1、 个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司1学生： 科目：数学 教师： 第 阶段第 次课 2013 年 月 日 课 题：对数及运算授课内容：（一）对数1对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，Nax)1,0(axaN记作： （ 底数， 真数， 对数式）xalog Nalog说明： 注意底数的限制 ，且 ； 1； 2 xNaxl注意对数的书写格式 3 alog两个重要对数：常用对数：以 10 为底的对数 ； 1 Nl自然对数：以无理数 为底的对数的对数 2 7182.e Nln指数式与对数式的互化 N bbaloga（二）对数的运算性质如果 ，且 ， ， ，那么：0a10M ；
2、1 (log)alogal ； 2 NalalNal 3naMlog)(Rn注意：换底公式（ ，且 ； ，且 ； ） abcalogl 01a0c10b利用换底公式推导下面的结论（1） ；（ 2） bmnaaloglabalogl（四）例 题个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司2例 1、设 a， b，c 都是正数，且 3a=4b=6c，那么（ ）A、 = + B、 = + C、 = + D、 = +111 221 122 212解：由 a，b， c 都是正数，且 3a=4b=6c=M，则 a=log3M，b=log 4M，c=log 6M例 2、若 a 1，b1，p= ，则 ap 等于（ ）
3、（ ）A、1 B、b C、log ba D、a logba解：由对数的换底公式可以得出 p= =loga（log ba） ， 因此，a p 等于（ ）logba例 3、设 x= + ，则 x 属于区间（ ）（ 1213） 1（ 1513） 1A、 （2，1） B、 （1，2） C、 （ 3，2） D、 （2，3）解：由题意，x= + = + = ；（ 1213） 1（ 1513） 11213151311013函数 y= 在定义域上是减函数，且 ， 2x313 127 110 19例 4、若 32x+9=103x，那么 x2+1 的值为（ ）A、1 B、2 C、5 D、1 或 5分析：由题意可令
4、 3x=t， （ t0） ，原方程转化为二次方程，解出在代入 x2+1 中求值即可选 D例 5、已知 2lg（x2y）=lgx+lgy，则 的值为（ ）个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司3A、1 B、4 C、 D、 或 414 14解：2lg （x2y）=lg （x2y） 2=lg（xy） ，x2+4y24xy=xy （x y） （x4y）=0 x=y（舍）或 x=4y =4例 6、方程 log2（x+4）=2 x 的根的情况是（ ）A、仅有一根 B、有两个正根 C、有一正根和一个负根 D、有两个负根专题：数形结合。例 7、如果方程 lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7lg5=0 的
5、两根为 、，则 的值是（ ）A、lg7lg5 B、lg35 C、35 D、135分析：由题意知，lg，lg 是一元二次方程 x2+（lg7+lg5）x+lg7lg5=0 的两根，依据根与系数的关系得 lg+lg=（lg7+lg5） ，再根据对数的运算性质可求得 的值 的值是 135例 8、 （3+2 ）= 2 ；log 89log2732= ；（lg5） 2+lg2lg50= 1 （ 21） 2 109个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司4解： = = ，所以3+22（ 2+1）2（ 21） 2=2；（ 21） 3+22=（ 21） （ 21） 2log89log2732= =983227=
6、23325233109（lg5） 2+lg2lg50=（lg5） 2+lg lg510=（lg5） 2+（1lg5 ） （1+lg5）=1 105故答案为：2； ；1109例 9、方程（4 x+4x）2（2 x+2x）+2=0 的解集是 0 解：令 t=2x+2x0，则 4x+4x=t22原方程可以变为 t22t=0，故 t=2，或者 t=0（舍） 故有 2x+2x=2 即（2 x） 222x+1=0（2 x1） 2=0 2x=1 即 x=0例 10、若 、 是方程 lg2xlgx22=0 的两根，求 log+log 的值分析：利用对数的原式法则化简方程；将方程看成关于 lgx 的二次方程，利
7、用根与系数的关系得 lg+lg=2，lglg=2；利用换底公式将待求的式子用以 10 为底的对数表示，将得到的等式代入求出值解：原方程等价于 lg2x2lgx2=0 ， 是方程的两个根所以 lg+lg=2，lglg=2所以 =+=+（ +） 2=4+22 =3-4即 log+log=3个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司5例 11、解关于 x 的方程（1）log （x+a ） 2x=2（2）log 4（3x）+log 0.25（3+x）=log 4（1 x）+log 0.25（2x+1） ；（3） + =6；（ 3+22）（ 322） （4） lg（ax 1）lg（x3）=1（1）要注意对数
8、式与指数式的转化关系；（2）利用对数运算性质进行转化变形；（3）注意到两项的联系，利用整体思想先求出整体，进一步求出方程的根；（4）利用对数的运算性质进行转化与变形是解决本题的关键注意对字母的讨论解：（1）该方程可变形为 2x=（x+a） 2，即 x=1a （当 a 时） ，当 x=1a1212时，x+a=1 0，故舍去因此该方程的根为 x=1a+ （当 a 时） ，12 12 1212当 a 时，原方程无根12（2）该方程可变形为 log4 =log4 ，即 ，整理得33+ 12+1 33+= 12+1x27x=0，解出 x=0 或者 x=7（不满足真数大于 0，舍去） 故该方程的根为 x=
9、0（3）该方程变形为 =6，即（ （ 2+1）2） +（ （ 21） 2） ，令 ，则可得出 t+ ，（ 2+1）+（ 21） =6 =（ 2+1） 1=6解得 t=32 = ，因此 x=2该方程的根为22（ 21）2个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司6（4）原方程等价于 ，由 得出 ax1=10x30，该方程当 a=10 时1 03 013=1013=10没有根，当 a10 时，x= ，要使得是原方程的根，需满足 ax10，且 x30解2910出 a（ ，10） 因此当 a（ ，10）时，原方程的根为 x= ，当 a（， 13 13 2910 1310，+）时，原方程无根例 12、若方程
10、 log2（x+3）log 4x2=a 的根在（3，4）内，求 a 的取值范围分析：应用对数的运算性质，log 4x2=log2x，将方程变形，转化为求函数 a=的值域，通过 的取值范围，确定 a 的取值范围+32 3解：3 x4，方程即：log 2（x+3）log 2x=a， =a+32 =1 ， 1， 01 ， a23 3 343 314例 13、已知 a0，a1，试求使方程 有解的 k（ ） =2（ 22）的取值范围解：由对数函数的性质可知，个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司7原方程的解 x 应满足（ ） 2=22，（ 1） 0，（ 2）22 0（ 3） 当（1） ， （2）同时成立
11、时， （3）显然成立，因此只需解（ ） 2=22，（ 1） 0，（ 2）由（1）得 2kx=a（1+k 2） （4）当 k=0 时，由 a0 知（4）无解，因而原方程无解当 k0 时， （4）的解是=1（ 1+2）2 （ 5）把（5）代入（2） ，得1+22 .解得：k1 或 0k 1综合得，当 k 在集合（，1） （0，1）内取值时，原方程有解个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司8三、学生对于本次课的评价： 特别满意 满意 一般 差学生签字：四、教师评定：1、 学生上次作业评价： 好 较好 一般 差2、 学生本次上课情况评价： 好 较好 一般 差教师签字：教研组签字： 教务处签字： 教务处
12、盖章练 习1、 的值是（ ）8923A、 B、1 C、 D、223 322、设 a，b，c 都是正数，且 3a=4b=6c，那么（ ）A、 = + B、 = + C、 = + D、 = +111 221 122 2123、若 32x+9=103x，那么 x2+1 的值为（ ）A、1 B、2 C、5 D、1 或 54、已知 2lg（x2y）=lgx+lgy ，则 的值为（ ）个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司9A、1 B、4 C、 D、 或 414 145、方程 log2（x+4 ）=2 x 的根的情况是（ ）A、仅有一根 B、有两个正根 C、有一正根和一个负根 D、有两个负根6、 （2 n
13、+1） 222n14n= _ ； = _ ； = _ 2120.31 0.25587、 （3+2 ） = _ ；log 89log2732= _ ；（lg5） 2+lg2lg50= （ 21） 2_ 8、方程（4 x+4x）2（2 x+2x）+2=0 的解集是 _ 9、方程 xlgx=10 的所有实数根之积是 _ 10、解下列方程（1）log x+2（4x+5） log4x+5（x 2+4x+4） 1=0；（2）3 2x+5=53x+2+2；11、若方程 log2（x+3 ） log4x2=a 的根在（3，4）内，求 a 的取值范围个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司102、设 a，b，c
14、都是正数，且 3a=4b=6c，那么（ ）A、 = + B、 = + C、 = + D、 = +111 221 122 212解：由 a，b，c 都是正数，且 3a=4b=6c=M，则 a=log3M，b=log 4M，c=log 6M3、若 a1，b1，p= ，则 ap 等于（ ）（ ）A、1 B、b C、log ba D、a logba解答：解：由对数的换底公式可以得出 p= =loga（log ba） ，（ ）因此，a p 等于 logba故选 C4、设 x= + ，（ 1213） 1（ 1513） 1 则 x 属于区间（ ）个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司11A、 （2，1） B
15、、 （1 ，2） C、 （3，2） D、 （2，3）解答：解：由题意，x= + = + = ；（ 1213） 1（ 1513） 11213151311013函数 y= 在定义域上是减函数，且 ，13 127 110 192 x 3故选 D5、若 32x+9=103x，那么 x2+1 的值为（ ）A、1 B、2 C、5 D、1 或 5分析：由题意可令 3x=t， （t0） ，原方程转化为二次方程，解出在代入 x2+1 中求值即可选 D6、已知 2lg（x2y）=lgx+lgy ，则 的值为（ ）A、1 B、4 C、 D、 或 414 14解答：解：2lg （x 2y）=lg（x2y） 2=lg（
16、xy） ，x2+4y24xy=xy（ xy） （x4y）=0x=y（舍）或 x=4y =14选 C7、方程 log2（x+4 ）=2 x 的根的情况是（ ）A、仅有一根 B、有两个正根 C、有一正根和一个负根 D、有两个负根专题：数形结合。个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司12选 C8、如果方程 lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7lg5=0 的两根为 、，则 的值是（ ）A、lg7lg5 B、lg35 C、35 D、135分析：由题意知，lg，lg 是一元二次方程 x2+（lg7+lg5 ）x+lg7lg5=0 的两根，依据根与系数的关系得 lg+lg=（lg7+lg5） ，再根据
17、对数的运算性质可求得 的值 的值是 选 D1359、 （2 n+1） 222n14n= 212n ； = ； = 2120.31 53 0.2558 310分析：利用有理指数幂的运算化简（2 n+1） 222n14n，用对数性质化简后两个代数式解答：解：（2 n+1） 222n14n=22n+22n12n=212n；2120.31=210321=2532=530.2558=23522=310个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司13故答案为：212， 53， 310.10、 （3+2 ）= 2 ；log 89log2732= ；（lg5） 2+lg2lg50= 1 （ 21） 2 109解答：
18、解： = = ，所以3+22（ 2+1）2（ 21） 2=2；（ 21） 3+22=（ 21） （ 21） 2log89log2732= =983227=23325233109（lg5） 2+lg2lg50=（lg5） 2+lg lg510=（lg5） 2+（1lg5） （1+lg5）=1105故答案为：2； ；110912、方程（4 x+4x）2（2 x+2x）+2=0 的解集是 0 解答：解：令 t=2x+2x0，则 4x+4x=t22原方程可以变为 t22t=0，故 t=2，或者 t=0（舍）故有 2x+2x=2 即（2 x） 222x+1=0（ 2x1） 2=02x=1 即 x=0故方
19、程的解集为013、方程 xlgx=10 的所有实数根之积是 1 解答：解：方程 xlgx=10 的两边取常用对数，可得 lg2x=1， lgx=1，所以 x=10 或 x=110实数根之积为 1个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司14故答案为：114、不查表，求值：lg5lg +lg2 3log321= 3 2 2分析：根据对数运算法则且 lg5=1lg2，可直接得到答案解答：解：lg5 lg +lg2 3log3212 2=1lg2 lg2+ lg222=012 32故答案为：015、不查表求值： + 102+lg2= 190 223（ 2+3） （ 32） 2解答：解：+ +102+lg
20、2= 2 1022=92200=193223（ 2+3） （ 32） 2 23222（ 2+3） 1（ 2+3）故答案为19316、 （1）已知 log310=a，log 625=b，试用 a，b 表示 log445（2）已知 log627=a，试用 a 表示 log1816分析：（1）先用换底公式用 a 表示 lg3，再用换底公式化简 log625=b，把 lg3 代入求出 lg2，再化简 log445，把 lg3、lg2 的表达式代入即可用 a，b 表示 log445（2）先用换底公式化简 log1816，由条件求出 lg3，再把它代入化简后的 log1816 的式子17、化简： + 12
21、3+13+1+113+113131个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司15解答：解： + = +123+13+1+113+113131（ 131）（ 23+13+1）23+13+1（ 13+1）（ 2313+1）13+113（ 13+1）（ 131）131=131+2313+12313=1318、若 、 是方程 lg2xlgx22=0 的两根，求 log+log 的值分析：利用对数的原式法则化简方程；将方程看成关于 lgx 的二次方程，利用根与系数的关系得lg+lg=2，lglg= 2；利用换底公式将待求的式子用以 10 为底的对数表示，将得到的等式代入求出值解答：解：原方程等价于 lg2x
22、2lgx2=0， 是方程的两个根所以 lg+lg=2，lglg= 2所以 =+=+（ +） 2=4+22 =3个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司16即 log+log=319、解下列方程（1）log x+2（4x+5） log4x+5（x 2+4x+4） 1=0；（2）3 2x+5=53x+2+2；考点：对数的运算性质；有理数指数幂的运算性质。分析：（1）应用对数换底公式，换元法，解一元二次方程，然后还原对数解答即可（2）直接换元，解一元二次方程，然后再解指数方程即可解答：解：（1）log x+2（4x+5）log 4x+5（x 2+4x+4） 1=0化为 logx+2（4x+5） 2lo
23、gx+2（4x+5） 11=0令 t=logx+2（4x+5）上式化为：21=0即 22=0解得 =1， =2当 logx+2（4x+5）= 1 时解得 x=1 或 x= 都不符合题意，舍去94当 logx+2（4x+5）=2 时有 x2=1，解得 x=1（舍去） ，x=1（2）3 2x+5=53x+2+2令 t=3x+2 上式化为 3t25t2=0 解得 t= （舍去） ，t=213即 3x+2=2 x+2=log32所以 x=232=29320、解关于 x 的方程（1）log （x+a） 2x=2（2）log 4（3x）+log 0.25（3+x）=log 4（1 x）+log 0.25（
24、2x+1） ；个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司17（3） + =6；（ 3+22）（ 322） （4） lg（ax1）lg（x 3）=1（1）要注意对数式与指数式的转化关系；（2）利用对数运算性质进行转化变形；（3）注意到两项的联系，利用整体思想先求出整体，进一步求出方程的根；（4）利用对数的运算性质进行转化与变形是解决本题的关键注意对字母的讨论解答：解：（1）该方程可变形为 2x=（x+a） 2，即 x=1a （当 a 时） ，当 x=1a12 12时，x+a=1 0，故舍去因此该方程的根为 x=1a+ （当 a 时） ，当 a12 12 12 12时，原方程无根12（2）该方程可变形
25、为 log4 =log4 ，即 ，整理得 x27x=0，解33+ 12+1 33+= 12+1出 x=0 或者 x=7（不满足真数大于 0，舍去） 故该方程的根为 x=0（3）该方程变形为 =6，即（ （ 2+1）2） +（ （ 21） 2） ，令 ，则可得出 t+ ，解（ 2+1）+（ 21） =6 =（ 2+1） 1=6得 t=32 = ，因此 x=2该方程的根为 22（ 21）2个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司18（4）原方程等价于 ，由 得出 ax1=10x30，该方程当 a=10 时没有根，1 03 013=1013=10当 a10 时，x= ，要使得是原方程的根，需满足 ax
26、10，且 x30解出 a（ ，10） 因2910 13此当 a（ ， 10）时，原方程的根为 x= ，当 a（ ， 10，+）时，原方程无根13 2910 1321、若方程 log2（x+3 ） log4x2=a 的根在（3，4）内，求 a 的取值范围分析：应用对数的运算性质，log 4x2=log2x，将方程变形，转化为求函数 a= 的值域，通+32过 的取值范围，确定 a 的取值范围3解答：解：3x4，方程即：log 2（x+3）log 2x=a，=a+32 =1 ，3 3 1，3430 1 ，314个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司19 a222、已知 a0，a1 ，试求使方程 有解的 k 的取值范（ ） =2（ 22）围解答：解：由对数函数的性质可知，原方程的解 x 应满足（ ） 2=22，（ 1） 0，（ 2）22 0（ 3） 当（1） ， （2）同时成立时， （3）显然成立，因此只需解（ ） 2=22，（ 1） 0，（ 2）由（1）得 2kx=a（1+k 2） （4）当 k=0 时，由 a0 知（4）无解，因而原方程无解当 k0 时， （4）的解是=1（ 1+2）2 （ 5）把（5）代入（2） ，得1+22 .解得：k 1 或 0k1综合得，当 k 在集合（， 1） （0，1）内取值时，原方程有解
