1、3.1 【学习目标】【学习难点】【学习过程】一、 自主学习二、合作探究三、课堂练习四、能力拓展五、课堂小结我的收获我的困惑课 题:86 抛物线的简单几何性质(二)教学目的:1掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;2掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式;3在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化 奎 屯王 新 敞新 疆教学重点:抛物线的几何性质及其运用教学难点:抛物线几何性质的运用 授课类型:新授课 奎 屯王 新 敞新 疆课时安排:1 课时 奎 屯王 新 敞新 疆教 具:多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新 疆教学过程:一、复习引入: 抛物线的几何性质:标
2、准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率02pxyOFl0,轴x0,2p2px1e02pxyyl0,轴x0,2px1e02pyx0,轴y2,0py1e02pyx0,轴y2,0py1e注意强调 的几何意义:是焦点到准线的距离 奎 屯王 新 敞新 疆抛物线不是双曲线的一支,抛物线不存在渐近线 奎 屯王 新 敞新 疆二、讲解新课:1.抛物线的焦半径及其应用:定义:抛物线上任意一点 M 与抛物线焦点 的连线段,叫做抛物线的焦半径 奎 屯王 新 敞新 疆F焦半径公式:抛物线 ,)0(2pxy 002xpxP抛物线 , )(200F抛物线 , )0(2pyx 002ypyP抛物线 ,)(200F2直
3、线与抛物线:(1)位置关系:相交(两个公共点或一个公共点) ;相离(无公共点) ;相切(一个公共点) 奎 屯王 新 敞新 疆下面分别就公共点的个数进行讨论:对于 )0(2pxy当直线为 ,即 ,直线平行于对称轴时,与抛物线只有唯一的交点 奎 屯王 新 敞新 疆0yk当 ,设kbxl:将 代入 ,消去 y,得到yl: 0:2FEyDxCyA关于 x 的二次方程 奎 屯王 新 敞新 疆 (*)02cxa若 ,相交; ,相切; ,相离 奎 屯王 新 敞新 疆0综上,得:联立 ,得关于 x 的方程pybkx202cbxa当 (二次项系数为零) ,唯一一个公共点(交点) 奎 屯王 新 敞新 疆0a当 ,
4、则若 ,两个公共点(交点) 奎 屯王 新 敞新 疆0,一个公共点(切点) 奎 屯王 新 敞新 疆,无公共点 (相离) 奎 屯王 新 敞新 疆(2)相交弦长:弦长公式: ,其中 a 和 分别是 (*)中二次项系数和21kad02cbx判别式,k 为直线 的斜率 奎 屯王 新 敞新 疆bxyl:当代入消元消掉的是 y 时,得到 ,此时弦长公式相应的变为:02cya 奎 屯王 新 敞新 疆21kad(3)焦点弦:定义:过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。焦点弦公式:设两交点 ,可以通过两次焦半径公式得到:),(),21yxBA当抛物线焦点在 x 轴上时,焦点弦只和两焦点的横坐标有关:抛物线 , 奎 屯
5、王 新 敞新 疆)0(2py )(21p抛物线 , 奎 屯王 新 敞新 疆x当抛物线焦点在 y 轴上时,焦点弦只和两焦点的纵坐标有关:抛物线 , 奎 屯王 新 敞新 疆)0(2px )(21ypAB抛物线 , 奎 屯王 新 敞新 疆(4)通径:定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦 奎 屯王 新 敞新 疆直接应用抛物线定义,得到通径: 奎 屯王 新 敞新 疆pd2(5)若已知过焦点的直线倾斜角 则 pxyk2)( 022yk21pyksin4221 pk 221siniAB(6)常用结论:和pxy2)( 022pyk 04)(222 pkxpkx和 奎 屯王 新 敞新 疆21py41x3抛物线的法
6、线:过抛物线上一点可以作一条切线,过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线,抛物线的法线有一条重要性质:经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴, 那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的 夹角如图抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用例如, 在光学上,如果把光源放在抛物镜的焦点 F 处,射出的光 线经过抛物镜的反射,变成了平行光线,汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的反过来,也可以把射来的平行光线集中于焦点处,太阳灶就是利用这个原理设计的 奎 屯王 新 敞新 疆 4抛物线 的参数方程: (t 为参数))0(2pxy 2pyx三、讲解范例:例 正三角形的一个顶点
7、位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 上,求)0(2pxy这个正三角形的边长分析:观察图,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明 x 轴是它们公共的对称轴,则容易求出三角形边长解:如图,设正三角形 OAB 的顶点 A、B 在抛物线上,且坐标分别为 、 ,),(1y),(2x则 ,121pxy22pxy又|OA|OB|,所以 21y即 2221xx0)()(1p221xx , 0,01x1由此可得 ,即线段 AB 关于 x 轴对称|2y因为 x 轴垂直于 AB,且AOx30,所以 30tan1y所以 , 奎 屯王 新 敞新 疆pyp3211 pAB42|四、课堂练习:xy 平 行 于 轴法 线
8、切 线 OxyBAO1正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 上,求02pxy这个正三角形的边长 奎 屯王 新 敞新 疆 (答案:边长为 )p342正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 上,求2xy正三角形外接圆的方程 奎 屯王 新 敞新 疆分析:依题意可知圆心在 轴上,且过原点,故可设圆的方程为: ,x 02D又 圆过点 , 所求圆的方程为32,6pA82pxyx3已知 的三个顶点是圆 与抛物线 的交点,且BC092yx的垂心恰好是抛物线的焦点,求抛物线的方程 奎 屯王 新 敞新 疆 (答案: )xy424已知直角 的直角顶点 为原点, 、 在抛物线 上, (1
9、)分OAAB0p别求 、 两点的横坐标之积,纵坐标之积;(2)直线 是否经过一个定点,若经过,B求出该定点坐标,若不经过,说明理由;(3)求 点在线段 上的射影 的轨迹方程 奎 屯王 新 敞新 疆OAM答案:(1) ; ;(2)直线 过定点2214py214px,2(3)点 的轨迹方程为 奎 屯王 新 敞新 疆M0xy5已知直角 的直角顶点 为原点, 、 在抛物线 上,原点在OABAB02pxy直线 上的射影为 ,求抛物线的方程 奎 屯王 新 敞新 疆 (答案: )1,2D56已知抛物线 与直线 相交于 、 两点,以弦长 为直0pxy1xy AB径的圆恰好过原点,求此抛物线的方程 奎 屯王 新
10、 敞新 疆 (答案: )27已知直线 与抛物线 相交于 、 两点,若 ,bxyxy20pABO( 为坐标原点)且 ,求抛物线的方程 奎 屯王 新 敞新 疆 (答案: )O5AOBS xy28顶点在坐标原点,焦点在 轴上的抛物线被直线 截得的弦长为 ,求抛物x115线的方程 奎 屯王 新 敞新 疆 (答案 : 或 ) 奎 屯王 新 敞新 疆y12y4五、小结 :焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式 奎 屯王 新 敞新 疆 六、课后作业: 奎 屯王 新 敞新 疆七、板书设计(略) 奎 屯王 新 敞新 疆八、测 试 题: 奎 屯王 新 敞新 疆1顶点在原点,焦点在 y 轴上,且过点 P(
11、4,2)的抛物线方程是( )(A) x28 y (B) x24 y (C) x22 y (D) yx212抛物线 y28 x 上一点 P 到顶点的距离等于它们到准线的距离,这点坐标是(A) (2,4) (B) (2,4) (C) (1, ) (D) (1, )3抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长等于 8,则抛物线方程为 4抛物线 y26 x,以此抛物线的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程是 5以双曲线 的右准线为准线,以坐标原点 O 为顶点的抛物线截双曲线的左准192线得弦 AB,求 OAB 的面积测试题答案:1A 2D 3 x28 y 4 5 奎 屯王 新 敞新 疆 9)23(yx21