1、第五章 二次型,教学目的与要求：通过本章学习要求学生掌握二次型的矩阵表示，熟练掌握将二次型化为标准形的方法， 及正定二次型概念及判别。 知识点：二次型，二次型的标准形，正定二次型 重点：用正交变换，化二次型为标准形 难点：用正交变换，化二次型为标准形 教学方式：以讲授为主,5.1 二次型的概念,一. 二次型及其矩阵表示,1. 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩,1.二次型、二次型的矩阵、秩 2. 非退化线性变换 3.矩阵的合同,称为n元二次型, 简称二次型,（1）,（我们仅讨论实二次型）,实二次型： 为实数。,复二次型： 为复数。,例如：,都是二次型。,不是二次型。,（不是二次齐次多项式）,只含
2、有平方项的二次型,称为二次型的标准形（或法式）。,例如：,都为二次型；,为二次型的标准形。,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2用矩阵表示,易见一个二次型与一个对称矩阵之间一一对应。,解,解,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,四. 非退化线性变换（可逆线性变换）,系数 矩阵,线性变换，记作（2）,则线性变换（2）可记作：,经过非退化线性变换,可化为,则,因为,以上说明：,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换,使二次型
3、只含平方项.,矩阵的合同：,所以，通过非退化线性变换x=Cy，新二次型f =yTBy的矩阵B与原二次型f =xTAx的矩阵A是合同的.,矩阵合同的性质：,(1) 反身性,(2) 对称性,(3) 传递性,注释：,2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是非退化的（可逆的）,“合同”定义中，矩阵A 、B为一般方阵，但实际中，多针对对称矩阵考虑合同关系,任一对称矩阵，都存在对角矩阵与它合同。与对角矩阵合同的矩阵必是对称矩阵。,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换,使二次型只含平方项.,即二次型,经过可逆线性变换,这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形,使得,5.2 化二次型为标准
4、形,定义 只含平方项的二次型, 即,称为二次型的标准形(或法式).,定义 若标准形的系数只取1,-1或0, 即,称为二次型的规范形.,2 化二次型为标准形,正交变换法配方法,目标：,问题转化为：,回忆：,此结论用于二次型,所以，,（1）. 正交变换法,主轴定理：,任给二次型,总有正交变换,使之化为标准形,推论：,对于任一个二次型,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,( 重数计算在内 ) .,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例3,从而得特征值,2求特征向量,3只需将特征向量单位化,得,4得正交矩阵,于是所求正交变换为,Method2:拉格朗日配方法,用正交变换化二次型为标准形，其特点
5、是保 持几何形状不变(shape preserve) ,问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法,1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,解,例1,所用变换矩阵为,2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.,例2、化二次型为标准形,解： 不含有平方项，含有 乘积项，因此用代换产生平方项， 令则,再配方，得,则有,令,所求得可
6、逆变换矩阵为,说明：用配方的方法化二次型为标准形方法： 1）若二次型不含平方项，仅含乘积项，先引入代换生成平方项后，再配方； 2）若二次型含平方项，集中含有平方项的某一个变量所有项的平方，对余下的变量同样进行配方作平方和。,此外,用不同的可逆线性变换把同一个二次型化为标准形时, 二次型的标准形不会是唯一的,但规范形唯一.,注：用配方法作的变换是可逆变换，但是不一定是正交变换，因此标准形中平方项前的系数不一定是特征值。,五、小结,1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法,2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换拉格朗日配方法,思考题,思考题解答,思考题2 z=xy表示何种二次曲面？,解,练习,
