1、ECBDA图 1A BCFDE图 3G平面图形的折叠问题四川省岳池县白庙职业中学 谢华折叠问题是平面几何的一种基本问题，又称为折纸问题.是新课标下中考数学命题的一个热点.折叠问题常以填空题、选择题、解答题或证明题的形式出现，属中档试题.主要考查学生的识图能力、空间想象能力、分析推理能力等.折叠问题其实质是“轴对称” ，折痕（折线）是对称轴.在解决这类问题时，要仔细观察，认真思考，必要时也可动手操作，充分发挥空间想象力;紧紧抓住:折痕是对称轴;折叠前后部分的两个图形是全等形 ;同时还要考虑图形本身的性质,与勾股定理、相似形、方程、三角函数等知识结合起来.还要注意折叠过程中,线段、角发生的变化，哪
2、些是变量，哪些是不变量，以寻找解题思路. 一、三角形的折叠例 1 如图 1，在三角形纸片 ABC 中，C=9 0,A=30,AC=3.折叠该纸片,使点 A 与 B 重合,折痕与 AB、AC 分别相交于点 D 和点 E，折痕 DE 的长为_ 解 填 1.理由:在 Rt ABC 中,A=30 ,AC=3,AB= .由折叠可知,DE 垂直平分 AB,23cosCAD= ,在 Rt ADE 中，DE=ADtan30 =1.(评注)充分利用了折痕是对称轴.例 2 如图 2，CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高，将 BCD 沿 CD 折叠，B 点恰好落在 AB 的中点 E 处，则A 等于（ ）A25
3、 B.30 C.45 D.60解 选 B. 理由:由折叠可知 , CBD CED.所以 CB=CE,又因为点 E 是 RtABC 斜边的中点,所以 CE= AB,CB= AB.故A=3012(评注)利用了折叠的性质，以及直角三角形本身的性质:30所对的直角边是斜边的一半. 二、四边形的折叠例 3（2008 上海）如图 3，矩形纸片ABCD，BC=2，ABD=30 .将该纸片沿对角线翻折,点 A 落在点 E 处,EB 交 DC 于 F,则点 F 到 DB 的距离为_解 填 . 理由:在 Rt BDC 中，23BDC=ABD=30 ，BC=2 ，BD=4.由折BECDA E E 图 2 E E 图
4、 6D E CBGA F叠可知DEB=ABD, DBE= BDC, . DBF 是等腰三角形过点 F 作 FG BD,垂足是 G,则 BG= BD=2.12在 Rt BFG 中,设 FG=x,则 BF=2x,由勾股定理,得 FG2+BG2=BF2 即 x2+22=(2x)2解得 x= ,FG= ,即 F 到 DB 的距离是233例 4 如图 4，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8.若将矩形折叠,使 B 点和 D 点重合,则折痕 EF 的长为( )A. B. 15215C.5 D.6 解 选 A. 理由:由折叠可知,EF 垂直平分 BD,既 OB=OD= =5,又四边形 ABCD 为矩形,
5、有 OE=OF,而2168OBF ADB， ,OF= ,因此 EF=2OF= .OBFAD154152(评注)折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分,利用矩形的中心是对称中心解题,非常简单.例 5 如图 5，已知折叠矩形的一边 AD，使得点 D 落在 BC 边上的点 F 处，且 AB=8cm，BC=10cm，求 EC 的长解：由折叠知 AF=AD=10cm，EF=DF.设 EC=xcm,则 DE=(8-x)cm.在 Rt ABF 中,BF= 2108=6(cm),FC=BC-BF=10-6=4(cm).在 Rt CEF 中,EF 2=EC2+FC2 (8-x) 2=x2+4 x=3 即 E
6、C 的长为 3cm(评注)利用勾股定理建立方程求解例 6（2008 连云港）如图 6，在直角梯形纸片 ABCD 中，ABDC，A=90,CDAD,将纸片沿过点 D 的直线折叠,使 A 点落在 CD 边上的 E 点处,折痕为 DF.连接 EF 并展开纸片.(1) 求证:四边形 ADEF 是正方形(2) 取线段 AF 的中心 G,连接 EG.如果 BG=CD,试说明四边形 GBCE 是等腰梯形(1)证明:在直角梯形 ABCD 中,ABDC,A=90,ADC=90.由折叠可知DEF=A=90,四边形 ADEF 是矩形,又 AD=AE,四边形 ADEF 是正方形.(2)连接 DG.四边形 ADEF 是
7、正方形,G 是中点,DG=EG,又ABDC,BG=CD四边形 BCDG 是平行四边形,DG=BCEG=BC四边形 BCDG 是等腰梯形图 5DECFBAABDOE图 4FC三、圆的折叠例 7(2008 福建永春)如图 7,将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心 O,则折痕 AB 的长为_cm解 填 2 理由:连接 OA,过点 O 作 OCAB,垂足是 C,3交弧 AB(虚线)于 D,则 AB 与 OD 互相垂直平分,OC= OD=1, 12在 Rt OAC 中,AC= = ,AB=222AC3（变式）：如图 8，将圆沿 AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则弧 AmB 等于（ ）A.60 B.90 C.120 D.150 图 7图 8
