概率统计第3章答案.doc

1、-第三章 作业一1. 将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律.【解】 X 和 Y 的联合分布律如表：0 1 2 31 0 3C28A31C/8A03 80 0 1282. 盒子里装有 3 只黑球，2 只红球，2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到白球的只数，求 X， Y 的联合分布律。XY 0 1 2 30 0 0 51 0 3632 550解：（ X， Y）的可能取值为( i, j)， i=0，1，2，3， j=0，12， i + j2，联合分布律

2、为P X=0, Y=2 = 351472CP X=1, Y=1 = 64721P X=1, Y=2 = 3547123CP X=2, Y=0 = 4723P X=2, Y=1 = 3514723CP X=2, Y=2 = 4723XY-P X=3, Y=0 = 352471CP X=3, Y=1 = 4712P X=3, Y=2 =03. 设随机变量（ X， Y）的分布密度f（ x， y）= .,0,0,)43(他yxAyxe求：（1） 常数 A；（2） 随机变量（ X， Y）的分布函数；（3） P0 X1，0 Y2.【解】 （1） 由 -(34)0(,)ded12xyAfxy得 A=12（2

3、） 由定义，有(,)(,)yxFfuv3434012ed(1e)0, xyx 其 他(3) PXY12(34)380,2ed(1e)0.94xy4. 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量， X 在（0，0.2）上服从均匀分布， Y 的密度函数为fY（ y）= .,5他ye求：（1） X 与 Y 的联合分布密度；（2） PY X.题 6 图-【解】 （1） 因 X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为1,0.2,().2Xxfx其 他而 5e,0,().yYf其 他所以(,)()XYfxyfxyA独 立551e2,0.20,0.,yyxy且其 他(2) 5()(,)dedy

4、yxDPYXf如 图0.20.2-5-1e()=.3679yx-第三章 作业二1. 袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 X，最大的号码为 Y.（1） 求 X 与 Y 的联合概率分布；（2） X 与 Y 是否相互独立？【解】 （1） X 与 Y 的联合分布律如下表3 4 5 iPXx1 351C0352C10351062 0 3535233 0 0 251C01iPYy1316(2) 因 61,3,00XPYPXYA故 X 与 Y 不独立2. 设二维随机变量（ X， Y）的概率密度为f（ x， y）= .,0,12他yxc（1） 试确定常数 c；（2）

5、求边缘概率密度. 【解】 （1） (,)d(,)dDfxyfxy如 图21- 4=1.xcc得 .214cYX-(2) ()(,)dXfxfy21241(),1,840,0,.xxx其 他()()dYfyfy52217,01,40, .yxy其 他3. 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量， X 在（0，1）上服从均匀分布， Y 的概率密度为fY（ y）= .,2/他ye（1）求 X 和 Y 的联合概率密度；（2） 设含有 a 的二次方程为 a2+2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率.【解】 （1） 因 1,0,()Xxfx其 他 ;21e,()0yYf其 他 .故/2e1,0(,)()

6、,.yXYxyfxyfxA独 立 其 他题 14 图(2) 方程 有实根的条件是20aXY2()40XY故 X2 Y，从而方程有实根的概率为： 22(,)dxyPfx-21/0de()0.45xy4. 设随机变量（ X， Y）的概率密度为f（ x， y）= .,0,1,1他x求条件概率密度 fY X（ y x） ， fX Y（ x y）.题 11 图【解】 ()(,)dXfxfy1201,0,.xx其 他 1d,10,()(,)0,.yY xyfyfx其 他所以|1,|1,(,)()20.YXXyxfxyfy其 他|, ,1(,)(),1,0.XYYyxfxyf 其 他-第三章 作业三1. 设

7、随机变量（ X， Y）的分布律为0 1 2 3 4 501230 0.01 0.03 0.05 0.07 0.090.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05（1） 求 PX=2 Y=2， PY=3 X=0；（2） 求 V=max（ X， Y）的分布律；（3） 求 U=min（ X， Y）的分布律；（4） 求 W=X+Y 的分布律.【解】 （1） 2,2|P50,0.51,2iXYi3,3|PPYX30,0.1;3jYj（2） max(,),PViXiPiPXiY1

8、00, ,i ikkiYi0,1234,5所以 V 的分布律为V=max(X,Y) 0 1 2 3 4 5P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28(3) min(,)UiPXYi351, ,ki kiPiiXYi0,123于是U=min(X,Y) 0 1 2 3XY-P 0.28 0.30 0.25 0.17(4)类似上述过程，有W=X+Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.052. 设 X， Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n， p 的二项分布.证明 Z=X+Y 服从参数为 2n，

9、p 的二项分布.【证明】方法一： X+Y 可能取值为 0，1，2，2 n.0,kiPPXiYki0202()kikinkiniikkniknpqqipqA方法二：设 1, 2, n; 1, 2,， n均服从两点分布（参数为 p） ，则X= 1+ 2+ n， Y= 1+ 2+ n,X+Y= 1+ 2+ n+ 1+ 2+ n,所以， X+Y 服从参数为（2 n,p)的二项分布.3. 雷达的圆形屏幕半径为 R，设目标出现点（ X， Y）在屏幕上服从均匀分布.（1） 求 PY0 Y X；（2） 设 M=maxX， Y，求 PM0.题 20 图【解】因（ X， Y）的联合概率密度为 221,(,)0.xyRfxy其 他（1） ,0|PYXPYX-0(,)d,yxyff2/405/1dRr38;124(2) 0max(,)01max(,)0PMXYPXY013,d.4xyf4. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从 N（160，20 2）分布.随机地选取 4 只，求其中没有一只寿命小于 180 的概率.【解】设这四只寿命为 Xi(i=1,2,3,4)，则 XiN（160，20 2） ，从而 1234 12min,)180801iPPXA之 间 独 立34128018080180XPXXAAA4414 6()0.58).03.P-