21G21 G24G21方法一G21这G23个数字共有G21G23种可能情形G21设其中数字和被G27G28G21G21G21G21天津整除的有G25 G23种G21则不被G27整除的有G21G23G2A G25G23种G21对于G23 G2B G23个数字的情形G21如果其和被G27整除G21则前G23个数字之和不被G27整除G2C反之G21对于前G23个数字之和不被G27整除的每种情形G21有唯一的第G23 G2B G23个数字可使前G23 G2B G23个数字之和被G27整除G21因此G21我们有G25 G23 G30 G23 G2D G21G23
43、G31 G25G23 G21这就表明G21概率G29 G23 G2DG25 G23G21G23满足递推关系式G29 G23 G30 G23 G2DG23G21G25G23 G31 G29 G23G26G21注意上式也可写作G29 G23 G30 G23 G31G23G27G2D G31G23G25 G26G21G29 G23 G31G23G25 G26G27G21这就表明数列G29G23G31G23G27 G28G27是公比为G31G23G21的等比数列G21且首项为G29 G23 G31G23G27G2D G31G23G27G29 G22 G21故G29 G21 G22 G23 G21 G3
44、1G23G27G2D G31G23G25 G26G21G21 G22 G23 G23G29 G23 G31G23G25 G26G27G22 G22G21即G29 G21 G22 G23 G21 G22G23G27G21方法二G21输出的前G23个数字之和被G27整除的概率为G29 G23G21则不被G27整除的概率为G23 G2A G29 G23 G21要使输出的前G23 G2B G23个数字之和被G27整除G21则必须使前G23个数字之和不被G27整除G21且这时第G23 G2B G23个数字也随之确定G21所以由条件概率的公式即得G29 G23 G30 G23 G2DG23G21G25G2
45、3 G31 G29 G23G26G21以下同方法一G21方法三G21这G23个数字共有G21G23种可能情形G21下面计算其和被G27整除的有多少种G21这等于多项式G37G25G25G26 G29 G25G25 G2B G25G21G26G23的展开式中G25G27G21G25G25G21 G2B G21等项的系数之和G21进而等于G23G27G25G37G25G23G26G30G37G25G21G26G30G37G25G21G26 G26 G21其中G21 G2D G31G23G21G30槡G27G21G34为三次单位根G21G21是其共轭复数G21不难算得上式等于G23G27G25G21
46、G23G30 G21G25G31 G23G26G23G26G21因此所求的概率为G29 G23 G2DG23G27G23 G30 G21 G31G23G25 G26G21G25 G26G23G21G29G21G21G21G21天津据此G21即可验证G29 G23 G30 G23 G2DG23G21G25G23 G31 G29 G23G26及G29 G21 G22 G23 G21 G22G23G27G21G21 G25G21由题意G21当G25 G29 G3D G23G21 G3DG23G21时G21均有G2AG23 G28 G37G25G25G26G28 G23 G21所以G31 G23 G2
47、8 G26 G30 G22 G30 G35 G30 G38 G28 G23G21G31 G23 G28 G26 G31 G22 G30 G35 G31 G38 G28 G23G21G31 G23 G28G23G21G30G22G26G30G35G21G30 G38 G28 G23G21G31 G23 G28G23G21G31G22G26G30G35G21G31 G38 G28 G23 G21前两式相加G21得G31G21 G28 G35 G30 G21 G35 G28 G21G21从而G35 G28 G31 G27 G21后两式相加G21得G31 G21 G28 G23 G30 G35 G28
48、 G21G21从而G35 G26 G31 G27 G21因此G35 G2D G31 G27 G21代入前述不等式G21可得G22 G30 G38 G2D G22G21G22G26G30 G38 G2D G22G21从而G22 G2D G38 G2D G22 G21下面证明G37G25G25G26G2D G26 G25G27G31 G27 G25满足题中所说的条件G21事实上G21若G31 G23 G28 G25 G28 G23G21则可令G25 G2D G36 G37 G33 G3AG21G3A G24 G21G21这时G37G25G25G26G2DG37G25G36 G37 G33 G3AG
49、26G2D G26 G36 G37 G33G27G3A G31 G27 G36 G37 G33 G3A G2D G36 G37 G33 G27G3A G21由于G2AG23 G28 G36 G37 G33 G27G3A G28 G23G21所以G2AG23 G28 G37G25G25G26G28 G23 G21综上G21G22 G2D G22G21G35 G2D G31 G27G21G38 G2D G22 G21G21 G22 G23 G21年全国高中数学联赛河北省预赛G21 G23G21 G2AG21G21G21河北受河北省数学会委托G21河北省数学会普及工作委员会会同河北师范大学数学与信息科学学院共同组织承办了G21 G22 G23 G21年河北省高中数学竞赛G21 G21G21 G22 G23 G21年河北省高中数学竞赛分高二G24高三两个年级组分别进行G21所涉及的知识范围不超出现行G22全日制普通高中课程标准G
