1、图像变换的目的 离散傅里叶变换定义、性质 离散余弦变换的定义、性质,一、积分变换,目：的 简化问题的分析 求解问题的一般过程: 1）将原问题变为较易求解的问题 2）在原问题的频域解决问题 3）应用反变换，将频域内的解转化为原问题的解连续函数的傅里叶变换波形分析理论分析离散傅里叶变换数学方法与计算机技术联系理论/实用价值,第四章 图像变换,傅里叶变换有两个好处：1）可以得出信号在各个频率点上的强度。2）可以将卷积运算化为乘积运算。,（一） 一维傅里叶变换,1. 一维连续函数的傅里叶变换（FT）,定义：若函数f（x）满足狄里赫赖条件：1）具有有限个间断点；2）具有有限个极值点；3）绝对可积 则把变
2、换称为：,傅里叶正变换：,傅里叶反变换：,二、傅里叶变换,傅里叶变换对：F(u) f（x）,2. 一维离散傅里叶变换（DFT）,傅里叶正变换：,傅里叶反变换：,定义: 若f(x,y)是连续图像函数,正变换:,反变换:,变换对:,（二） 二维傅里叶变换,2. 二维离散傅里叶变换（2D DFT）,定义: 若f(x,y)是离散图像函数,正变换:,反变换:,一般F(u,v)是复函数,即:,幅度谱:,相位谱:,能量谱:,3. 二维傅里叶变换的幅度谱、相位谱、能量谱,f(x,y),x,y,0,X,Y,A,X,Y,(0,0),图像屏幕显示,函数 f(x，y)=,A , 0 x X, 0 y Y,0 , 其他
3、,求F(u,v)。,4. 二维傅里叶变换举例,；代入函数,；分离变量,；查积分表,；欧拉 公式,1. 可分离性,正变换,（三） 二维连续傅里叶变换的性质,同样，反变换也具有可分离性,利用二维傅里叶变换的可分离性，可将二维DFT转化成一维DFT计算。即，先在x（或y）方向进行一维DFT，再在y（或x）方向进行一维DFT：,第一步：,第二步：,可分离性举例,用下式求反变换，与正变换使用同一流程：,2. 平移性,FT,则：,即：,移中性,同理：,移中性的用途：图像作傅立叶变换时，若采用以下公式变换，则变换后主要能量（低频分量）集中在频率平面的中心。,问题：采用上述公式变换，变换后主要能量（低频分量）
4、集中在频率平面的中心。为什么？F（u，v）的主要能量分布在频率平面的什么位置？,3. 周期性,非周期性离散函数的FT是离散的周期性函数,4. 旋转性,当变量x，y，u，v都用极坐标表示时，即：,则：,若：,此式含义是：当原图像旋转某一角度时，FT后的图像也旋转同一角度。,旋转性举例：,原图像及其傅立叶幅度谱图像,原图像旋转45，其幅度谱图像也旋转45 ,5. 二维函数的卷积定理,若：,则：,6. 二维函数的相关定理,若：,则：,（四）离散傅立叶变换的矩阵表示,目的:（1）用矩阵乘法的程序进行FT；（2）理论推导用。,1. 一维DFT的矩阵表示,根据定义:,令:,则:,展开:,令:,正变换:,2
5、. 二维DFT的矩阵表示,根据可分离性：,FT：,IFT：,（忽略1/N）,（五） 二维傅里叶变换的应用,1.傅里叶变换在图像滤波中的应用首先，我们来看傅里叶变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。因此，我们可以在傅里叶变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。 2. 傅里叶变换在图像压缩中的应用变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。,3. 傅里叶变换在卷积中的应用:从前面的图像处理算法中知道，如果抽象来看，其实都可以认为是图像信息经过了滤波器的滤波（如：平滑滤
6、波、锐化滤波等 ）。 如果滤波器的结构比较复杂时，直接进行时域中的卷积运算是不可思议的。,傅里叶 变换示意图,傅里叶变换的频率特性,傅里叶变换的低通滤波,傅里叶变换的高通滤波,傅里叶变换的压缩原理,压缩率为：1.7：1,压缩率为：2.24：1,压缩率为：3.3：1,傅里叶变换的压缩原理,压缩率为：8.1：1,压缩率为：10.77：1,压缩率为：16.1：1,三、离散余弦变换（DCT）,0. 问题的提出：傅里叶变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换。,反变换：,特点：（1）无
7、虚数部分（2）正变换核与反变换核一样,正变换：,1.一维离散余弦变换,2. 二维离散余弦变换,(1) 正变换,(2) 反变换,举例,图像经DCT后, 能量集中于频率平面的左上角。 DCT用于图像数据压缩。,3. 离散余弦变换的矩阵算法,一维离散余弦变换：,正变换：,反变换：,二维离散余弦变换：,正变换：,反变换：,C为离散余弦变换矩阵，CT为C的转置矩阵,变换矩阵C为：,4.离散余弦变换的矩阵算法举例：,由此例可看出：DCT将能量集中于频率平面的左上角。,5. DCT变换的应用：余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。 余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DC
8、T变换。具体的做法与DFT 相似。给高频系数大间隔量化，低频部分小间隔量化。,本章要点,变换的目的是变换问题的求解域，简化问题的求解。 离散傅里叶变换是直接处理离散时间信号的傅里叶变换。 傅里叶变换有许多重要的性质。可分离性是其中很重要的性质，它使二维傅里叶变换可以分成两步计算，每一步只需进行一个一维变换。 离散余弦变换在图像压缩领域有广泛的应用。,一、正交函数一组实值的连续函数Sn(t)=S0(t),S1(t),S2(t),，在 0tT 区间内， 若满足：,则称Sn(t)在区间0tT内是正交的.,3 沃尔什变换（Walsh）,若k=1, 为归一化正交. 完备正交函数:所有互相正交的函数都包括
9、在Sn(t)里面。 若f(t)是定义在(0,T)区间上的实值信号,则利用正交函数可展开为,Cn是第n项系数,二、拉德梅克函数(Rademacher) Rademacher函数集是一个不完备的正交函数集,由它可以构成完备的Walsh函数. 定义,R(n,t)是周期函数:由定义式知, n=1, R(n,t)周期为1;,n=2,周期为,n=3,周期为,一般:,R(n,t)波形,规律: R(n,t)的取值只有+1和-1 R(n,t)是R(n-1,t)的二倍频，因此若知高一级的R(n,t),其他函数可用分频方法得到如果在 处取样，可得一个序列R(n,k)k=0,1,2,2m-1,如：取m=3，k=0,1
10、,2,7,可进行离散处理,三、Walsh函数三种定义方法1.按沃尔什排列的沃尔什函数(按列率排列）2.按佩利(Palay)排列的沃尔什函数（自然序列）3.按哈达玛排列的沃尔什函数(Hadamard)(第三定序法）,1.按Walsh排列的Walsh函数Walw(i,t) N=8时的波形：,规律： i是波形在正交区间内的变号次数；如:Walw(1,t)变号次数是1列率：在正交区间内波形变号次数的1/2称为列率（Sequency),按沃尔什排列的沃尔什函数可由Rademacher函数构成,R(k+1,t)是Rademacher函数，g(i)是i的Gray玛. g(i)k是Gray玛的第k位数字. P
11、为正整数,Gray码-反射码，其特点是 两个相邻数的Gray码只有一个码位的值不同 （a）十进制自然码Gray码. 设一十进制数的自然二进码为 (n)10=（np-1np-2np-3n1n0）2,其Gray码为g=(gp-1gp-2gp-3g1g0)g 则转换关系为:,：模2加,例：2=(0010)2 求其Gray码n3=0，n2=0，n1=1，n0=0g3=n3=0，g2=n3n2=0g1=n2n1=1，g0=n1n0=1(0010)2=(0011)g,（b）Gray码的性质g(m)g(n)=g(m n) eg.g(2)=0011，g(3)=0010g(m) g(n)=0001g(m n)=
12、g(2 3)=g(0010 0011)=0001,（c）从Gray码自然二进码 设Gray码为g=(gp-1 g p-2gkg1g0)g 自然二进制码：n=(np-1np-2nkn1n0)2 则: np-1=gp-1 np-2=gp-1gp-2 nk=gp-1 gp-2gk n0=gp-1gp-2 g1g0,例： (1011)g, 求自然二进制码g3=1,g2=0,g1=1,g0=1n3=g3=1n2=g3g2=1n1=g3g2g1=0n0=g3g2g1g0=1(1011)g=(1101)2,由Rademacher函数求Walw(i,t),设p=4,求Walw(5,t)的R表示,Gray码(0111)g,(3)当p=3,对前8个Walw(i,t)取样可得下列矩阵,
