1、原码，反码，补码及运算一、定义1原码正数的符号位为 0，负数的符号位为 1，其它位按照一般的方法来表示数的绝对值。用这样的表示方法得到的就是数的原码。【例 2.13】当机器字长为 8 位二进制数时：X1011011 X原码01011011Y1011011 Y原码110110111原码00000001 1 原码10000001127原码01111111 127原码11111111原码表示的整数范围是：（2n-11）（2n-11） ，其中 n 为机器字长。则：8 位二进制原码表示的整数范围是12712716 位二进制原码表示的整数范围是32767327672反码 对于一个带符号的数来说，正数的反码
2、与其原码相同，负数的反码为其原码除符号位以外的各位按位取反。【例 2.14】当机器字长为 8 位二进制数时： X1011011 X原码01011011 X反码01011011Y1011011 Y原码11011011 Y反码101001001 反码00000001 1 反码11111110127 反码01111111 127 反码10000000负数的反码与负数的原码有很大的区别，反码通常用作求补码过程中的中间形式。 反码表示的整数范围与原码相同。3补码正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加 1。引入补码以后，计算机中的加减运算都可以统一化为补码的加法运算，其符号位也参与运算。【例
3、 2.15】 （1）X1011011 （2） Y1011011 （1）根据定义有： X原码01011011 X补码01011011（2） 根据定义有： Y原码11011011 Y反码10100100 Y补码 10100101补码表示的整数范围是2n-1（2n-11） ，其中 n 为机器字长。则：8 位二进制补码表示的整数范围是128127（-128 表示为 10000000，无对应的原码和反码）16 位二进制补码表示的整数范围是3276832767当运算结果超出这个范围时，就不能正确表示数了，此时称为溢出。所以补码的设计目的是: 使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则. 使减法运
4、算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计 4补码与真值之间的转换 正数补码的真值等于补码的本身；负数补码转换为其真值时，将负数补码按位求反，末位加 1，即可得到该负数补码对应的真值的绝对值。【例 2.16】X 补码01011001B，X补码11011001B，分别求其真值 X。（1）X补码代表的数是正数，其真值：X1011001B（126124123120）（641681）（89）D（2）X补码代表的数是负数，则真值：X（1011001 求反1）B（01001101）B（0100111）B（125122121120）（32421）（39）D二、补码加、减运算规则1、运算规则XY补=
5、 X 补 Y补XY补= X 补 Y补若已知Y补，求 Y补的方法是：将 Y补的各位（包括符号位）逐位取反再在最低位加 1 即可。例如：Y补= 101101 Y 补= 0100112、溢出判断，一般用双符号位进行判断：符号位 00 表示正数 11 表示负数结果的符号位为 01 时，称为上溢；为 10 时，称为下溢例题：设 x=0.1101，y= 0.0111，符号位为双符号位用补码求 x+y，xy x补+y补=00 1101+11 1001=00 0110 xy补=x补+ y 补=00 1101+00 0111=01 0100结果错误，正溢出数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别 0 和
6、1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制. 数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0 为正,1 为负). 这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为 8.即字长为 1byte,原码能表示数值的范围为 (-127-0 +0127)共 256 个. 有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为 8bits ( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10 (00000001)原 + (10000001)原 = (100000
7、10)原 = ( -2 ) 显然不正确. 因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算: ( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10 (00000001) 反+ (11111110) 反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有问题. ( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10 (00000001) 反+ (11111101) 反 = (111
8、11110)反 = ( -1 ) 正确 问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大). 于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为: (-1280127)共 256 个. 注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000) 补码的加减运算如下 : ( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )1
9、0 (00000001)补 + (11111111)补 = (00000000)补 = ( 0 ) 正确 ( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10 (00000001) 补+ (11111110) 补= (11111111)补 = ( -1 ) 正确 所以补码的设计目的是: 使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则. 使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计 所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C 等其他高级语言中使用的都是原码。看了上面这些你应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧在
10、计算机内，定点数有 3 种表示法：原码、反码和补码所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法，即最高位为符号位， “0”表示正， “1”表示负，其余位表示数值的大小。 反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加 1。1、原码、反码和补码的表示方法（1） 原码：在数值前直接加一符号位的表示法。例如： 符号位 数值位+7原= 0 0000111 B-7原= 1 0000111 B注意：a. 数 0 的原码有两种形式：+0原=00000000B -0原=10000000Bb. 8 位二进制原码
11、的表示范围：-127+127（2）反码：正数：正数的反码与原码相同。负数：负数的反码，符号位为“1” ，数值部分按位取反。例如： 符号位 数值位+7反= 0 0000111 B-7反= 1 1111000 B注意：a. 数 0 的反码也有两种形式，即+0反=00000000B- 0反=11111111Bb. 8 位二进制反码的表示范围：-127+127（3）补码的表示方法1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以 12 进制进行计数循环的，即以 12 为模。在时钟上，时针加上（正拨）12 的整数位或减去（反拨）12 的整数位，时针的位置不变。14 点钟在舍去模 12 后，成为（
12、下午）2 点钟（14=14-12=2） 。从 0 点出发逆时针拨 10 格即减去 10 小时，也可看成从 0点出发顺时针拨 2 格（加上 2 小时） ，即 2 点（0-10=-10=-10+12=2） 。因此，在模 12 的前提下，-10 可映射为+2。由此可见，对于一个模数为 12 的循环系统来说，加 2 和减 10 的效果是一样的；因此，在以 12为模的系统中，凡是减 10 的运算都可以用加 2 来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法） 。10 和 2 对模 12 而言互为补数。同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字
13、长的限制（假设字长为 8） ，因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满 8 位也就是 256 个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8 位二进制数，它的模数为 28=256。在计算中，两个互补的数称为“补码” 。2）补码的表示：正数：正数的补码和原码相同。负数：负数的补码则是符号位为“1” ，数值部分按位取反后再在末位（最低位）加 1。也就是“反码+1”。例如： 符号位 数值位+7补= 0 0000111 B-7补= 1 1111001 B补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意：a. 采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。正数的补码
14、即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算，所得结果仍为补码。b. 与原码、反码不同，数值 0 的补码只有一个，即 0补=00000000B。c. 若字长为 8 位，则补码所表示的范围为-128+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。2原码、反码和补码之间的转换由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。在此，仅以负数情况分析。（1） 已知原码，求补码。例：已知某数 X 的原码为 10110100B，试求 X 的补码和反码。解：由X原=10110100B 知，X 为负数。求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反
15、；求其补码时，再在其反码的末位加 1。1 0 1 1 0 1 0 0 原码1 1 0 0 1 0 1 1 反码，符号位不变，数值位取反1 +11 1 0 0 1 1 0 0 补码故：X补=11001100B，X 反=11001011B。（2） 已知补码，求原码。分析：按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减 1，然后取反。但是对二进制数来说，先减 1 后取反和先取反后加 1 得到的结果是一样的，故仍可采用取反加 1 有方法。例：已知某数 X 的补码 11101110B，试求其原码。解：由X补=11101110B 知，X 为负数。求其原码表示时，符号位不变，数值部分按位求反，再在末位加1。1
16、 1 1 0 1 1 1 0 补码1 0 0 1 0 0 0 1 符号位不变，数值位取反1 +11 0 0 1 0 0 1 0 原码132 有符号数运算时的溢出问题请大家来做两个题目：两正数相加怎么变成了负数？1） （+72）+（+98 ）= ？0 1 0 0 1 0 0 0 B +72+ 0 1 1 0 0 0 1 0 B +981 0 1 0 1 0 1 0 B -42两负数相加怎么会得出正数？2） （-83）+ （-80）=？1 0 1 0 1 1 0 1 B -83+ 1 0 1 1 0 0 0 0 B -800 1 0 1 1 1 0 1 B +93思考：这两个题目，按照正常的法则来
17、运算，但结果显然不正确，这是怎么回事呢？答案：这是因为发生了溢出。如果计算机的字长为 n 位，n 位二进制数的最高位为符号位，其余 n-1 位为数值位，采用补码表示法时，可表示的数 X 的范围是 -2n-1X2n-1-1当 n=8 时，可表示的有符号数的范围为-128 +127。两个有符号数进行加法运算时，如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。很显然，溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。对于加法运算，如果次高位（数值部分最高位）形成进位加入最高位，而最高位（符号位）相加（包括次高位的进位）却没有进位输出时，或者反过来，次高位没有进位加入最
18、高位，但最高位却有进位输出时，都将发生溢出。因为这两种情况是：两个正数相加，结果超出了范围，形式上变成了负数；两负数相加，结果超出了范围，形式上变成了正数。而对于减法运算，当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位（正数减负数，差超出范围） ，或者反过来，次高位需从最高位借位，但最高位不需借位（负数减正数，差超出范围） ，也会出现溢出。在计算机中，数据是以补码的形式存储的，所以补码在 c 语言的教学中有比较重要的地位，而讲解补码必须涉及到原码、反码。本部分演示作何一个整数的原码、反码、补码。过程与结果显示在列表框中，结果比较少，不必自动清除，而过程是相同的，没有必要清除。故需设清除各部分及清除
19、全部的按钮。测试时注意最大、最小正负数。用户使用时注意讲解不会溢出：当有一个数的反码的全部位是 1 才会溢出，那么它的原码是 10000.，它不是负数，故不会溢出。 在 n 位的机器数中，最高位为符号位，该位为零表示为正，为一表示为负；其余 n-1 位为数值位，各位的值可为零或一。当真值为正时，原码、反码、补码数值位完全相同；当真值为负时，原码的数值位保持原样，反码的数值位是原码数值位的各位取反，补码则是反码的最低位加一。注意符号位不变。总结：提示信息不要太少，可“某某数的反码是某某” ，而不是只显示数值。原码、反码和补码 一、原码 求原码：X0，则符号位为 0，其余照抄； X0，则符号位为
20、1，其余照抄。 【例 1】X=+1001001 X原 = 01001001 【例 2】X=-1001001 X原 = 11001001 二、反码 求反码：若 X0，符号位为 0，其余照抄； 若 X0，符号位为 1，其余按位取反。 【例 3】X=+1001001 X反 = 01001001 【例 4】X=-1001001 X反 = 10110110 三、补码 求补码：若 X0，符号位为 0，其余照抄； 若 X0，符号位为 1，其余取反后，最低位加 1。 【例 5】X=+1001001 X补 = 01001001 【例 6】X=-1001001 X补 = 10110111 四、补码加减法 计算机中
21、实际上只有加法，减法运算转换成加法运算进行，乘法运算转换成加法运算进行，除法运算转换成减法运算进行。用补码可以很方便的进行这种运算。 1、补码加法 X+Y补 = X补 + Y补 【例 7】X=+0110011,Y=-0101001，求X+Y补 X补=00110011 Y补=11010111 X+Y补 = X补 + Y补 = 00110011+11010111=00001010 注：因为计算机中运算器的位长是固定的，上述运算中产生的最高位进位将丢掉，所以结果不是 100001010，而是 00001010。 2、补码减法 X-Y补 = X补 - Y补 = X补 + -Y补 其中-Y 补称为负补，
22、求负补的方法是：对补码的每一位（包括符号位）求反，最后末位加“1” 。 【例 8】X=+0111001,Y=+1001101 ，求X-Y补 X补=00111001 Y补=01001101 -Y补 = 10110011 X-Y补 = X补 + -Y补 = 00111001+10110011=11101100 五、数的表示范围 通过上面的学习，我们就可以知道计算机如果用一个字节表示一个整数的时候，如果是无符号数，可以表示 0255 共 256 个数（0000000011111111） ，如果是有符号数则能表示-128127 共 256 个数（1000000001111111） 。如果两个字节表示一
23、个整数，则共有 65536 个数可以表示，大部分程序设计语言中整数的范围都是-3276832767 的原因，可以看出这种整数类型是 16 位的有符号数，而且是补码表示的。 正数的反码和补码都是和原码相同。 为什么要设立补码呢？ 第一是为了能让计算机执行减法： a-b补=a 补+（-b）补 第二个原因是为了统一正 0 和负 0 正零：00000000 负零：10000000 这两个数其实都是 0，但他们的原码却有不同的表示。 但是他们的补码是一样的，都是 00000000 特别注意，如果+1 之后有进位的，要一直往前进位，包括符号位！（这和反码是不同的！） 10000000补 =10000000反+1 =11111111+1 =(1)00000000 =00000000(最高位溢出了，符号位变成了 0） 有人会问 10000000 这个补码表示的哪个数的补码呢？ 其实这是一个规定，这个数表示的是-128 所以 n 位补码能表示的范围是 -2(n-1)到 2(n-1)-1 比 n 位原码能表示的数多一个
