1、有限域 GF（2n）运算在研究的数字电路系统中，如加解密算法、信道编码和数字信号处理等领域会涉及近似代数的相关理论，如群伦、Galois 域等基础知识。同时我们引入概念，域。一个域是一组元素的集合，它可以在集合中完成加减乘除等四则运算。加法和乘法必须满足交换、结合和分配的规律。给定一个集合 G，在其上定于了一个二元运算 *。交换：对于 G 中任意的元素 a 和 b，满足 a*b=b*a，则 G 称为交换群（Abel 群）结合：二元运算*具有结合性，即对任何 a,b,c 属于 G，a*(b*c)=(a*b)*c.分配：对于 F 域中任意三个元素 a,b,c，有 a*(b+c)=a*b+a*c;域
2、中元素的个数称为域的阶（order），此时该域的阶为 3.有限域多项式：GF(2)=x6+x4+x2+x+1 等价于比特串 01010111，即 16 进制表示的 57。1、有限域加法多项式之和等于先对具有相同 x 次幂的系数求和，然后各项再相加。而各系数求和是在域 F 中进行的；c(x)=a(x)+b(x) 等价于 ci=ai+bi 2、有限域乘法多项式乘法关于多项式加法满足结合律、交换律和分配律。单元元素为 x0 项的系数等于1 和 0 次多项式。为使乘法运算在 F 域上具有封闭性，选取一个 1 次多项式 m(x),当多项式a（x）和 b(x)的乘积定义为模多项式 m(x)下的多项式乘积：
3、C(x)=a(x).b(x)等价于 c(x)恒=a(x)*b(x) (mod m(x)二进制域 GF（2）在编码理论扮演重要的角色，而在数字计算机和数据传输或是存储系统中同样得到了普遍的运用。在多项式表达中，有限域 28 内的乘法就是乘法所得到的结果经一个不可约简的 8 次二进制多项式取模后的结果。不可约简的多项式是指多项式除了它本身和 1 以外没有其他的因式。Rijndael 中这个多项式被命名为 m（x），定义如下：m(x)=x8+x4+x3+x+1(b7b6b5b4b3b2b1b0)* 01 = （b7b6b5b4b3b2b1b0）(b7b6b5b4b3b2b1b0)* 02 = （b6
4、b5b4b3b2b1b00）+(000b7b70b7b7)(b7b6b5b4b3b2b1b0)* 03 = （b7b6b5b4b3b2b1b0）* 01+ (b7b6b5b4b3b2b1b0)* 02记为 xtime（）。乘以一个高于一次的多项式可以通过反复使用 xtime（）操作，然后将多个中间结果相加的方法来实现。有限域上的乘法（全面理解）对于有限域 GF(256),可以先计算出其乘法表。 在 GF(256)中，加法就是异或运算，任意一个元素都可以表示成 GF(2) 上的一个最多 7 次的多项式， 所以 0=000 就是 0 1=001 就是 1 2=0010 就是 x+0=x 3=001
5、1 就是 x+1 4=00100 就是 x2 然后对于两个变量 u,v 可以先计算两个对应多项式的乘积（需要注意的是加法是模 2 的，或者说是异或运算）， 比如 3*7=(x+1)*(x2+x+1)=x*x2+x*x+x+x2+x+1=x3+1 (模 2 运算中 x+x=0 and x2+x2=0) 所以 3*7=9 在乘积得出来的多项式次数大于 7 时，我们需要对多项式在 GF(2)上关于 h(x)求余数，也就是 129*5=(x7+1)*(x2+1)=x9+x7+x2+1 将上面的函数加上 x*h(x)可以消去 x9,这里的 h(x)是既约多项式x8+x4+x3+x2+1，（其实就是手工除法过程，只是现在每一次商总是 0 或 1），所以 129*5=x9+x7+x2+1+x9+x5+x4+x3+x=x7+x5+x4+x3+x2+x+1 =0010111111=191 在得出乘法表以后，我们可以很快的从表格中对于每一个元素找到它的逆，于是逆运算也有了，除法就可以分解为乘法和逆运算。 有了加乘逆以后（对于 GF(2n)减法同加法没有分别） 就可以使用手工除法了
