1、奥数 定义新运算我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即 四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律 已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们 就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、 小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。一、定义1、 定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符
2、号，如：*、 、等来表示的一种运算。（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。2、一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。二、初步例题诠释例 1、 对于任意数 a，b，定义运算“*”： a*b=ab-a-b。求 12*4 的值。分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=124-12-4=48-12-4=32例 2、假设 a b = ( a + b ) b 。求 8 5 。 分析与解：该题的新运算被定义为: a b 等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和
3、，再算后面的商。这里 a 代表数字 8，b 代表数字 5。8 5 = （8 + 5） 5 = 2.6例 3、如果 ab=ab-(a+b)。求 6（92）。分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“”就是一种新的运算符号。6（92）=692-（9+2）=67=67-（6+7）=42-13=29例 4、如果 13=1+11+111；25=2+22+222+2222+22222；82=8+88。求 65。分析与解：仔细观察发现“”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，“”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。65=6+66+666+666
4、6+66666=74070例 5、如果规定 2=123， 3=234， 4=345，计算（ - ） 。2132分析与解：该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为X=（ X-1）X（X+1）。由于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。（ - ）2132= - = - = （1- ）312= （1- ）4431= （1- ）2= 31=例 6、规定 ab=5a+ ab-3b。求（85）X=264 中的未知数。21分析与解：根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可。（85）X=264（58 + 85-35）X=2642145X=2645
5、45+ 45X-3X=264225+ X- =264246X225+ X=26439X=39X=2三、边学边试【例 1】A，B 表示两个数，定义 AB 表示(A+B)2，求(1)(317) 29；(2)(19) 9 6。【分析与解】定义新运算符号“”表示 AB=(A+B)2，即两个数做“”运算就是求这两个数的平均值.如:317=(3+17)2=10，再用 10 与 29 做运算，1029=(10+29) 2=19.5(1)原式=(3+17)2 29 (2)原式=(1+9) 2 9 6=202 29 =59 6=10 29 =(5+9)2 6=(10+29)2 =76=392 =(7+6)2=1
6、9.5 =6.5【试一试】1、A，B 表示两个数，定义 A*B=2A-B.试求:(1)(8.56.9)*5 (2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35)2、设 ab=ab+a-2b ，按此规定计算：（1）81.25 (2)(42.5) 7【例 2】已知 2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702.求:(1)3*3；(2)4*5；(3)若 1*x=123，求 x.【分析与解】观察两个已知等式可以发现， “*”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数。（1）3*3=
7、3+33+333=369（2）4*5=4+44+444+4444+44444=49380（3）提示：因为 1* x=1+11+111+=123所以倒着算：123-1=122 122-11=111 111-111=0即：1+11+111=1*3=123从而可知 x=3【试一试】已知 53=5 67，36=3 45678，按此规定计算：（1） （43）+（62） （2） （32）（43）【例 3】设 AB=2（A+B）-2（AB） ，计算：（1） （124）13； （2）70（184） 。【分析与解】观察已知等式可知：“”定义表示的是两个数和的 2 倍与商的 2 倍的差。如：124=2（12+4
8、）-2（124）=26（1）原式=2（12+4）-2（124） 13=216-23 13=2613=2（26+13 ） -2（2613）=239-22=78-4=74（2）原式=702（18+4）-2（184）=70222-24.5=7035=2(70+35)-2(7035)=206【试一试】1、规定 ab=(a+b)(a-b)，按此规定计算:(1)215 (2)(189) 22、设 a#b=5a-2b，计算：（12.5#8）#19.72 【例 4】小辉用电脑设计了 A，B，C，D 四种装置，将一个数输入一种装置后，会输出另一个数.装置 A:将输入的数加上 5；装置 B:将输入的数除以 2；装
9、置 C:将输入的数减去 4；装置 D:将输入的数乘 3.这些装置可以连接，如果装置 A 后面连接装置 B，就写成 AB，输入 1 后，经过 AB 输出了 3.那么，输入 9，经过 ABCD 输出几 ?【分析与解】ABC D=(9+5)2-43=9所以输出的是 9【试一试】同学们在做这样一个数字游戏:一张带有数字的卡片在 A，B，C，D 四位同学间传递，当传递给 A 时，A 将该数字乘 5 传出，当传递给 B 时，B 将该数字除以2 传出，当传递给 C 时，C 将该数字加 18 传出，当传递给 D 时，D 将该数字减去9 后交给主持人，如果一张卡片经过 A 传递给 B 记为 AB，那么一张带有
10、18 的数字卡片，经过 ABCD 的传递后交给主持人时卡片上的数字是多少?【理一理】新定义运算注意的问题:(1)新定义运算一般不满足运算定律如:a bb a a(bc) (ab) c(a*b) c(ac)*(b c)(2)“+”“-”“”“”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序.四、练一练1、规定 a*b=4a-3b，计算：（1.5*0.8）*0.5 2、设 a，b 都表示自然数，规定 ab=3a+b2，计算：（1）56 （2）65（3）2（35） （4） （23）53、规定 3*5=3+4+5+6+7，5*4=5+6+7+8 ，按此规定计算： 11*54、如果 1=1！， 12=2！，
11、 123=3！，1 23499100=100！那么 1！+2 ！+3！+4！+ +100！的个位数字是几？5、狼和羊在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号“”表示：羊羊=羊；羊狼= 狼；狼狼=狼。以上运算的意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了，小朋友总是希望羊能战胜狼。所以我们规定另一种运算，用符号“”表示：羊羊=羊，羊狼= 羊，狼羊=羊，狼狼=狼。这个运算的意思是羊和羊在一起还是羊，狼和狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而剩下羊了。对羊和狼，可以用上面规定的运算做混合运算，混合运算的法则是从左到右，先算括号内的，运算的结果或是羊，或是狼。求下列结果：羊（狼羊）羊（狼狼）
