1、1第六讲 几何中的类比探究（讲义）一、 知识点睛1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主2. 解决类比探究问题的一般方法：（1）根据题干条件，结合 先解决第一问；（2）用解决_的方法类比解决下一问，如果不能，_起来分析，找出不能类比原因和不变特征，依据_，探索新的方法二、精讲精练1. 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图 1，在 ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，点 F是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线
2、 CD 于点 G，若 ，求 的值3AFECDG（1）尝试探究：在图 1 中，过点 E 作 EHAB 交 BG 于点H，则 AB 和 EH 的数量关系是 _，CG 和 EH 的数量关系是_， 的值是 （2）类 比 延 伸 ： 如 图 2， 在 原 题 的 条 件 下 ， 若（ m 0） ， 则 的值是 （用含 m 的代数式AFECDG表示） ，试写出解答过程（3）拓展迁移：如图 3，在梯形 ABCD 中，DCAB，点E 是 BC 的延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F若， （a0， b0） ，则 的值是 ABCDAE（用含 a、b 的代数式表示） 2. （1）操作发现：如图 1，在矩形 A
3、BCD 中，E 是 BC 的中图3BFECDA图2AB CDEF G图1AB CDEF G2点，将ABE 沿 AE 折叠后得到AFE，点 F 在矩形 ABCD内部，延长 AF 交 CD 于点 G猜想线段 GF 与 GC 有何数量关系，并证明你的结论（2）类比探究：如图 2，将（1）中的矩形 ABCD 改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由 ECFDAB G图2图1GBA DFCE33. 如图 1，在 RtABC 中，ACB= ，CDAB，垂足为o90D，点 E 在 AC 上，BE 交 CD 于点 G，EF BE 交 AB 于点F，AC= mBC，CE=nEA(m，
4、n 为实数).试探究线段 EF 与EG 的数量关系（1）如图 2，当 m=1，n =1 时，求 EF 与 EG 的数量关系. （2）如图 3，当 m=1，n 为任意实数时，求 EF 与 EG 的数量关系（3）如图 1，当 m，n 均为任意实数时，求 EF 与 EG 的数量关系 图1GBA DFE C图2GBA DFEC图3CGBA DFE44. （1）问题探究如图 1，分别以ABC 的边 AC 与边 BC 为边，向ABC外作正方形 ACD1E1 和正方形 BCD2E2，过点 C 作直线 KH交直线 AB 于点 H，使 AHK=ACD 1，作 D1M KH，D2NKH ，垂足分别为点 M，N，试
5、探究线段 D1M 与线段 D2N 的数量关系，并加以证明（2）拓展延伸如图 2，若将“问题探究”中的“正方形”改为“正三角形” ，过点 C 作直线 K1H1，K 2H2，分别交直 线 AB 于 点H1， H2， 使 AH1K1= BH2K2= ACD1， 作D1M K1H1， D2N K2H2， 垂 足 分 别 为点M，ND 1M=D2N 是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由如图 3，若将中的“正三角形”改为“正五边形” ，其他条件不变，D 1M=D2N 是否仍成立？（要求：在图 3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）A BE1D1 MKD2E2CNH图1图2K2H2A
6、BD1 MK1D2CNH1 F 1 图3ABC F2E2D2D1E155. 已 知 梯 形ABCD， AD BC， AB BC， AD 1， AB 2， BC 3（1）如图 1，P 为 AB 边上的一点，以 PD、PC 为边作 PCQD，请问对角线 PQ、DC 的长能否相等，为什么？（2）如图 2，若 P 为 AB 边上一点，以 PD、PC 为边作 PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由（3）若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使DEPD，再以 PE、PC 为边作 PCQE，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值如果存在，
7、请求出最小值；如果不存在，请说明理由（4）如图 3，若 P 为直线 DC 上任意一点，延长 PA 到E，使 AEnPA（n 为常数） ，以 PE、PB 为边作 PBQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由 图图图DCBA图图图DCBA图1DQCBPA图2APB CQD图图图DCBA图3Q PE DCBA66. 如图 1，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC2BCD2，点 E 在 AD 上，点 F 在DC 上，且BEF =A （1）BEF =_（用含 的代数式表示） ；（2）当 ABAD 时，猜想线段 EB、EF 的数量关系，并证明你的猜想；（3）当 ABAD 时，将“点 E 在 AD 上”改为“点 E 在AD 的延长线上，且 AEAB ，ABmDE，ADnDE” ，其他条件不变（如图 2） ，求 的值（用含 m、n 的代数BF式表示） 图1EFDACB 图2FDECBA7三、回顾与思考_
