1、4. 计算机图形学（Computer Graphics ）是一门研究用计算机将数据转换成图形，并在专用设备上显示和处理的学科，它着重研究图形生成和处理的原理、方法和技术，是一门多学科综合应用的新技术。其涵盖图学理论、应用数学、计算机科学等学科。5. 计算机绘图计算机绘图是使用图形软件和硬件进行绘图及有关标注的一种方法和技术，以摆脱繁重的手工绘图为其主要目标。将客观世界中原来存在的物体影象处理成新的数字化图象的相关技术；如 CT 扫描、X 射线探伤等。 6、图象处理 7、模式识别对输入的图象进行分析和识别，找出其蕴涵的内在联系或抽象模型；如邮政分检设备、地形地貌识别等。研究几何模型和数据处理的学
2、科，讨论几何形体的计算机表示、分析和综合，研究如何方便灵活、有效地建立几何形体的数学模型以及在计算机中更好地存贮和管理这些模型数据；如飞机、轮船、汽车等外部造型。8、计算几何二、计算机图形学研究的内容 围绕：图形处理过程中的软、硬件技术、表示图形和图像的准确性、真实性和实时性。1）基于设备的基本图形生成算法，如直线、圆弧等；2）图形元素的裁剪和几何变换技术；3）曲线和曲面的处理技术：插值、拟合、拼接和分解；4）三维几何造型技术；5）三维形体的实时显示和图形的并行处理技术；6）真实感图形生成技术；7）随机形体或模糊景物的模拟生成技术；8）虚拟现实环境的生成和控制技术；9）三维或高维数据场的可视化
3、技术。 起源于麻省理工学院。从 50 年代开始到现在，可分为五个阶段： 1.2 计算机图形学的发展史 CG 诞生三、推广应用阶段(20 世纪 70 年代) 硬件：集成化电路发展，计算机由大中型小(超) 型光栅扫描显示器，图形输入、输出设备、大容量磁盘相继出现。软件：辅助设计、事务管理、过程控制等出现软件；如：AutoCAD 系统，CAD/CAM 系统专业机构成立：1974 年美国成立图形标准化委员会，制订专业标准；1977 年该委员会提出“核心图形系统 CGS”规范；1979 年提出修改意见。四、推广应用阶段(20 世纪 80 年代) 硬件：微型机成为主流，计算机普及程度大大提高， 图形设备进
4、行更新换代。软件：应用软件进一步商业化：Windows，Office ，AutoCAD ，3Dx 等 五、标准化智能化阶段(20 世纪 90 年代) 1985 年开始，ISO 公布一系列图形学标准： 计算机图形接口标准（CGI ） 计算机图形原文件（CGM） 计算机图形核心系统（GKS） 三维图形核心系统（GKS-3D） 程序员层次交互式图形系统（PHIGS）1.3 计算机图形学的应用 一、图形用户接口(GUI) 常用于用户接口：菜单、对话框、图标和工具栏等。五、虚拟现实和系统环境模拟 利用虚拟技术模拟环境和过程；六、电子出版和办公自动化 图文并茂的电子排版系统等；七、计算机动画和艺术 用于雕
5、刻艺术品，进行艺术创作，制作广告、动画和电影，人体系统模拟等。 八、工业动态模拟进行机构的运动模拟，如产品的动态造干涉检测等。九、计算机辅助教学 用于 CAI，使教学过程形象、直观和生动 ;1.4 计算机图形学的发展动态 1）造型技术的发展特征造型 物理造型 不规则形体造型技术：三个模型：a) 分形的随机模型 b) 基于文法的模型c) 粒子系统模型。二、热点问题2）真实感图形技术：由局部光模型向全局光型。3）人机交互技术: 可视化 人性化 三维化2.1.1 系统的组成 2.1 图形系统的组成 计算机图形系统=硬件系统+ 软件系统硬件系统：中央主机、图形输入设备、图形输出设备。 显示器绘图机、打
6、印机外储设备图形系统硬件设备计算机图形系统硬件系统2.1.2 图形系统的基本功能1.计算功能元素生成、坐标变换、求交、剪裁计算。2.存储功能存储数据:形体的集合数据、形体间相互关系、数据的实时检索、保存图形的编辑等信息。3.输入功能输入信息: 数据、图形信息、图象信息等输入。命令关键字、操作信息。4.输出功能输出信息: 图形信息、文件信息；静态图形、动态图形。5.交互功能人机交互:拾取对象、输入参数；接受命令、数据等。2.1.2 图形系统的种类1. 大型机图形系统 大型计算机，存储器容量庞大、计算功能极强、显示终端大精度高等。适用于巨大型计算。 2. 中型机或超级小型机图形系统 32 位超级小
7、型机为处理机，内存和外存容量较大，输入输出设备精度高、幅面大。价格较贵，目前大多已被淘汰。 3. 微工作站图形系统 微型工作站为处理机，丰富图形处理、灵活窗口、网络管理、交互式计算机系统。4. 微型机图形系统高档微型机为基础 ，图形系统日益得到广泛应用。2.2.1 图形显示设备2.2.2 图形绘制设备2.2.3 图形射出设备2.2 图形系统的硬件设备2.2.1 图形显示设备1. 显示器种类阴极射线管、随机扫描、存储管式、光栅扫描、等离子和液晶显示器。应用程序显示文件存储器控制器显示器工作原理2. 光栅扫描显示器1）工作原理2) 显示器的有关名词行频、帧频水平扫描频率为行频。垂直扫描频率为帧频。
8、隔行扫描隔行扫描：先扫偶数行扫描线，再扫奇数行扫描线。象素屏幕被扫描线分成 n 行，每行有 m 个点，每个点为一个象素。整个屏幕有 m n 个象素。分辨率是指 CRT 单位长度上能分辨出的最大光点 (象素)数。分为水平分辨率和垂直分辨率。常用屏幕上象素的数目来表示。如 n 行，每行 m 点的屏幕分辨率为 m n 。分辨率越高，象距离越小，显示字符或图像越清晰。显示速度显示字符、图形、图像的速度。帧缓存帧缓存是一块连续的计算机存储器，用来存储动态刷新的图形图像信息。数字/模拟转换3 液晶显示器(1) 基本原理 液晶基本性质液晶是一种介于液体和固体之间的特殊物质，当液晶受到电压的影响时，会改变它的
9、物理性质而发生形变，通过它的光的折射角度就会发生变化，而产生色彩。 液晶显示器基本结构光源先穿过第一层偏光板，再来到液晶体上；而当光线透过液晶体时，就会产生光线的色泽改变，从液晶体射出来的光线，还必须经过一块彩色滤光片以及第二块偏光板，加上电压的变化和一些其他装置，液晶显示器就能显示需要的颜色了。 工作原理 显示器种类液晶显示器：主动式和被动式现在流行的主动式液晶显示器。2.2.2 图形输出设备输出可视化且能长期保存图形的输出设备。1) 绘图仪笔式绘图仪 静电绘图仪2) 打印机针式打印机 喷墨打印机 激光打印机 3) 投影仪1. 图形绘制设备的种类2 绘图机绘图机按工作原理：笔式绘图和非笔式绘
10、图。笔式绘图机：平台式、滚筒式、平面电机式。非笔式绘图机：静电式、喷墨式、热敏式。平台式滚筒式屏幕硬拷贝设备，能拍下显示在 CRT 屏幕上的图像。获得两种图像： 一种是摄像机直接从彩色 CRT 上得到彩色图像，另一种是通过彩色滤波器得到黑白图像。1. 摄像设备2.2.3 图形输入设备按物理结构分为六类： 1) 键盘和鼠标2) 数字化仪3) 光笔4) 跟踪球和空间球5) 触摸板6) 扫描仪1. 图形绘制设备的种类在国际图形标准中按照逻辑功能分为六类。 (1)定位设备：实现定位功能，即输入一个点的坐标，包括光笔、数字化仪、鼠标、键盘的数字键等。(2)笔划设备：实现描划功能，输入一系列点的坐标，包括
11、的物理设备和定位设备一致。(3)数值设备：实现定值功能，包括旋钮、数字键、方向键、编程功能键等。(4)选择设备：根据一个正整数得到某一种选择，包括光笔、触摸板、数字化仪、鼠标等。(5)拾取设备：实现拾取功能，即识别一个显示的图形元素，包括各种定位设备、编程功能键、字符串输入设备。(6)字符串设备：实现字符串输入，包括键盘、光笔、声音识别仪等。2. 图形输入的逻辑设备系统的结构：合理的层次结构和模块结构。目 的：设计容易、维护方便，便于扩充和移植。2.3 图形的软件系统2.3.1 图形软件的组成 1.零层图形软件(驱动程序、接口程序 )功能：解决图形设备与主机通讯、接口等问题。要求：程序质量高、
12、速度快、内存占用量小。对象：面向系统。语言：汇编语言、机器语言、高级语言(外设处理) 。 2.一层图形软件(基本子程序)功能：生成基本图形元素和对设备进行通讯和管理。要求：程序质量高、速度快、内存占用量小。对象：面向系统，面向用户。语言：汇编语言、高级语言(外设处理) 。3.二层图形软件(通用程序)功能：建立图形数据结构，定义、修改和输出图形；建立各图形设备之间的联系。 要求：人机交互较强、容易阅读、便于维护和移植。 对象：面向系统，面向用户。语言：高级语言。4.三层图形软件(应用程序) 功能：解决具体的工程应用问题。 要求：准确、合理、安全、速度快、用户界面良好。 对象：面向用户。语言：高级
13、语言。2.3.2 基本图形软件 零到二级软件称 : 基本图形软件或支撑软件三级及以上软件 : 应用图形软件1.建立基本图形软件的方法图形程序库：以高级语言为基础，扩充处理图形功能；特点：容易实现，客易调试，便于修改及扩充；关键：选择高级语言。修改高级语言：在高级语言基础上，修改其编译系统；特点：图形处理能力较强，速度提高；关键：修改语言的编译系统。专用图形语言：按照处理图形要求设计一种图形语言；特点：有自已独立的编译器2.图形软件与其它资源的联系 选择操作系统： 具有良好的用户界面、可视化程度高； 具有比较强的处理外部设备能力； 通用性比较强，便于移植。选择高级语言： 通用性比较强； 具有较强
14、模块化结构； 适应范围比较广； 数据类型齐全且丰富灵活； 处理外部设备能力比较强 目标程序质量高。3.1 直线图形的生成 一、直线生成算法常用算法：逐点比较法、数值微分法、中点画线法和 Bresenham 算法等。 1逐点比较法算法思想：在绘图的过程中，把每画一笔(走一步) 都和标准图形进行比较，然后 确定下一步的走向，用步步逼近的方法画出规定图形。图示如下：算法步骤：1) 设定在不同象限中的走步方向：下图（右）原则：使逼近的误差最小，使走笔方向和画图的趋势一致。2) 从起点出发开始画线：开始抬笔到起点。3) 偏差计算：计算当前点相对于直线的位置偏差。一般方法:(第一象限）设定线段 OA，笔位
15、于 M 点，A(Xa,Ya)，M(Xm,Ym) 。 算法思路位置判断角度比较数学计算则 OA 和 OM 斜率分别为：dA=tg= Ya/Xa dM=tg= Ym/XmM 点偏差值 d 为： d=tg-tg=Ym/Xm-Ya/Xa=(YmXa-YaXm)/XmXa XmXa0 令 Fm= YmXa-YaXm偏差判别式若 Fm0，点 M 位于直线上方， M2，走 X+。Fm=0，=，点 M 位于直线上， M0，走 X+。Fm=0 ，令沿 X+走一步距即 X3=X2+1，Y3=Y2判别式计算：F3=Y3Xa-YaX3 递推方法：F1=Y1Xa-YaX1F2=Y2Xa-YaX2=(Y1+1)Xa-Ya
16、X1=F1+XaF3=Y3Xa-YaX3=Y2Xa-Ya(X2+1)=F2-Ya计算量：当 Fm0，(xs-xc) x F10，双曲线；d ，。描述行: 由编码和操作数组成。 采用矢量编码，最高位 0 表示为十六进制数，后面两位表示高四位和低四位，高四位表示矢量长度，低四位表示画矢量的方向。从字库的字模中读出字符，在显示器或打印机上输出。 计算或确定字符或字符串左下角点的坐标； 读取字符数据：根据编码取出每个节点的数据；读取字符数据时，应注意考虑以下参数：a) 字符的定位点，一般选择字符的左下角点；b) 确定字符的类型和字符的个数；c) 字符的方向，方向常选取与 x 轴的夹角，单位为度；d)
17、确定字符宽度和字符高度，通常选择高度作参数，把宽度看成高度的比例系数；e) 确定字符的间距，间距选择字符高度的比例系数； 进行坐标变换和处理：可以对字符进行任何操作，如放大、旋转，甚至透视等； 在确定的位置显示字符。6）显示字符 (yP-yB)(yP-yA)yT第 2 位为 1,端点在 yB 下, 即 yxR 第 4 位为 1,端点在 xL 左,即 x0：B 和 D 点和直线的位置，要么最远，要么最近，故只要 B 和 D 点位于直线两侧，直线和窗口就相交。FD0 D 在直线上方FD0 D 在直线下方FD=0 D 在直线上若 B 和 D 点位于直线两侧，则有：FDFB0 FDFB0，B 和 D
18、点位两侧，直线和窗口相交。FDFB0，B 和 D 点位同侧，直线和窗口不相交。 2）窗口和直线相交的判断条件计算 D 点的偏差值：FD=YDX2Y2XDk0，结束；否则，转下步； 求直线和窗口四条边界的交点并单向排序； 取出中间两点组成窗内线段输出。 1. 多边形裁剪的特点1) 多边形裁剪后仍是多边形，甚至变成多个多边形。2) 组成多边形的边被完全去掉。3) 有的边被裁剪成数段。4) 有的边未被裁剪，全部保留。5) 多边形的残缺部分由窗口边界补上。二、多边形的裁剪 多边形的裁剪算法分为：逐边裁剪法和双边裁剪法。2. 逐边裁剪法(萨瑟兰得和霍德曼， 1974 年)算法步骤：1) 先把待裁的多边形
19、的顶点组成有序的点列；2) 相邻两点组成边，如 P1P2,P3P4,PnP1，共 N 条边；3) 用窗口的四条边依次裁剪多边形的每个边，并求出有效交点。 依序考虑多边形各条边的两端点 S、P，它们与裁剪线有四种位置关系： 以窗口的一条边以及延长线构成的裁剪线，把平面分成两部分：一部分包含窗口，为可见侧；另一部分称为不可见一侧； 端点的输出处理a）若 S 不可见，P 可见，则输出交点 I1 和终点 P。b）若 S、P 都在可见侧，则输出 P；c）若 S 可见，P 不可见，则输出交点 I2 ；b）若 S、P 都在不可见侧，则输出 0 个顶点； 把有效端点连接起来，组成新的多边形。 3.双逐边裁剪法
20、(边界裁剪法, 韦勒和阿瑟顿,1977 年) 算法步骤： （1）把多边形顶点按逆时针排成一个有序的点环；（2）按多边形的排序方法把窗口顶点排序；（3）从多边形的任意顶点出发，顺着环方向搜索多边形顶点，位于窗内的顶点和多边形与窗口的有效交点；在求交画图的过程中规定如下规则：遇到入点时，不改变搜索方向。遇到出点时，改变搜索方向：入点：由窗外到窗内经过的边界点出点：由窗内到窗外经过的边界点a）在出点处转弯，转弯方向和顶点排序方向一致；b）沿窗口有效边方向前进，搜索到该边和多边形的交点，直到遇到新交点时为止。c）当遇到新交点时，抬笔返回到原来的出点。d）然后沿原来方向继续搜索。(4) 到达搜索起点使结
21、束 。注：1）起点选择在多边形内，并把笔抬到起点；2）多边形顶点可按逆时针排序，也可顺时针排序；3）当遇到入点时，要落笔；4）遇到出点时转向，直到遇到新交点，抬笔返回。出点、入点如何判断？三、字符的裁剪 1. 字符串采用字符串方式进行裁剪时，将包围字符串的外接矩形对窗口作裁剪。当字符串外接矩形整个在窗口内时予以显示，否则不显示。字符也是图元的一种，它在输出过程中，同样需要进行裁剪，字符的裁剪有多种策略，依赖于字符的生成及存储方式和具体应用的要求，有三种。2. 基于字符采用字符方式进行裁剪时，将包围字符的外接矩形对窗口作裁剪，如某个字符外接矩形整个落在窗口内予以显示，否则不显示。3. 基于构成字
22、符的基本图素对于点阵字符，构成字符的最小元素为象素，此时字符的裁剪转化为点裁剪。对于矢量字符，构成字符的最小元素是直线段（笔画） ，这样字符的裁剪就转化成了线裁剪。二维图形裁剪内容回顾： 直线端点编码的位乘运算（逻辑与）逻辑与的结果不为零时，直线与窗口边界无交点，直接舍弃！10011 0 0 00 0 0 0在窗外和窗口交1. 投影的定义投影：是将 n 维的点变换咸小于 n 维的点。或：通过光线照射，把空间物体投射到平面上，产生平面图形。一、投影变换的基本概念投影组成：投影中心、实体、投影线、投影面、投影。投影的种类：中心投影、平行投影(斜投影、正投影) 。斜投影正投影中心投影2. 投影图的分
23、类投影图：按投影生成的方法绘制工程图样。工程常用：三视图、正等侧图、斜二侧图等。4. 投影的形成矩阵将形体沿着投影方向压缩到投影面上，压缩变换。 特点：1）在投影方向上，形体上所有点的坐标变为相同；2）在非投影方向上，形体上所有点的坐标不变。二、三视图的变换矩阵1. 主视图形成矩阵将形体投影沿着 y 轴负方向压缩到 y=0 的平面，变换矩阵： 2. 俯视图形成矩阵将形体投影沿着 z 负轴方向压缩到 z=0 的平面，然后使图形绕 x 轴旋转-90 度，在沿着 z-方向平移距离 n :3. 左视图形成矩阵将形体沿着 x 负轴方向压缩到 x=0 的平面，然后使图形绕 z 轴旋转-90 度，在沿着x-
24、方向平移距离 m :三、轴侧图的变换矩阵轴侧图是用平行投影的方法在二维平面上产生同时反映物体长、宽、高三个方向形状的一种立体图。4. 轴测图的变换矩阵 ：T=T1T2T3在变换矩阵中包含有两个变量： 和 ，是为了更好地调整形体的立体感。一 坐标系统1. 坐标系图形处理采用笛卡儿(Cartesian)坐标系。1)坐标系形式：按 z 轴的方向分为两种：右手坐标系：右手握住 z 轴，四指由 x 指向 y 的旋转方向，若拇指指向 z 正向。左手坐标系：左手握住 z 轴，四指由 x 指向 y 的旋转方向，若拇指指向 z 正向。4.4 坐标系及其变换2)坐标系种类： 世界坐标系用来定义二维或三维的物体，也
25、称为用户坐标系。理论上是连续的、无限的，定义域为实数域。 设备坐标系图形输出设备的坐标系，简称 DC 或物理坐标系。是一个二维平面坐标系，度量单位是步长或像素。是不连续、有界的。定义域为整数域。 规格化设备坐标系(模型空间 )由于图形设备的分辨率的差异，用户坐标系里定义的图形，输出到不同的设备坐标系中，给图形处理带来诸多不便。因此，定义一个标准设备，用于规格化设备。2.坐标系之间的变换过程 实体坐标系用户坐标系观察坐标系设备坐标系投影变换观察变换实体变换坐标系间的坐标变换过程二、投影空间三维的投影窗口称为投影空间1.图形的输出过程2.平行投影空间的定义在观察坐标系下，平行投影空间可用四棱柱表示
26、，通常用五个参数定义。1) 观察参考点(视点) ：常取 O(x，y，z)点；2) 投影平面法向(视向) ：一般把观察坐标系的 Z 轴；3) 视点到观察空间前、后截面的距离 FD、BD： 4) 窗口大小：窗口中心 Ow，窗口半边长 WSU，窗口半边宽 WSU；5) 观察右向：垂直向上矢量，垂直视向，选用 y 轴方向。3 窗口和视区间的坐标变换 窗口: w(1)和 w(2)，w(3) 和 w(4)，视区: iv(1)和 iv(2)，iv(3)和 iv(4)。 av,cv:反映视区和窗口在 x、y 方向的伸缩比；bv,dv:反映定位点在 x 、y 方向上的偏移量； ix=iv(1)-av.w(1)+
27、av.xiy=iv(2)-cv.w(2)+cv.y三、参数化图形1参数化图形概念参数化设计一般是指零件或部件的形状比较定型，用一组参数约束该几何图形的结构尺寸序列，参数与设计对象的控制尺寸有明显的对应关系，当参数序列赋予不同的值时，就可驱动原几何图形达到新的目标几何图形。实现参数化设计有三种方式可供选择：(1) 建立模型时，变量取自变量值、表中值或尺寸值； (2) 绘制模型草图、利用系统编辑功能，将几何变量和变量值、表中值或尺寸值建立对应关系；(3) 对于定型的产品设计，可将模型设计成用户元素，然后对模型中的几何量实现参数化交互操作。 2参数法图形设计的步骤两种方法：编程与不编程，步骤如下：(
28、1) 分析工程图形，提取事物特性(2) 设计特性参数表(3) 构造参数数据结构(4) 算法设计编制程序3三表结构三表结构有三种形式1) 点边表结构： 形体的数据结构由点表和棱边表组成。点编号x 坐标y 坐标z 坐标1 x1 y1z12 x2 y2z2 n xn zn yn顶点表边编号起点 终点 属性1 1 2 02 3 4 1 17 3 6 1 棱边表2) 点面表结构数据结构由点表和面表组成，面表中表面的边界是采用顶点环的形式描述 。点编号x 坐标y 坐标z 坐标1 x1 y1z12 x2 y2z2 n xn ynzn 顶点表面编号面点环顶点编号点数1 2， 3， 6， 7， 10， 1162
29、 2， 3， 4， 14 8 2， 1， 12， 114 点面表(1) 点环中点的顺序是按照外环或内环的排序方法编排；(2) 点的环方向是面向观察者进行判断；(3) 点环表可以采用闭环，但要与程序建立对应关系。3) 点边面表结构形体的数据结构由点表和面表组成，面表中表面的边界是采用边环的形式描述。面编号面边环之边编号边数1 2， 17， 16， 7， 6， 562 1， 2， 3 4， 4 8 1， 2， 11， 54 点面表(1) 注意保持边的方向和面表中边环的方向一致；(2) 边环表中边的环方向是面向观察者进行判断；(3) 边环中边的顺序是按照外环或内环的排序方法编排； 4参数化图形设计的
30、应用(1) 根据图形结构，建立坐标系；(2) 根据房子的结构，共有 W、W1、H、H1、H2 、H3 、H4、L、L1 九个参数。(3) 构造三表结构:构造顶点表点编号1 2 3 4 5 6 17 18x坐标0ww0 0 w/2 (w1-w2)/2(w1-w2)/2y坐标0 0 LL L L . L Lz坐标0 0 0 0H H1 H2+H3 H2(4) 建立约束条件从形体的结构可以看出以下条件必须成立： 墙高低于屋定高：HH1； 窗口高低于墙高：H3H； 窗口整体位于墙面上：H2+H3H； 窗口宽度小于墙宽：W1W； 门口宽度小于前墙宽度：L1L；(5) 确定程序格式入口参数：定位点坐标(x
31、，y) ，九个特征参数。即：W、W1、H、H1、H2、H3 、H4 、L、L1平行投影空间的定义 形体数据结构模型房子参数化设计模型5.1 参数表示曲线和曲面的基础知识1.显式表示： y=f(x) 2. 隐式表示： f(x,y)=0 3.参数表示： P(t)=x(t),y(t),z(t) t0,1一、曲线和曲面的表示方法三次参数方程表示： 矢量形式： Q(t) =at3+bt2+ct+d 0t1 4.表示形式二、名词解释1位置矢量P(t)=x(t),y(t),z(t)2切线矢量T(t)=P (t)=x(t),y(t),z (t)3法线矢量主法矢量N(t)=P “(t)=x“(t),y“(t),
32、z “ (t)副法矢量B(t)=N(t)T (t)4曲线的连续性参数连续性1）0 阶参数连续: C0, 即相邻两段几何位置连接 2）一阶参数连续：C1，在连接处具有相同的一阶导数3）二阶参数连续：C2，在连接处具有相同的二阶导数P(t)=pi(t) tti0,ti1几何连续性1）0 阶几何连续：G0，即相邻两段首尾点相连2）一阶几何连续：G1，即在连接处具有公共切线3）二阶几何连续：G2，即在连接处具有公共法线5.2 Hermite 曲线一、三次 Hermite 曲线定义三次参数方程表示： 矢量形式： Q(t) =at3+bt2+ct+d 0t1 参数形式：x(t)=TCx y(t)=TCy
33、z(t)=TCz边界条件：t=0，过 P0 点 x(0)=P0xt=1，过 P1 点 x(1)=P1x求导数： x (t)=3t 2t 1 0 t=0，P0 点处的切矢 R0 x(0)=R0xt=1，P1 点处的切矢 R1 x(1)=R1x代入边界条件： 2调和函数调和函数： Fh(t)=TMhQ(t)=T MhGh Cx=MhGh=Fh1 Fh2 Fh3 Fh4 讨论：1)当 t=0，Fh1(0)=1，Fh2(0)= Fh3(0)=Fh4(0)=0t=1，Fh2(1)=1，Fh1(0)= Fh3(0)=Fh4(0)=0即:当曲线处在参数边界时，仅一个分量起作用。2) 调和函数仅与参数值 t
34、有关，而与初始条件无关。3) 调和函数对于物体空间的三个坐标值的作用相同。3切线矢量对曲线形状的影响1）切线方向：当其长度不变时，随着切线的角度增加，切线的凸包性也增加。令：Q(0) =k0 , Q(1)=k1则: Q(0)= R0=k0E0, Q(1)=R1=k1E1改变 k0 k1 值，改变切线长度，切线的凸包性也增加2）切线大小：曲线两端点的切矢为 Q(0)和 Q(1)，单位矢量分别为 :在连接点处：二阶导数连续(一阶导数相等 )Fh1=2t3-3t2+1 Fh1=6t2 -6t F“h1=12t 6Fh2=-2t3 +3t2 Fh2=-6t2 +6t F“h3=-12t+6Fh3=t3
35、 2t2+t Fh3=3t24t +1 F“h3= 6t4Fh4=t3t2 Fh4=3t22t F“ h3= 6t2 Q“(t)= F“h1(t)Q(0)+F“h2(t)Q(1)+F“h3(t)R(0)+F“h4(t)R(1)二、三次参数样条曲线 1Hermite 曲线的二阶导数形式讨论： t=0 Q“(0)=6Q(0)+6Q(1)4Q(0)2Q(1)t=1 Q“(1)=6Q(0)6Q(1)+2Q(0)+4Q(1)Q(t)=Fh1(t)Q(0)+Fh2(t)Q(1)+Fh3Q(0)+Fh4Q(1) 联立求解： Q(0) =Q(0)+Q(1)2 Q“(0)+ Q“(1)/6Q(1) =Q(0)+
36、Q(1)Q“(0)+ 2Q“(1)/6消除 Q(0) 和 Q(1) ，可得：2连续的三次参数样条函数 设有一组离散点 Pi(i=1,2， ，n) ，需构造连续曲线。据 Hermite 曲线的边界条件，构造 n-1 段曲线。方法：分段构造，整体连续。 曲线连续：使相邻两曲线段连续。条件: 在连接点处，二阶导数连续 (一阶导数相等) 对 Pi-1Pi 段: ( 起点) Pi-1“=-6 Pi -1+6 Pi 4 Pi -1 2Pi(终点 ) Pi “=6 Pi -1 6 Pi +2 Pi -1+4 Pi对 PiPi+1 段:( 起点) Pi“=-6 Pi+6 Pi+1 4 Pi 2Pi+1(终点)
37、 P“i +1=6 Pi 6 Pi+1 +2 Pi +4 Pi+1则： Pi-1+4 Pi+Pi+1=3(Pi+1 Pi-1 ) n 个离散点可构造 n-2 段曲线段，即 n-2 个连续方程。 设有三点 Pi-1、Pi 、Pi+1 构造两段曲线，即 Pi-1Pi 和 PiPi+1。3边界条件： 边界条件分为自由端、夹持端、抛物线端和循环端。 1）自由端：根据力学条件，两端点处二阶导数为 0。P1“=Pn“=0 起点: P1“ =-6 P1+6 P24P12P2=02P1+P2=3(P2P1) 终点: Pn“ =-6 Pn-1+6 Pn4Pn-12Pn=02Pn-1+Pn=3(PnPn-1) 把
38、方程归纳如下：2P1+P2 =3(P2P1)P1+4P2+P3 =3(P3P1)P2+4P3+P4 =3(P4P2) Pi+4Pi+1+Pi+2 =3(Pi+2Pi) Pn-2+4Pn-1+Pn =3(PnPn-2)Pn-1+2Pn =3(PnPn-1)自由端三次参数样条曲线的矩阵形式： 2)夹持端：曲线两端点的切线矢量已知，即：P1=k1E1，Pn= knEn夹持端三次参数样条曲线的矩阵形式：4绘制三次参数样条曲线的步骤1）确定型值点 Pi (i=1， 2， ，n) ；2）根据环境和已知条件，确定端点类型，建立线性方程组；3）解方程组，求出各个节点的切矢；4）根据弦长值和曲率值确定每段曲线的
39、插值点数；5）按 Hermite 曲线的方程进行拟合计算。5优缺分析1）凸包性比较强；2）整体连续性比较好，缺乏灵活性和直观性；3）模型比较复杂，编程繁琐；4）计算工作量大。1. Bezier 曲线的定义在空间给定个点1,2, n，称下列参数曲线为次的 Bezier 曲线。 其中，Bi,n 是伯恩斯坦多项式，称为基函数，即1，2， n 各点为 Q(t)的控制顶点，所组成的多边形为 Q(t) 特征多边形。5.3 Bezier 曲线2常用 Bezier 曲线的矩阵表示1) 一次 Bezier 曲线：n=1, i=0,12) 二次 Bezier 曲线： n=2, i=0,1,2Q(t)=(1-t)2
40、P0+2t(1-t)P1+t2P2 1t 0即： Q (t)=(1-t)P0+tP1 3) 三次 Bezier 曲线： n=3 ， i=1，2，3Q(t)=(1-t)P0+3t(1-t)P1+3t(1-t)P2+tP3 1t03Bezier 曲线的性质 令 T 表示参数矩阵，Mb 表示常数矩阵，Gb 表示位置矢量矩阵。 即：Q(t)=TMbGb 1）端点位置矢量：把 t=0 和 1 代入数学形式中，则有：t=0 Q(0)=P0 ； t=1 Q(1)=Pn 2) 端点切矢量：对曲线表达式求导，对 3 次曲线则有：Q(t)=3t t2 1 0 MbGbt=0 Q(0)=3(P1P0)；t=1 Q(
41、1)=3(P3P2)；端点处切线长度等于特征多边形首、末边长的 n 倍。工程上所使用的曲线次数不大于 3。 3) 对称性：若保持原全部顶点的位置不变，只是把次序颠倒过来，则新的 Bezier 曲线形状不变，但方向相反。4) 几何不变性：保持顶点相对位置不变，把多边形移动，则新的 Bezier 曲线形状不变。5) 凸包性 Q(t)是多边形各顶点1，2， n 的加权平均，0Bi,n1 称为权因子。在几何图形上有两重含义： Bezier 曲线 Q(t)随着其控制多边形的变化而变化。 Bezier 曲线 Q(t)随着其控制多边形的变化而变化。Bezier 曲线的位置和形状只与特征多边形的顶点的位置有关
42、，它不依赖坐标系的选择。当 n=2: B0,2=t22t+1B1,2=t2+2tB2,2=t2采用归纳法证明： 4三次 Bezier 曲线的拼接工程上采用分段绘制三次 Bezier 曲线，将分段的 Bezier 曲线连接起来，在连接处满足 C和 C连续。 两条 Bezier 曲线 Q1(t)和 Q2(t)，其特征多边形顶点分别为：P1、P2、P3、P4 和R1、R2、R3 、R4 。1) C连续(三次 Bezier 曲线)根据端矢量条件，对 Q1(t)曲线则有：Q1(t)=3(P4P3)Q2(t)=3(R2R1) 曲线连接条件： 共点：P4 和 R1 共点。 共线：P3、P4(R1) 、R2
43、三点共线。 异侧：P3 和 R4 处在 P4(R1)的两侧。 Q1(t) 为 Q2(t)长度的 倍 2) C连续若 Q1(t)曲线为 m 次，而 Q2(t)曲线为 n 次，则有：Q“1 (t) =m(m-1)(P3-2P2+P1 )Q“2 (t) =n(n-1)(P3-2P2+P1 )若满足连续,则: Q1“(t)=kQ2“(t)亦即： P2、P3 、P4(R1)、 R2、R3 四点共面。 在连接处两曲线的曲率相等。5优缺分析1）特征多边形的顶点个数决定了 Bezier 曲线的阶次；2）Bezier 曲线不具备局部修改性；3）Bezier 曲线的凸包性较强。 1B 样条曲线的数学表达式 若给定
44、 N=m+n+1 个顶点，则第 i 段 n 次等距离分割的 B 样条曲线函数为： 5.4 B 样条曲线其中 n 表示 B 样条的次数，m 为最大段号，t 为节点，i 为 B 样条的段号。 (分段混合函数) 2B 样条曲线的矩阵表示1）一次 B 样条曲线:(n=1，l=0，1)特征多边形只有 P0 P1 两个控制点。l=0 F0,2= (t-1)2/2l=1 F1,2= (-2t2+2t+1)/2l=2 F0,2= t2/2Qi,2(t)= F0,2(t) P0 + F1,2 (t) P1 + F2,2 (t) P2 =(t-1)2 P0 + (-2t2+2t+1) P1 + t2 P2/2端点位置矢量：曲线的首末端点位于首末段的中点。Qi,2(0)=(Pi+Pi-1)/2; Qi,2(1)=(Pi+Pi+1)/2 端点的一阶导数矢量： t=0 Qi,2(0)= (P1 P0)/2
