数据结构基础复习09.ppt

1、数据结构考研辅导 基础复习,浙江大学计算机学院,内容提纲,考研概述,考察目标理解数据结构的基本概念：掌握数据结构的逻辑结构、存储结构及其差异，以及各种基本操作的实现。 在掌握基本的数据处理原理和方法的基础上，能够对算法进行设计与分析。 能够选择合适的数据结构和方法进行问题求解。,考研概述,考试形式整卷满分为150分，考试时间为180分钟 数据结构占45分，估计用时4550分钟 单选题：40题2分/题，估计占10题20分左右，建议用时不超过2分钟/题 综合题：70分，估计占2题共2025分，建议用时不超过10分钟/题,考研概述,复习计划基础理论复习 例题详解 题目范围：真题1套 + 模拟题9套

2、+ 补充题 模拟题第10套将用于最后一天模拟考试,6,基础内容复习 数据结构（C语言版），严蔚敏、吴伟民，清华大学出版社,线性表、堆栈、队列、数组 树与图 查找与排序,线性表、堆栈、队列、数组,线性表 定义：n个数据元素的有限序列 基本操作：随机访问、插入、删除、前驱、后继、倒序等 实现方式： 顺序存储：数组,Loc(ai),Loc(ai+1) = Loc(ai) + l,Loc(ai) = Loc(a1) + ?,(i -1) * l,线性表 实现方式： 顺序存储：数组,线性表、堆栈、队列、数组, 是一种随机存取的存储结构，方便随机存取第i个数据元素, 插入、删除复杂度为O(n)，需要移动大

3、量元素,自测题 在n个结点的顺序表中，算法的时间复杂度是O(1)的操作是： 访问第i个结点(1in)和求第i个结点的直接前驱(2in) 在第i个结点后插入一个新结点（1in） 删除第i个结点（1in） 将n个结点从小到大排序,线性表、堆栈、队列、数组,线性表、堆栈、队列、数组,线性表 实现方式： 链式存储：链表, 线性链表,头指针H = 19,若 p-data = ai 则 p-next-data = ai+1,typedef struct LNode ElemType data;struct LNode *next; LNode, *LinkList;,有时附加头结点,自测题 线性表若采用链

4、式存储结构时，要求内存中可用存储单元的地址: 必须是连续的 部分地址必须是连续的 一定是不连续的 连续或不连续都可以,线性表、堆栈、队列、数组,线性表、堆栈、队列、数组,线性表 实现方式： 链式存储：链表 线性链表, 插入、删除复杂度为O(1)，仅需修改指针而不需要移动元素, 是一种非随机存取的存储结构，不方便随机存取第i个数据元素,*静态链表 （p.31-35）,自测题 下面的叙述不正确的是（ ） 线性表在链式存储时，查找第i个元素的时间同i的值成正比 线性表在链式存储时，查找第i个元素的时间同i的值无关 线性表在顺序存储时，查找第i个元素的时间同i 的值成正比 线性表在顺序存储时，查找第i

5、个元素的时间同i的值无关,线性表、堆栈、队列、数组,自测题 在一个单链表中，若p所指的结点不是最后结点，在p之后插入s所指结点，则执行： s-next=p; p-next=s; s-next=p-next; p-next=s; s-next=p-next; p=s; p-next=s; s-next=p;,线性表、堆栈、队列、数组,自测题 在单链表中，指针p指向元素为x的结点，实现“删除x的后继”的语句是： p = p-next; p-next = p-next-next; p-next = p; p = p-next-next;,线性表、堆栈、队列、数组,x,p,线性表、堆栈、队列、数组,线

6、性表 实现方式： 链式存储：链表 循环链表, 双向链表,有时设尾指针可简化某些操作，如两表合并。,自测题 设一个链表最常用的操作是在末尾插入结点和删除尾结点，则选用( )最节省时间。 单链表 单循环链表 带尾指针的单循环链表 带头结点的双循环链表,线性表、堆栈、队列、数组,自测题 将线性表La和Lb头尾连接，要求时间复杂度为O(1)，且占用辅助空间尽量小。应该使用哪种结构？ 单链表 单循环链表 带尾指针的单循环链表 带头结点的双循环链表,线性表、堆栈、队列、数组,tmp = La-next; La-next = Lb-next; Lb-next = tmp;,19,线性表、堆栈、队列、数组,线

7、性表 练习1：分别实现数组、单链表、循环链表、双向链表的插入和删除操作。 练习2：实现单链表的原地逆转。 练习3：分别用一元多项式的两种表示实现多项式加法。,自测题 给定2个带有表头结点的单链表的头指针L1和L2，结点结构为 。假设这2个链表的结点已经按Data域递增有序，请设计算法把它们合并成一个按Data域递增有序的链表。注意：算法不能使用额外的结点空间。,线性表、堆栈、队列、数组,算法思路为顺序比较L1和L2当前所指的两结点的Data域，将小的那个结点从原链表摘除，贴到合并链表的尾部。如此进行到至少其中一个链表为空。若此时另一个链表不为空，则将另一个链表整个贴到合并链表的尾部。注意原始2

8、个链表有2个头结点，合并后只保留一个，需要释放另一个的空间。,List MergeSortedLists( List L1, List L2 ) List L = L1; List Tail = L2;L1 = L1-Next; L2 = L2-Next;free( Tail ); Tail = L;/释放第二个链表的表头，并将新链表的表尾指针Tail初始化while ( L1 ,自测题 给定2个带有表头结点的单链表的头指针L1和L2，结点结构为 。假设这2个链表的结点已经按Data域递增有序，请设计算法把它们合并成一个按Data域递减有序的链表。注意：算法不能使用额外的结点空间。,线性表、堆

9、栈、队列、数组,解题的基本思路不变，只要将原来的表尾插入改为表头插入即可。当然，当其中一个链表为空而另一个链表不为空时，不能直接将剩余链表贴到表尾，而必须将剩余结点一个一个插入表头。,自测题 若L1和L2是有序数组，其结点已经按Data域递增有序，请设计算法把它们合并成一个按Data域递增有序的数组。注意：要求将L2并入L1，并且要求移动元素的次数尽可能少。,线性表、堆栈、队列、数组,必须事先算好合并后L1的长度，然后从L1的最终尾部向前插入元素。插入过程与前面算法类似，但是是从尾部开始比较L1和L2相应元素大小，将较大的元素先插入到后面的位置。,void MergeSortedArrays(

10、 ElementType L1, int N1, ElementType L2, int N2 ) int p1, p2, cur;p1 = N1-1; /p1指向L1当前处理的元素位置p2 = N2-1; /p2指向L2当前处理的元素位置cur = N1+N2-1; /cur指向下一个要插入的元素在L1中的最终位置while ( (p1=0) ,堆栈 概念：后进先出，限定仅在表尾进行插入删除的线性表。 表示与实现： 顺序栈：数组，top+，top- 链栈：链表，top即为头指针 应用：括号匹配检验、表达式求值、n阶Hanoi塔问题（典型递归）、迷宫问题,线性表、堆栈、队列、数组,自测题 判定

11、一个栈ST(最多元素为m0)为空的条件是： ST-top != 0 ST-top = 0 ST-top != m0 ST-top = m0,线性表、堆栈、队列、数组,自测题 有六个元素以6，5，4，3，2，1 的顺序进栈，问下列哪一个不是合法的出栈序列？ 5 4 3 6 1 2 4 5 3 1 2 6 3 4 6 5 2 1 2 3 4 1 5 6,线性表、堆栈、队列、数组,自测题 若一个栈的输入序列为1，2，3，n，输出序列的第一个元素是i，则第j个输出元素是： i j 1 i j j i 1 不确定的,线性表、堆栈、队列、数组,队列 概念：先进先出，限定仅在队尾进行插入、仅在队头进行删除的

12、线性表。 表示与实现： 顺序队列：循环数组，(rear+1)%N, (front+1)%N 链栈：链表，front为头指针，rear为尾指针 应用：离散事件模拟,线性表、堆栈、队列、数组,自测题 循环队列用数组A0,N1存放其元素值，已知其头尾指针分别是front和rear，则当前队列中的元素个数是： (rear-front+N)%N rear-front+1 rear-front-1 rear-front,线性表、堆栈、队列、数组,自测题 栈和队列的共同特点是： 都是先进后出 都是先进先出 只允许在同一端点处插入和删除 没有共同点,线性表、堆栈、队列、数组,数组 特殊矩阵的压缩存储 对称矩阵

13、：,线性表、堆栈、队列、数组,*上（下）三角矩阵同理存储，或许多存储一个常数（若另一半矩阵元素是非零常数）。,线性表、堆栈、队列、数组,数组 特殊矩阵的压缩存储 m对角矩阵：,稀疏矩阵：,线性表、堆栈、队列、数组,数组 特殊矩阵的压缩存储 稀疏矩阵： 三元组顺序表：以行序为主序，顺序排列为三元组的1维数组，并存行数、列数、非0元个数。,typedef struct int i, j;ElemType v; Triple;typedef union Triple dataMAXSIZE+1;int nrow, ncol, ntotal; Sparse_Matrix;,线性表、堆栈、队列、数组,数

14、组 特殊矩阵的压缩存储 稀疏矩阵： 三元组顺序表：快速转置,对每列扫描整个数组：O(ncolntotal), 如何一步到位，放入正确位置？,numcol 第col列中非0元个数； cpotcol 第col列中第1个非0元在转置矩阵中的位置；,cpot1 = 1; cpotcol = cpotcol-1 + numcol-1;,4,2,O( ncol + ntotal ),线性表、堆栈、队列、数组,数组 特殊矩阵的压缩存储 稀疏矩阵： 行逻辑链接的顺序表：矩阵相乘,typedef struct Triple dataMAXSIZE+1;int rposMAXRC+1;int nrow, ncol

15、, ntotal; Sparse_Matrix;,各行第1个非0元在数组中的位置,设 M = A B，则有,关键： 对每个A.datap，找所有B.dataq，满足( A.datap.j = B.dataq.i )，将(A.datap.vB.dataq.v)累加到相应的临时行向量，最后压缩到M中。,O( ArowBcol + AtotalBtotal/Brow ),线性表、堆栈、队列、数组,数组 特殊矩阵的压缩存储 稀疏矩阵： 十字链表：矩阵相加,计算 A + B 的复杂度为 O( Atotal + Btotal ),自测题 设稀疏矩阵A有t个非零元素，用二维数组存储时占用m*n个单元。问稀疏

16、矩阵的三元组表示法在什么情况下比二维数组存储节省空间？ t m*n t m*n/3 t m*n/3 1 t m*n 1,线性表、堆栈、队列、数组,树与图,树与二叉树的概念 树的概念：度(degree)；层(level) 注意：根为第1层；深度(depth) 结点的最大层次。 二叉树的概念：左右有序 性质1：第i层最多有2i-1个结点。 性质2：深度为k的二叉树最多有2k-1个结点。 性质3：若n0为叶子数，n2为度为2的结点数，则有 n0= n2+1。 性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为 log2n+1。,树与二叉树的概念 二叉树的概念： 性质5：对有n个结点且顺序编号的完全二叉树，其任

17、一结点 i 有,树与图,二叉树的存储结构 顺序存储结构：数组 仅适用于完全二叉树 链式存储结构：在含有n个结点的二叉链表中有 个空链域。 二叉树的遍历 先序、 中序、 后序、 层次,树与图,Parent,1,2,3,4,5,6,7,n+1,自测题 一棵完全二叉树共有2435个结点，则其中度为0的结点数为？ 1218 1217 不确定 812,树与图,388 + 210 388/2 = 1218,自测题 在一棵高度为h(假定树根结点的层号为0)的完全二叉树中，所含结点个数不小于 2h 1 2h+1 2h 1 2h,树与图,自测题 结点中序遍历为xyz的不同二叉树，它有几种不同状态？ 3 4 5

18、6,树与图,自测题 前序遍历和中序遍历结果相同的二叉树为 一般二叉树 只有根结点的二叉树 所有结点只有左子树的二叉树 所有结点只有右子树的二叉树,树与图,自测题 前序遍历和后序遍历结果相同的二叉树为 一般二叉树 只有根结点的二叉树 所有结点只有左子树的二叉树 所有结点只有右子树的二叉树,树与图,自测题 已知中序遍历和前序遍历结果，给出算法求后序遍历结果。,树与图,（1）从前序遍历结果推断该树的树根。 （2）找出左子树和右子树的中序和前序遍历结果。 （3）重复上述过程，找出左、右子树的根结点，并逐步往下扩展，直到生成一颗完整的二叉树。,左,左,右,右,OutPostOrder(PreOrder,

19、 InOrder) /已知前序序列PreOrder、中序序列InOrder，求后序序列1）应用前述方法，从序列PreOrder和InOrder中推断出：树的根r;左子树的前序遍历序列PreOrderLeft和中序遍历序列InOrderLeft;右子树的前序遍历序列PreOrderRight和中序遍历序列InOrderRight;2）递归OutPostOrder(PreOrderLeft, InOrderLeft);3）递归OutPostOrder(PreOrderRight, InOrderRight);4）输出 r; ,自测题 下面是某二叉树三种遍历的部分结果，请画出相应的二叉树。 前序:

20、_B_F_ICEH_G 中序: D_KFIA_EJC_ 后序: _K_FBHJ_G_A,树与图,A,B,D,K,D,I,H,J,G,E,C,自测题 在任意一颗二叉树中，任何两个叶结点在先序、中序、后序中的相对次序怎样？ 不变 不一样 不能确定 以上都不是,树与图,线索二叉树 概念：,树与图,0: Lchild指向左孩子 1: Lchild指向前驱,0: Rchild指向右孩子 1: Rchild指向后继,中序遍历：A + B C D,中序线索二叉树,树与图,线索二叉树 构造： 中序：增加pre指针，指向刚访问过的结点 后序：须增加Parent指针域 优点：遍历不需要堆栈。若经常需要遍历二叉树或

21、查找结点在遍历序列中的前驱和后继，则应采用线索链表作为存储结构。,二叉排序树 定义：左 根 右；左右均为二叉排序树。 重要操作：查找、插入、删除（分3种情况） 问题：树深与插入顺序相关，最坏情况蜕变为单支树，达到 O(n)。,树与图,平衡二叉树(AVL)：保证树深 O( log n ) 定义：BF = D(左) D(右)。则AVL树上所有结点的BF只能是-1、0、1。 旋转： 单向左旋,树与图,0,平衡二叉树(AVL) 旋转： 单向右旋,树与图,0,平衡二叉树(AVL) 旋转： 双向旋转（先左后右）,树与图,平衡二叉树(AVL) 旋转： 双向旋转（先右后左）,树与图,自测题 若AVL树的深度是

22、6，则该树的最少结点数是？ 13 17 20 33,树与图,N6 = N5 + N4 + 1 N5 = N4 + N3 + 1 N4 = N3 + N2 + 1 N3 = N2 + N1 + 1 N2 = 2, N1 = 1,Nh = Nh-1 + Nh-2 + 1,树和森林 树的存储结构： 双亲表示法找双亲和根结点容易，但找孩子必须遍历数组。 孩子表示法适合涉及孩子的操作，但不方便找双亲。,树与图,树和森林 树的存储结构： 孩子兄弟表示法（二叉树表示法）,树与图,树和森林 森林与二叉树的转换 森林F= T1 T2 . Tm - 二叉树B=( R, LB, RB )二叉树B=( R, LB,

23、RB ) - 森林F= T1 T2 . Tm ,树与图,if ( !F ) B = NULL; else R = root(T1); LB = T11 T12 . T1m1 ;RB = T2 . Tm ; ,if ( !B ) F = NULL; else root(T1) = R; T11 T12 . T1m1 = LB; T2 . Tm = RB; ,树和森林 树和森林的遍历 树的遍历： 先根（次序）遍历 = 二叉树的先序遍历 后根（次序）遍历 = 二叉树的中序遍历 森林的遍历： 先序遍历 = 二叉树的先序遍历 中序遍历 = 二叉树的中序遍历,树与图,自测题 设森林F对应的二叉树为B，它有

24、m个结点。B的根为p，p的右子树结点个数为n，森林F中第一棵树的结点个数是？ m-n m-n-1 n+1 无法确定,树与图,n,自测题 树最适合用来表示 有序数据元素 无序数据元素 元素之间无联系的数据 元素之间有分支层次关系,树与图,树的应用 等价类问题：给定集合S的n个元素，以及m个形如(x,y)的等价偶对，求S的等价类划分。,树与图,初始化n个只包含1个元素的子集;while ( 读入x, y ) if ( ! (Find(x) = Find(y) )Union 两集合; ,树的应用 等价类问题 Union by size 根记录(-结点数)，小树并入大树 Find + 压缩路径 将Fi

25、nd路径上的结点都变成根的孩子,树与图,Union(2, 10),-10,10,Find(9),10,10,*等价划分n元集合的复杂度为 O( n(n) ), (n) 4对通常见到的n成立。,哈夫曼(Huffman)树和哈夫曼编码 哈夫曼树：带权路径长度最小的二叉树,树与图,路径长度 = 7 2+ 5 2+ 2 2+ 4 2= 36,路径长度 = 7 3+ 5 3+ 2 1+ 4 2= 46,路径长度 = 7 1+ 5 2+ 2 3+ 4 3= 35,哈夫曼(Huffman)树和哈夫曼编码 哈夫曼树的构造 将n个带权结点作为n棵只有根的二叉树的森林； 选2棵根权值最小的树，作为左右子树构造新树

26、，新根的权值 = 左右子树根权值的和； 将上述2棵树删除，将新树加入森林； 重复第2、3步，直到只剩1棵树，即是哈夫曼树。,树与图,哈夫曼(Huffman)树和哈夫曼编码 哈夫曼编码 例：aaaxuaxz 一般被存为8个字符，占64字节。但因只有4个不同字符，故可编码为 a = 00, u = 01, x = 10, z = 11，只需要占16个字节。若采用哈夫曼编码 a = 0, u = 110, x = 10, z = 111，则得到 00010110010111，只需要占14个字节。 注意：任一字符的编码都不是另一字符编码的前缀 前缀编码。,树与图,哈夫曼(Huffman)树和哈夫曼编码

27、 哈夫曼编码的构造：将字符出现频率作为权重，构造哈夫曼树，并按左0右1编码。例：aaaxuaxz,树与图,a = 0 x = 10 u = 110 z = 111,思考：给定编码，如何判断是否哈夫曼编码？,自测题 哈夫曼树有n个叶结点，则该树共有多少个结点？ 2n 2n-1 2n+1 不能确定,树与图,N0 = n N1 = 0 2*N2 = N 1 N = N0 + N1 + N2N = ?,图的概念（p.156-160） 图的存储及基本操作 邻接矩阵法 无向图顶点的度有向图顶点的度网,树与图,图的存储及基本操作 邻接表法,树与图,*边稀疏时节省空间，但判断任意两顶点是否有弧相连时，则不如邻

28、接矩阵方便。,自测题 具有n个顶点的无向图最多有几条边？ n(n - 1)/2 n(n + 1)/2 n2/2 2n,树与图,自测题 在一个图中，所有点的度数之和等于所有边的数目的多少倍？ 1/2 1 2 4,树与图,自测题 一个无向图采用邻接矩阵存储，该邻接矩阵一定是一个_ 对称矩阵 对角矩阵 三角矩阵 稀疏矩阵,树与图,树与图,自测题 从邻接矩阵 可以看出，该图共有（ ）个顶点；如果是有向图该图共有（ ） 条弧；如果是无向图，则共有（ ）条边 9, 5, 5 3, 4, 2 6, 3, 3 1, 2, 2,图的遍历 深度优先(DFS)：类似于树的先序遍历。递归，需要堆栈。邻接矩阵 O(n2

29、)；邻接表 O(n+e)。 广度优先(BFS)：类似于树的层次遍历。需要队列。时间复杂度与DFS相同。,树与图,自测题 已知无向图为G=(V, E)，其中，顶点集合为V = v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7，边的集合为E=(v1, v2), (v1, v3), (v2, v4), (v2, v6), (v4, v5), (v4, v7), (v5, v6)，请分别给出根据该邻接表从顶点v1出发进行深度优先搜索与广度优先搜索后的顶点序列。当有多种选择时，按序号先后访问。 深度优先搜索序列：v1, v2, v4, v5, v6, v7, v3 广度优先搜索序列：v1, v2,

30、v3, v4, v6, v5, v7,树与图,图的基本应用及其复杂度分析 最小（代价）生成树 普里姆(Prim)算法：一棵树的生长,树与图,*复杂度为 O(n2)，与边数无关，适合于求边稠密的网的最小生成树。,图的基本应用及其复杂度分析 最小（代价）生成树 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法：森林的生长,树与图,* 适合于求边稀疏的网的最小生成树，复杂度为 O(e log e)。,自测题 已知一个带权连通图G=(V, E)，其中顶点集合为V = 1, 2, 3, 4, 5，其邻接矩阵如图，求出其所有可能的最小生成树。,树与图,图的基本应用及其复杂度分析 最短路径 单源（带权）最短路：迪杰斯特拉(

31、Dijkstra)算法贪心，按长度递增生成，当新顶点使路径更短时，更新路径，O(n2)。 多源（带权）最短路：弗洛伊德(Floyd)算法 O(n3)，但比重复Dijkstra算法简单。,树与图,图的基本应用及其复杂度分析 拓扑排序：有向无环图(DAG)的应用之一 选一个无前驱顶点输出； 删除该顶点以及所有以之为尾的弧； 重复第1、2步，直到全部顶点输出，或不存在无前驱顶点(说明有环)。 注意： 拓扑排序可方便检查有向图中是否存在环； 确定无环时，也可用DFS进行拓扑排序，退出DFS的顺序即为逆向的拓扑序； DFS可方便检查无向图中是否存在环(若遇到回边即有环)。,树与图,图的基本应用及其复杂度

32、分析 关键路径：AOE网 带权DAG,树与图,2,3,2,3,自测题 判断有向图是否存在回路，除了可以利用拓扑排序方法外，还可以利用_ 求关键路径的方法 求最短路径的Dijkstra方法 深度优先遍历算法 广度优先遍历算法,树与图,自测题 弗洛伊德(Floyd)算法是求图中每一对结点之间最短路径的算法。请描述该算法，并且回答：如何用该算法判断图是否有回路？请说明理由。,树与图,检查对角元DN 1 ii，若存在非的对角元，就表明图中有回路。因为若DN 1 ii非，说明存在某个k，使得Dkii的值被更新为 （Dk 1 ik + Dk 1 ki），即存在一条从i到k、再从k到i的路径。,自测题 如何

33、判断图中有负回路（即回路中边的权值之和为负数）？请说明理由。,树与图,将对角元Costii初始化为0，当Dk ii0时，图中必存在负回路 。,查找与排序,查找 概念： 静态查找 动态查找（随时插入删除） 平均查找长度 = PiCi，其中Pi为查找第i个记录的概率，满足Pi=1；Ci是找到第i个记录需要比较的次数。 当查找不成功的情况也考虑在内时，平均查找长度是（成功+不成功）的平均查找长度。,查找 顺序查找法：逐个比较。 若对n个记录做等概率查找（即Pi=1/n），则平均查找长度为 不成功的查找必定进行n+1次比较。设成功与不成功概率相同，都是1/2n，则平均查找长度为 缺点：效率低 优点：简

34、单、适用面广 对结构无要求，不要求有序，也适用于链表。,查找与排序,(n+1)/2。,3(n+1)/4。,查找 折半查找法：有序表的查找 成功查找的最多比较次数为 等概率成功查找的平均查找长度为优点：效率高 缺点：只适用于有序表，且不适用于线性链表,查找与排序,log2n+1。,(1+1/n) log2 (n+1) - 1。,查找 B树：平衡多路查找树,查找与排序,每个结点至多有m棵子树； 若根不是叶子，则至少有2棵子树； 除根之外所有非叶子结点至少有m/2棵子树； 所有非叶子结点包含(n, p0, K1, p1, K2, p2, ., Kn, pn), 其中Ki为关键字且有序（递增）, pi

35、所指子树中所有关键字Kn。 所有叶子在同一层，为NULL。,47,23,在有N个关键字的m阶B树上进行查找，从根结点到关键字所在结点的路径上涉及的结点数不超过,查找 B树：插入、删除,查找与排序,30,30,30 37,26,26 30 37,85,61 70 85,70,7,3 7 12,最小值,50,最小值,61,53,61,50,自测题 下面关于m阶B树说法正确的是（） 每个结点至少有两棵非空子树 树中每个结点至多有m一1个关键字 所有叶子在同一层上 当插入一个数据项引起B树结点分裂后，树长高一层,查找与排序,自测题 B-树中叶子结点数s与关键字数n的关系是 s = n/2 s = n-

36、1 s = n+1 无法确定,查找与排序,设B-树第i个结点的子树数为Ci，则该结点的关键字数Ni=Ci-1。 对于有k个结点的B-树： n = Ni =(Ci-1) =Ci-k 每个结点（除根结点）都是一棵子树： Ci = (k-1)+s,查找 散列(Hash)表及其查找 关键问题： 设计哈希函数 解决同义词冲突 哈希函数：（任一关键字等概率映射到任一地址的哈希函数是均匀(Uniform)的） 各种方法（p.253-256，其中key%p最常见） 冲突处理 开放定址法：线性、二次（）、伪随机探测再散列 再哈希法（冲突时计算另一个哈希函数地址） 链地址法（同义词链表）,查找与排序,查找 散列(

37、Hash)表及其查找 查找分析 装填因子哈希表的平均查找长度是 的函数，而不是 n 的函数 从非链地址处理冲突的哈希表中删除一个记录，须在该记录的位置上填入一个特殊符号，以免找不到在它之后填入的同义词 对于预先知道且规模不大的关键字集，应尽力设计不发生冲突的完美哈希函数,查找与排序,自测题 下面关于哈希查找的说法正确的是（） 哈希函数构造的越复杂越好，因为这样随机性好，冲突小 除留余数法是所有哈希函数中最好的 不存在特别好与坏的哈希函数，要视情况而定 若需在哈希表中删去一个元素，不管用何种方法解决冲突都只要简单的将该元素删去即可,查找与排序,自测题 设有一组记录的关键字为 19，14，23，1

38、，68，20，84，27，55，11，10，79，用链地址法构造散列表，散列函数为H（key）=key MOD 13，散列地址为1的链中有几个记录？ 1 2 3 4,查找与排序,自测题 设哈希表长m14，哈希函数H（key）key11。表中已有4个结点：addr(15)=4，addr(38)=5，addr(61)=6，addr(84)=7，其余地址为空。如果用二次探测再散列处理冲突，关键字为49的结点的地址是 8 3 5 9,查找与排序,内部排序 概念 基本操作：比较 + 移动 存储方式： 数组：必须移动记录 静态链表：表排序，仅修改指针 数组+地址：地址排序，然后调整记录位置 稳定的排序法：

39、关键字等值的记录在排序前后的先后位置不变,查找与排序,内部排序 插入排序 直接插入排序：理扑克牌的过程。正序最快O(n)，逆序最慢O(n2)，平均O(n2)。 折半插入排序：查找的过程用“折半查找”，减少了比较次数，但移动次数不变，还是O(n2)。 气泡排序(bubble sort) 每趟比较相临记录，最大值沉入水底。 复杂度与直接插入排序类似。,查找与排序,自测题 用直接插入排序方法对下面四个序列进行排序（由小到大），元素比较次数最少的是哪个？ 94,32,40,90,80,46,21,69 32,40,21,46,69,94,90,80 21,32,46,40,80,69,90,94 90

40、,69,80,46,21,32,94,40,查找与排序,自测题 若用冒泡排序方法对序列 10, 14, 26, 29, 41, 52 从大到小排序，需进行多少次比较？ 3 10 15 25,查找与排序,5+4+3+2+1 = 15,内部排序 简单选择排序 方法：每次从未排序的序列中（i n1）找关键字最小的记录，与第 i 个记录交换。 复杂度：移动少，正序不动，逆序 O(n)；但比较次数恒为 n(n1)/2。总复杂度还是 O(n2)。,查找与排序,内部排序 希尔(Shell)排序 方法：对分割出的若干子序列分别进行直接插入排序，直到基本有序，再对全部记录进行一次直接插入排序。 所用时间是增量序

41、列的函数 增量序列的取法：注意应使增量序列中的值没有除1以外的公因子，并且最后一个增量必须等于1。,查找与排序,内部排序 快速排序 方法：以枢轴（支点）将记录分割为两部分，递归 注意：不同教材处理支点位置的方法不同 平均时间复杂度为O(nlogn)，且常数因子在同数量级的此类排序法中最小 需要栈空间实现递归，最坏情况深度可达n。若每趟排序后先对长度短的子序列递归，则栈的最大深度为O(logn),查找与排序,内部排序 堆排序 堆：完全二叉树，对应一维数组。任一非叶子结点的值不大于（或不小于）其孩子结点的值。根结点必包含最小（或最大）值。 堆的建立：自底向上反复“筛选”的过程。 排序：反复调整“大

42、顶堆”，将顶换到末尾。 最坏复杂度 O(nlogn)，且仅需1个额外辅助空间。,查找与排序,自测题 设有关键码序列(q，g，m，z，a，n，p，x，h)，下面哪一个序列是从上述序列出发建堆的结果？ a，g，h，m，n，p，q，x，z a，g，m，h，q，n，p，x，z g，m，q，a，n，p，x，h，z h，g，m，p，a，n，q，x，z,查找与排序,内部排序 归并排序(merge sort) 非递归实现：2路归并 复杂度 O(nlogn)，需要 O(n)额外空间 稳定 很少用于内部排序,查找与排序,内部排序 基数排序 多关键字排序：(K0, K1, ., Kd-1) 最高位优先法MSD：必须

43、逐层分割成子序列，分别排序 最低位优先法LSD：不分子序列，对每个Ki都是整个序列参加排序。若对Ki(0id-2)的不同值，Ki+1均取相同值（例如扑克牌不同面值对应相同花色），则可不用比较关键字排序的方法，而是通过“分配”和“收集”实现排序 链式基数排序：K = (K0, K1, ., Kd-1)，如13=(1,3) 分解出的每个Ki都在相同范围内，按LSD反复分配、收集即可。 分配 O(n) + 收集 O(r) * d趟分配和收集；O(r+n)空间,查找与排序,内部排序 各种内部排序算法的比较,查找与排序,内部排序 各种内部排序算法的比较 平均时间：快速排序最优，但其最坏情况不好。 归并在 n 大时比堆排序快，但需要空间多。 直接插入排序在基本有序或 n 小时好用。 基数排序适合 n 大而关键字小的排序；若关键字也大，且大多数K0不同，则也可用MSD。 基数排序和简单排序（插入、气泡、选择）是稳定的；快速排序、堆排序、希尔排序是不稳定的。一般比较相邻关键字的算法是稳定的。 比较排序最坏情况下的最好复杂度为 O(nlogn)。,查找与排序,自测题 以顺序表为存储结构，在300000个任意排序的数据中选择前100个最大值，下列哪种算法最快？ 快速排序 堆排序 归并排序 插入排序,查找与排序,自测题 在内部排序中，排序不稳定的有 插入排序 冒泡排序 快速排序 归并排序,查找与排序,