1、 1 / 9张喜林制3.1.1 实数指数幂及其运算教材知识检索考点知识清单1整数指数幂(1)正整数指数幂：一个数 a 的 n 次幂等于 ，即 (2)正整数指数幂的运算法则：； ；nma. m );0,(annm(； b)( nb)( ).b(3)整数指数幂：规定： 0ana,0( *),(Nn2根式(l)n 次方根：一般地，如果 ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 (2)方根的性质：零的任何次方根都等于 0，即： na)( *),1(Nn当 n 为奇数时， ；当 n 为偶数时， n na3分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是： 为既约分数） nmnmN且*,0(正数的负分数
2、指数幂的意义是： 为既约分数）naa且,(2)运算性质： 其中 ,),)(,.r rrrsrss ba要点核心解读1关于分数指数幂的概念这两个式子非常相似，但差别很大，一定要注意区别na与)(2)关于分数指数幂需要注意：在条件 下，根式都可以写成分数指数幂的形*,0Nnma1式引入分数指数幂的概念后，指数概念由整数指数幂扩充为有理数指数幂，分数指数幂不可理解为2 / 9个 a 相乘，它是根式的一种新的写法nm2关于指数运算问题(1)在进行根式和分数指数幂的某种综合运算时，要合理运用它们的性质和法则，数式的运算、化简、变形与求值在数学问题中占有重要的地位(2)-般地，根式运算可以转化为分数指数幂
3、的运算，运算的结果既可用根式表示又可用分数指数幂表示，但必须统一(3)分数指数幂的运算常采用的思路有：对于常量字母，先化成同底的再运算；对于变量字母，有时需要对字母进行讨论，除式的运算，用分母的“-1”次幂化为乘法运算(4)根式的运算应该注意的几点：注意根式的符号：an 为奇数时， 与 a 的符号一致；nRa,bn 为偶数时， .0,0n对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律3正整数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质的联系(1)正整数指数幂与有理数指数幂的运算性质(2)为了保证正整数指数幂的性质可以从定义直接推出，限定了 m、n 都是正整数，且性质
4、中限定mn，为了取消 mn 的限制，定义了零指数幂和负整数指数幂，在引进负整数指数幂后性质可以归人性质，性质可以归人性质，这样上述 5 条可归纳为 3 条，即，同时指数的范围扩大到了有理数，为了使对任意整数都成立，不得不规定 a0 及 60.典例分类剖析考点 1 整数指数幂的运算例 1 化简下列各式：;)()()(123402523baba 4301.)2(解析 (1)由题目可获取以下主要信息：两个式子都是幂的乘方以及乘除混合运算。解答本题可先算乘方，后算乘除，其中 0.01 可写成 .)(23 / 9(2)化简整数指数幂时，应先运用法则 以及负整数指数幂的定义，将nmnaba)(*)(“”它
5、们化为单个的指数幂的乘积形式，再运用法则 即达到化简的目的m.答案 (1)原式= 6842342)(1baba;1286(2)原式= .0.1).0(1. 53423母题迁移 1化简下列各式， ;)()()( 3242323 baba40考点 2 分数指数幂的运算例 2 计算： .)01()42()53( 50解析 原式= 2121)()94560点拨 一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行计算，便于用运算性质进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的母题迁移 2化简下列各式： ;)1()()1(3322aa443zyxzyx;)(2121nm
6、43)(ba考点 3 含指数幂的条件求值例 3 根据下列条件求值：4 / 9(1)已知 的值；23,32321xx求(2)已知 的值aa,求解析 (1)由 两边平方得,321x.71x两边再平方，得 .47又 ,18)(3)1)(2123 xxx 原式= 478(2)由已知得 .122xa 原式= 1)( 22 xxxx aa.1)()1(点拨 本题的解答过程中，灵活处理了化简过程，将已知条件待所求值的代数式比较后选择将已知条件进行处理如(1)或将代数式作变形处理如(2)母题迁移 3已知 求 的值,1a61832a考点 4 指数幂运算的综合问题例 4 化简下面的各式： ;)(11ab;)21(
7、248)( 3334 abab.406)(解析 根据根式与分数指数幂的互化，消去根号以及将负指数幂化为正指数幂等，再利用分数指数幂的运算性质计算、化简(1)方法一：消去负指数后解： .1)(1 baaba方法二：利用运算性质解：5 / 9111)(baab.1方法三：利用倒数的性质解： )()(11abab .)(03323214)(8)( abab3132132 )(4)( 3131321321 .2.)4)( ababa13234062)()1(|32)(621.3点拨 根式的运算一般都转换成分数指数幂计算，当式子中含有根式与分数指数幂时应统一为分数指数幂进行计算，当根式中是具体数字时，要
8、考虑运用配方法计算母题迁移 4已知：对于正整数 a、b、c，满足条件 对于非零实数 x、y、z、w，若,70abc求证：.170wzyxcba zyx16 / 9优化分层测训学业水平溅试1在 中，最大的数是( )12.1,)(,)2(1).(A21.B21).(C1.D中 x 的取值范围是( )432.,( ),23(),.)23,.(C),.(D3已知 则 x=( ),4,032.x7 / 98.A1.B4.3C32.D4将下列根式化为指数形式：； ； .52)1(a53)2(aa)(5化简：;4369)(）;25）a.53416.8)(3bb6化简： 12321xx高考能力测试（测试时间：
9、45 分钟测试满分：100 分）一、选择题（5 分8 =40 分）1对任意实数 a，下列等式正确的是( )3123).(A3121)(aB 5135).(aC 513).(aD2已知 则 的值为( )，xx46.7.9.C1.D3计算 的结果为( )*(84)21(Nnn6.A5.B62.n72).(n4下列结论中，正确命题的个数为( )当 a0 时， 函数 的定义域为 若;)(32a|;an 21)(xy0)73(x);,2(则,10,5ba .1b.A.BC3.D5下列各式中，运算错误的是( )87322)(. aba abaB3223)().(rbC63).( 18.6 的结果是( )4
10、6949.a（）8 / 916.aA8.B4.aC2.aD7计算 的结果是( )21)(.2.2.8化简 的结果是( )32.32yx24.A2.xB3(2.yxC)(2.33xyD二、填空题（5 分4 =20 分）9若 则 ,32xx10 32431yx11 )21()()( 48116212 837270.97103.5.0 75.034031 16)(8()64.(2 21|.|三、解答题（10 分4 =40 分）13.化简： );)()(1210xx;)2(3232.yxyx )(1()()(3 1433 aaa9 / 914.已知函数 5)(,5)( 3131xgxf(1)证明； 满足 并求 的单调区间；,ff )(f(2)分别计算 的值，由此概括出涉及函数 对所有不3)9(2)(4gf 和 )(xgf和等于零的实数 x 都成立的一个等式，并加以证明15.已知 求 的值,41)(2xf)102()(ff )10()3(ff16.设 且,)(,)(1,0 xxagaxfa且 ).(f .4)(,8ygxy(1)求 的值；22)(xg(2)求 的值)(yff
