1、也说立体几何中利用图形变式解题人大附中郑州分校 刘凡 邮编（452370）（本文发表在 2008.2 数理化学习哈师大 P17.）在解答立体几何问题时，许多学生常因空间想象能力差、空间概念模糊，导致计算、论证等方面出现障碍。但若能注意到几何图形的变式及应用，则可以化难为易。下面就常见的几种利用图形变式解题的方法予以归纳，以飨读者。一 空间图形平面化在立体几何解题时，为了解题目的需要，常把空间图形变式为平面图形。利用平面化后的图形与空间的关系，对比、寻觅图中“变”与“不变”的位置关系与元素，常可以巧妙地解决一些问题。常见的平面化的方法有：（1）展开直观图在解决一些几何体表面上的最短问题时，常采用
2、“以直代曲” ，展开直观图形，使空间问题平面化的方法。例：长方体 中，AB1AC现有一只小虫从 A 点出发5,4,3.B沿长方体表面爬行到达 点，求小虫爬行的1最短路程，并指出与最短路线相对的路线的条数。解析：如图为长方体侧面展开图，在矩形 中， 在矩形 中，1ABCD174,1AC依题意，小虫爬行的最短路程为90.由图知与最短路线对应的路线有两条。74.（2） 利用射影法平面化将立体图形中的元素位置影射到某平面中，使之转化为平面图形中的线线、点线关系，常可以达到化简之目的。例：在正方体 中，E，F 分别是 的中点，设 求1ABCD1,BCD12,A1.FAEDV解析：由于直观图中空间元素之间
3、相互遮掩、交错， 1C不易寻找问题的突破口。现利用影射法作图变式，即 1B向面 作垂直射影，则问题转化为在正方形1AB 1AB中，E 为 中点，G 为 AB 中点， 求证： D C A 1 ,EG求 E 到 距离即 EH 的长。从而迅速找到了解题思路，A B 2 1优化了解题过程。（3） 利用“隔离”法平面化为了排除直观图中的空间元素之间的干扰因素，可以应用隔离法把要研究的对象从直观图抽出来，在平面内单独研究，可以花繁为简。例：在棱长为 的正方体 中a1ABCD试求异面直线 与 的距离。1AC1解析：连接 则 面,G1,:1,AC与平面 的距离等于异面直线 与 的距离。连接1DD交 于 连 B
4、D 交 AC 于 O，1BAC,O1,B面 面 过 作 于 M，1面 11,B1O于是把问题转化为在直角梯形 内研究。现抽出此直角梯形。由三角形面积公式可求得 为所求。13.Ma二 等效变换图形位置灵活利用题设条件，等效变化图形位置关系，常可以突破解题难点，探求出巧妙的解题方法。常见的图形位置变换方法有：（1） 平移在保持线与线、线与面、面与面的位置关系不变的情况下，将某一元素平移到某特殊位置，聚散为整，化难为易。这是立体几何中常见的图形变式策略。例：在三棱柱 中，AB= E，F 分别为 上的点，且1ABC1,3Aa1,BC求三棱锥 的体积。,2,BEaFEF解析：因为 且 F，F 分别在直线
5、 上， 11,:1,故不论 E，F 在 上的何位置， 为定值。那么平移,BC1AEVE 与 B 重合，平移 F 与 C 重合时，三棱锥 就平移到三棱锥 所在位置。于是有 一1A11AEFABC13ABS23.4a（2） 对称例：已知四棱锥 的底面为边长 4 的正方形。 面 分别PABCDPD,6,ABCPEF为 PB， AB 的中点，求三棱锥 的体积。EF解析：点 P 到面的距离不易直接求出。若注意到为中点，且，两点到面的距离相等，于是利用对称性，原问题就可以转化为求三棱锥 的体积，B再换顶点转化为求三棱锥 的体积就很顺利的使问题BD得以解决。 143.PDEFEFVV D A BP C E
6、F注：灵活的利用图形间的对称关系，进行图形变式，常可以得到简捷、优美的解题方法。（） 旋转例：二面角 的平面角为 在平面 内， 于，l012,ABl，在 内 于，是棱 上一CDll动点，则的最小值是多少？解析：将 平面绕棱 旋转到和 平面处于同一平面位置，如图l点落在 位置，连接 交于 当 与重合时，1C1AC1,M最小。由 ，易求得 AM+CM=DMB:26.注：当在求解某些问题时，如果能恰当地旋转某一图形（线，面，体等）的空间位置，则能收到事半功倍之效。三 变换图形形状与特性利用图形的空间关系，实施有效“增补”或“分割” ，改变原图形的“形状” ，为实现解决问题之目的而采用的方法。这种变换
7、图形“形状”的变式是立体几何解题常用的方法。（1） 图形增补例：三棱柱 侧面 的面积为 S，棱 到侧面 的距离为 求三1,ABC1AB1C1AB,h棱柱的体积。解析：为求出三棱柱体积现在原图形基础上做出如下补形：过 B 作 过 作 连接 CD， 则有,D:11,D:1,D三棱柱 与三棱柱 等积，而AC1BC1ABCDV所以11,DBVsh1.2AVsh注：解题时，若能依据题设条件，对图形进行合理的增补使之变为某个我们所熟悉的或具有某些特殊性质的图形，然后借助于这些图形的有关性质，可以使许多问题化难为易。（2） 图形分割例：在棱长为 的正方形 中，E，F 分别为a1ABCD中点，求 到面 的距离。1,AC11EF解析：直接求点 到面 的距离不易，可先连接 EF，则截面 将四棱锥分割成两个等体积的三棱锥 和1EF1ABEF，而 的体积通过“转换”利用等积法求解。故AD1A为所求。1111 132 .6EBFEFADEEBFDVVaSh菱 形 6a注：在一些空间关系比较复杂的图形中或依据题设条件无法直接从图形中找到解题信息时，常可以采用图形分割的方法，将“复杂”图形分割成几个较为简单或具有特殊性的图形，然后分别求解，于是便可以达到解决问题的目的。1A1C1BE FA CB
