1、例题精讲本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力几何图形的定义：几何图形主要分为点、线、面、体等，他 们是构成中最基本的要素点：用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些点在纸上占一个位置线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条 线段 线段有两个端点射线：从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有尽 头直线：沿着直尺用笔可以画出直线直 线没有端点，可以向两 边无限延伸两条直线相交：两条直线相交，只有一个交点两
2、条直线平行：两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交角：角是由从一点引出的两条射线构成的 这点叫角的顶点，射线叫点的边角分为锐角、直角和钝角三种直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角教室里天花板上的角都是直角锐角比直角小，钝角比直角大三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边等腰三角形：等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等 )，相等的两条 边叫” 腰”，另外的一条 边叫” 底”等腰直角三角形：等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形等边三角形：等边三角形的三条边一样
3、长(相等)，三个角也一 样大(相等 )四边形：四边形有四条边，内部有四个角长方形：长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两 组对角分别 相等等腰梯形：等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两 边平行，左右两边相等平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰菱形：菱形的四条边都相等，对角分 别相等圆：圆是个很美的图形圆中心的一点叫 圆心， 圆心到圆上一点的 连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆扇形：长方体：长方体有六个面，十二条棱，八个顶点长
4、方体的面一般是长方形，也可能有两个面是正方形互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽 、高正方体：正方体有六个面，十二条棱，八个顶点正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等圆柱：圆柱的两个底面是完全相同的圆圆锥：圆锥的底面是圆棱柱：这个棱柱的上下底面是三角形它有三条互相平行的棱，叫三棱柱棱锥：这个棱锥的底面是四边形它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥三棱锥：因为三棱锥有四个面，所以通常又叫 ”四面体”三棱 锥的每一个面都是三角形球体，简称球：球有球心，球心到球面上一点的连线叫球的半径【例 1】 观察这几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形【解析】 几个图形的边数依次增加，因此
5、横 线上应为一个七边形【例 2】 数一数，图中共有多少个角？【解析】 锐角、直角各 4 个，共 8 个角【例 3】 将一个边长为 4 厘米的正方形对折，再沿折线剪开，得到两个长方形请问：这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多几厘米？【解析】 剪开后的图形与原图形相比，多了两条 边，这两条边的长度即为所求42=8 厘米【例 4】 用 12 个边长为 1 的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是多少？【解析】 拼成的图形长和宽最接近时，新的 图形周长最短即新图形边长为 3 和 4 时，周 长最短， 为(3+4)2=14【例 5】 一个等腰三角形的两条边的长度分别是 3 和 4，那么这个
6、三角形的周长可能是多少？另外一个等腰三角形的两条边的长度分别是 4 和 9，这个三角形的周长可能是多少？【解析】 第一个三角形：如果腰为 3，则周长为 4+3+3=10；如果腰为 4，则周长为 4+4+3=11第二个三角形：如果腰为 4，此时 4+49，两边 之和小于第三边，无法构成三角形，假设不成立，舍；如果腰为 9，则周长为 9+9+4=22【巩固】周长是 12，各边长都是整数的等腰三角形有几种？长方形有几种？【解析】 2 种；3 种【巩固】用 7 根长度都是 1 寸的火柴棍拼成了一个三角形请问：这个三角形的三条边长分别是多少？【解析】 3 寸、 3 寸、1 寸或 3 寸、2 寸、 2 寸
7、【例 6】 下图中哪些是三角形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？ 【解析】 三角形有 2 个：4 和 7；长方形有 2 个：1 和 2(正方形也属于长方形)；平行四边形有 4 个：1、 2、3、6(正方形、长方形、菱形也属于长方形)；菱形有 2 个：1 和 6(正方形也属于菱形)【例 7】 请看下图，共有多少个正方形？ 【解析】 假设最小的正方形边长为 1，则面积为 1 的正方形有 9 个；面积为 4 的正方形有 4 个；面积为 16 的正方形有 1 个因此共有 9+4+1=14 个【例 8】 请看下图，共有多少个三角形？【解析】 独立的三角形有 7 个，由 4 个三角形组成的三角
8、形有 1 个，加上最大的三角形，因此共有 7+1+1=9 个三角形【例 9】 请看下图，共有多少个圆圈？【解析】 此题中，各 圆大小各异，不如按照从左到右的顺序来数共有个 25 圆圈【例 10】 长方形有四个角，剪掉一个角，还剩几个角？【解析】 共有三种情况，如下图，分别剩下 5、4、3 个角【例 11】 有两个相同的直角三角形纸片，三条边分别为 3 厘米、4 厘米、5 厘米不许折叠，用这两个直角三角形可以拼成几种平行四边形？【解析】 3 种【巩固】用两个完全相同的、各边长分别为 5、12、13 的直角三角形纸片，可以拼成多少种不同的平行四边形？【解析】 3 种 【例 12】 把一个正方形分割
9、为三种面积不同的小正方形，并且小正方形的个数是 8如何分？【解析】 如下图所示【例 13】 如下图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角问：当展开这张正方形纸片后，共有多少个小洞孔？ 【解析】 对已经过五次操作且剪去左下角的纸片做一次反操作，得到的纸片有 1 个洞孔；再进行一次反操作，得到的纸片上有 14=4 个洞孔按照这个方法继续做反操作，我们发现规律：从第二次开始，每经过一次反操作，得到的纸片上的洞孔数是反操作前洞孔数的 4 倍因此，在进行了五次反操作以后，纸片上的洞孔数应为 14444=256(个)【例 14】 图
10、中的三个图形都是由 A、B、C 、D(线段或圆)中的两个组合而成，记为A*B、C*D 、A*D 请你画出表示 A*C 的图形【解析】 观察上图，第一个图 形和第三个图形的共同之处是都有一条竖向线段，而它们共有的字母是 A，因此A 表示竖 向线段；第二个图形与第三个图形的共同之处是都有一条横向线段，它们的共同字母是 D，因此 D 表示横向线段 这样，由第一个图形可知 B 表示大圆，由第二个图形可知 C 表示小圆，从而A*C 表示的图形应为竖向线段和小 圆组合而成，即下图【例 15】 数一数下图中有多少个正方体木块？【解析】 从下到上各层分别有 3 个、 3 个、1 个，因此共有 3+3+1=7
11、个方块【例 16】 一个正方体的 8 个顶角被截去后，得到一个新的几何体这个新的几何体有几个面？几个顶点？几条棱？【解析】 这个正方体的 8 个顶点被截去后，多了 8 个面，因此共有 6+8=14 个面；多了(3-1)8=16 个点，因此共有 8+16=24 个点；多了 38 条棱，因此共有 12+38=36 条棱【例 17】 用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜色如图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体试回答：每个小正方体中，红色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面是什么色？ 【解析】 在能看见的 9 个面中
12、红色出现的次数最多 观察图 84 中最上面的一个正方体，由于 红色和黑色、黄色相邻，所以它的 对面不可能是黑黄两色同理，由第二个正方体可知，红色的对面不能是白色；由第三个正方体知，红色的对面不能是 蓝色所以红色的面的对面只可能是绿色同理，黄色面的 对面不可能是红色、黑色或白色，又已推知不可能是绿色，所以黄色面的对面只可能是蓝色这样黑色面的对面就只可能是涂白色的了【例 18】 将 A、B、C、D、E、F 六个字母分别写在正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中判断这个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上【解析】 本题所给的是一组立体几何图形但是，我们注意到：由于图(a)、(b)、 (c)都是同一个
13、正方体的不同摆法所以，图(a)、(b)、 (c)可以通过旋转来互相 转化， 这 三个图形中，字母 C 所在的一面始终不改变位置因此，这三个图形的 转化只能是前后转动把图(a)向后翻转一次(90)得图(b)由此可知，字母 A 的对面是 D，把 图(a)向前翻转一次(90)得图(c)，所以，字母 B 的对面是字母 E，最后得出只有字母 C、F 相对因此，正方体中，相对的字母分别是 AD、BE、CF【例 19】 如图，一个正四面体摆在桌面上，正对称的面 ABC 是红色，底面 BCD 是白色，右侧面 ACD是蓝色，左侧面 ABD 是黄色先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让它绕底面右侧棱翻转，第三次
14、绕底面面对你的棱向你翻转，第四次绕底面左侧棱翻转，此后依次重复上述操作过程问：按规则完成第一百次操作后，面对你的面是什么颜色？【解析】 由于翻转的次数太多，我 们只能先按题述的规则顺序翻转几次，试着寻找翻转过程中的规律，再考虑多次翻转以后的结果下 图演示了 4 次翻转的过程：由图可见，按题述规则进行了 4 次翻转以后，原来的正四面体 ABCD 的方向恰好发生了一次完全的变化：底面面对你的棱 BC 转 成了 CB，而不与 BC 在同一平面内的侧棱 AD 则转成了 DA那么不 难想像，再经过规则所述的 4 次翻 转，正四面体 ABCD 的方向将转回最初的位置 这就告诉我们，这样的翻转是每 8 次一循环的由上述分析可见，题述的翻转 以 8 次为一循环，又因 为 1008=124，所以 100 次翻转操作以后，正四面体 ABCD 的摆放位置将如图 811 的第五个图形所示，当时面对你的面应为面 BCD，其颜色为白色【例 20】 有一个 345 的长方体，先把其中相邻的两个面染红，再把它切成 60 个 111 的小正方体，请问：这些小正方体中最多有多少个是恰有一个面被染红的？【解析】 25
