1、图形基本性质一、四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形）1、长方形：有 两 个 角 是 直 角 的 平 行 四 边 形 (正 方 形 属 于 特 殊 的 长 方 形 ） 。性质：对角线相等且互相平分； 有四条边； 对边平行且相等； 四个角都相等且都是直角； 四个角度数和为 360； 有 2 条对称轴； 水平的那一边为长，垂直的那一边为宽； 长方形是特殊的平行四边形； 长方形有无数条高。长方形周长计算公式：周长文字公式：(长+宽)2 （ 周长字母公式：C=(a+b)2 ）面积计算公式：面积文字公式：长宽 （ 面积字母公式：S=ab ）2、正方形：在同一平面内，四条边都相等且一个角是直角的四边形
2、是正方形。有一组邻边相等的矩形（长方形）是正方形。有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形。 四边形对角线相等且互相垂直平分。性质：边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直； 内角：四个角都是 90；对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴） ；形状：正方形也属于长方形的一种； 正方形具有平行四边形 菱形 矩形的一切性质。长方形周长正方形周长计算公式：周长文字公式：边长 4 （ 周长字母公式：C=4a ）面积计算公式：面积文字公式：边长 边长（ S=aa ） （其他计算方法：S=对角线对角线2）3、平
3、行四边形：在 同 一 平 面 内 有 两 组 对 边 分 别 平 行 的 四 边 形 叫 做 平 行 四 边 形 。 （ 矩 形 （ 即 长 方 形 ） ， 菱 形 ， 正 方 形 都 是 特 殊 的 平 行 四 边 形 。 ）定 义 ： 如 果 一 个 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 那 么 这 个 平 行 四 边 形 的 一 组 对 边 平 行 且 相 等 。（ 简 述 为 “平 行 四 边 形 的 对 边 平 行 且 相 等 ”）如 果 一 个 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 那 么 这 个 平 行 四 边 形 的 两 组 对 边 分 别 平 行 。（ 简 述 为 “平
4、行 四 边 形 的 对 边 平 行 ”）如 果 一 个 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 那 么 这 个 平 行 四 边 形 的 两 组 对 边 分 别 相 等 。（ 简 述 为 “平 行 四 边 形 的 对 边 相 等 ”）如 果 一 个 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 那 么 这 个 平 行 四 边 形 的 两 组 对 角 分 别 相 等 。（ 简 述 为 “平 行 四 边 形 的 对 角 相 等 ”）如 果 一 个 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 那 么 这 个 平 行 四 边 形 的 两 条 对 角 线 互 相 平 分 。（ 简 述 为 “平 行 四 边 形 的
5、两 条 对 角 线 互 相 平 分 ”）性质：平行四边形两组对边分别平行； 平行四边形的两组对边分别相等； 平行四边形的两组对角分别相等； 平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的邻 角 互 补 （ 相 加 角 度 为 180 度 ） 。 平 行 四 边 形 是 旋 转 对 称 图 形 ， 旋 转 中 心 是 两 条 对 角 线 的 交 点（ 或 平 行 四 边 形 是 中 心 对 称 图 形 ， 对 称 中 心 是 两 对 角 线 的 交 点 。 ） 。一 般 的 平 行 四 边 形 不 是 轴 对 称 图 形 。平行四边形周长计算公式：周长文字公式：（底 1 + 底 2）2 （ 周长字母公
6、式：c=2(a+b) ）面积计算公式：面积文字公式：底高 （ 面积字母公式：S = ah ）易出判断题： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。注意：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如：等腰梯形。4、梯形：一 组 对 边 平 行 而 另 一 组 对 边 不 平 行 的 四 边 形 。 平 行 的 两 边 叫 做 梯 形 的 底 边 ， 其 中 长 边 叫 下 底 ，
7、 短 边 叫 上底 ； 也 可 以 单 纯 的 认 为 上 面 的 一 条 叫 上 底 ， 下 面 一 条 叫 下 底 。 不 平 行 的 两 边 叫 腰 ； 夹 在 两 底 之 间 的 垂 线段 叫 梯 形 的 高 。 一 腰 垂 直 于 底 的 梯 形 叫 直 角 梯 形 ， 两 腰 相 等 的 梯 形 叫 等 腰 梯 形 。判定：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形（一组对边平行且不相等的四边形是梯形）；两腰相等的梯形是等腰梯形； 同一底 上的两个角相等的梯形是等腰梯形；注 意 ： 梯 形 的 底 角 可 以 指 梯 形 中 任 意 一 个 角 。 所 以 说 “底 角 相 等
8、的 梯 形 是 等 腰 梯 形 ”是 不 对 的 。有一个内角是直角的梯形是直角梯形； 对角线相等的梯形是等腰梯形；梯形的中位线等于上底加下底和的一半，且平行于上底和下底。等腰梯形 的性质：等腰梯形的两条腰相等； 等腰梯形在同一底上的两个底角相等；等腰梯形的两条对角线相等； 等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线；等腰梯形（这个非等腰梯形同理）的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）等于上下底和的二分之一。注意：在有些情况下，梯形的上下底以长短区分，而不是按位置确定的，把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。梯形周长计算公式：周长文字公式：上底+下底+腰+腰 （ 周长字母公式：a+
9、b+c+d ）注： 等腰梯形 的周长公式：上底+下底+2 腰 （ 用字母表示：a+b+2c ）面积计算公式：面积文字公式：（上底+下底）高2 （ 面积字母公式：（a+b）h2 ）注： 等腰梯形 的面积公式：中位线高 （ 用字母表示：l h）区分： 平行四边形：两组对边分别平行的四边形。梯形：只有一组对边平行的四边形。各类四边形关系图：巩固练习1、在梯形里画两条线段，把它分割成三个三角形。你有几种画法？2、把一个平行四边形剪成两个图形，然后拼成一个三角形，这个三角是什么三角形？有几种剪拼的方法？3、把一张平行四边形的纸剪一下，分成两个梯形，有多少种剪法？4、判断：长方形是特殊的平行四边形。 （
10、） 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 （ ）一个梯形中只有一组对边平行。 （ ）5、用两个完全一样的梯形，能拼成一个平行四边形吗？把张梯形纸剪一次，再拼成一个平行四边形。拿一张长方行纸，不对折，剪一次，再拼出一个梯形。二、三角形（1）定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。 平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。 三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。（2）分类：按角度分：a.锐角三角形：三个角都小于 90 度 。（注：并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。） b.直
11、角三角形（简称 Rt 三角形）： 直角三角形两个锐角互余； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30（和相反）。 c.钝角三角形：有一个角大于 90 度(锐角三角形，钝角三角形统称斜三角形)。 四边形平行四边形长方形正方形 梯形按角分： a.锐角三角形：三个角都小于 90 度。 b.直角三角形：有一个角等于 90 度。 c.钝角三角形：有一个角大于 90 度。 （锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形） 按边分： 不等腰三角形；等腰三角形
12、（含等边三角形）。（3）性质：1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。2.三角形内角和等于 180 度 3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。（勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。）5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心、界心和欧拉线。内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。（性质：到三边距离相等。）外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。（性质：到三个顶点距离相等。）重心：三条中线的交点。（性质：三条中线的三等分点，到
13、顶点距离为到对边中点距离的 2 倍。）垂心：三条高所在直线的交点。（性质：此点分每条高线的两部分乘积。）旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。（性质：到三边的距离相等。）界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成 1：1 的直线与三角形一边的交点。（ 性质：三角形共有 3 个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。）欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。 7.一个三角形最少有 2 个锐角。8.三角形的角
14、平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a,b,c 有下面关系那么 a+b=c，那么这个三角形就一定是直角三角形。11.三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。三角形的边角之间的关系（1）三角形三内角和等于 180； （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边. （6）三角
15、形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线. （7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等. （9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的 2 倍。 （10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 （11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的 1/2。 注意：三角形的内心、重心都在三角形的内部； 钝角三角形垂心、外心在三角形外部；直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点
16、。）锐角三角形垂心、外心在三角形内部。特殊三角形1.相似三角形（1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形（2）相似三角形性质：1.相似三角形对应边成比例，对应角相等； 2.相似三角形对应边的比叫做相似比；3.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；4.相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）相等。（3）相似三角形的判定：1.三边对应成比例则这两个三角形相似； 2.两角对应相等则两三角形相似；3.两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似。 2.全等三角形 （1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （2）全等三角形的性质：1.全等三角形对应角（边）相等。2.全等三角形
17、的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等。 （3）全等三角形的判定： SAS ASA AAS SSS HL (RT 三角形)（S：边；A 角；RT：直角）三角形全等的条件 注意:只有三个角相等无法推出两个三角形全等1.三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。2.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA” 。3.两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS” 。4.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS” 。5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL” 。3.等腰三角形 （1）等腰三角形的性质： 1.两
18、底角相等； 2.顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；（2）等腰三角形的判定： 1.等角对等边； 2.两底角相等；4.等边三角形（1）等边三角形的性质：1.顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；2.等边三角形的各角都相等，并且都等于 60。（2）等边三角形的判定：1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。三角形中的线段（1）中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形。 （2）高：顶点到对边垂足的连线。（3）角平分线：顶点到两边距离相等的点所构成的直线。 （4）中位线：任意两边中点的连线。三角形相关定理（1）重心定理 ：三角形的三条
19、中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍（上述交点叫做三角形的重心.）（2）外心定理 ：三角形的三边的垂直平分线交于一点（这点叫做三角形的外心.）（3）垂心定理 ：三角形的三条高交于一点（这点叫做三角形的垂心. ）（4）内心定理 ：三角形的三内角平分线交于一点（这点叫做三角形的内心.）（5）旁心定理 ：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点（这点叫做三角形的旁心三角形有三个旁心）三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心（6）中位线定理 ： 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半（7）三边关系定理 ：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于
20、第三边（8）勾股定理 ：在 Rt 三角形 ABC 中，A90 度，则 ABAB+ACAC=BCBC ；A90 度，则 ABAB+ACACBCBC（9）等腰梯形性质定理 ：等腰梯形在同一底上的两个角相等。三、圆（1）定义：平 面 上 到 定 点 的 距 离 等 于 定 长 的 点 的 集 合 叫 圆 。平 面 上 一 条 线 段 ， 绕 它 的 一 端 旋 转 360， 留 下 的 轨 迹 叫 圆 。（ 2） 圆 的 相 关 量 ：圆 周 率 ： 圆 周 长 度 与 圆 的 直 径 长 度 的 比 值 叫 做 圆 周 率 ， 它 是 一 个 无 限 不 循 环 的 小 数 通 常 用 表 示 ，
21、 =3.1415926535.， 在 实 际 应 用 中 我 们 只 取 它 的 近 似 值 ， 即 3.14（ 在 奥 数 中 一 般 只 取3、 3.1416 或 3.14159） 。圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆中最长的弦为直径。 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。内心和外心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。 扇形：在圆上，由两条半
22、径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。（3）有关外接圆和内切圆的性质和定理： 一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等。 内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。 R=2SL（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。 两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）。 圆 O 中的弦 PQ 的中点 M，过点 M 任作两弦 AB，CD，弦 AD 与 BC 分别交 PQ 于 X，Y，则 M 为 XY 之中点。 如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。 11.圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。（4）周长计算公式 ：1.已知直径：C=d 2.已知半径：C=2r 3.已知周长：D=c/ 4.圆周长的一半:1/2 周长(曲线) 5.半圆的长：1/2 周长+直径 （5）面积计算公式： 1.已知半径：S=r 平方 2.已知直径：S=（d/2）平方 3.已知周长：S=(c/2)平方
