1、三十六 叠合图形的面积为了说明什么是重叠问题，请听下面一段师生对话老师：你家有几口人？图 36-1学生：我家有两对父子俩学生：不，我家有三口人同学们，你知道这是怎么回事吗？如果你一时想不起来，那么图 36-1 给出了问题的谜底原来，老师的错误在于他重叠地计算了“爸爸”一次老师所犯的错误决不是偶然的事实上，重叠问题经常给人们造成思维上的误区和“陷阱” ，使你犯错误或漏解看来，处理重叠问题在学习和研究中是必不可少的非常有必要来探讨它重叠问题非常广泛，下仅讨论重叠的平面图形的面积问题 361 每边长为 10 厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽度是1 厘米的方框把 5 个这样的方框
2、放在桌面上成为如图 36-2 所示的图案问桌面上被这些方框盖住部分的面积是多少？图 36-2解法 1 每个正方形的面积为 102 平方厘米，挖去的正方形的面积是（10-1-1） 2 平方厘米，故每个方框的面积为 102-82=36（平方厘米） 图中虽有 5 个这样的方框，但有 8 个面积为1 的小正方形是重叠的，故覆盖桌面的面积为365-8=172（平方厘米） 解法 2 每个方框的面积可这样图 36-3求：它有四条边（如图 36-3） ，每条边长为 9 厘米，宽为 1 厘米，故每个方框面积为（91）4=36（平方厘米） 再仿上可求桌面被覆盖的面积为 172 平方厘米问题 362 如图 36-4
3、，将长方形 ABCD 的宽增加 5 厘米，长减少 3 厘米，正好得到一个正方形，且正方形的面积比长方形多 45 平方厘米求正方形的面积 S分析显然长方形 ABCD 与正方形有重叠部分，它是长方形 ABEF因此正方形的面积比长方形多 45 平方厘米，可归结为长方形 HAFG 的面积比长方形 FECD 的面积多 45 平方厘米图 36-4为了求得正方形的边长，我们补一个长方形 GFDK（因为补了后得到长方形 GECK，此长方形不但与长方形 HAFG 等长，且这个长就是正方形的边长） 易算出长方形 GFDK的面积是 35=15（平方厘米） ，易见长方形 HAFG 的面积比长方形 GECK 的面积多
4、45-15=30（平方厘米） 但它们的长都是一样的，且均为正方形的边长，而它们的宽相差 5-3=2（厘米） ，故长方形 HAFG 的面积比长方形 GECK 的面积多的那 30 平方厘米就相当于一个长方形面积，此长方形的长与正方形的边长相等，而宽为 2所以正方形的边长为302=15（厘米） 故S=1515=225（平方厘米） 问题 363 如图 36-5，正方形边长为 4 厘米，以边长为半径，相对的两个顶点为圆心在正方形内画弧，构成图中阴影部分的“叶形” 求叶形的面积分析我们只会求正方形、长方形、圆、扇形、三角形、梯形的面积，图中的“叶形”面积我们不会求，怎么办呢？一个很自然的思路是：设法把所求
5、面积转化成上述已会求面积的图形去求图 36-5下文中出现的 S、S 、S 、S 正分别表示区域、和正方形的面积S=16-12.56=3.44 （平方厘米） 再由对称性知：S =S=3.44 平方厘米由图可知S=S 正-S -S =16-23.44=9.12（平方厘米） 注意：本题中正方形面积是一个定数，区域是一个不规则图形 “解法 1”是用“互补思想”求得的 S，同时又用到“对称原理”才使问题得到解决212.56=25.12（平方厘米） 由图可知，此面积之和正好比正方形的面积多了一个 S故 S=25.12-S 正=25.12-16=9.12 （平方厘米） 解法 3 如图 366，取一条对角线把
6、“叶形”面积分成两个相等的部图 36-612.56-8=4.56（平方厘米） 故所求面积为24.56=9.12（平方厘米） 由本问题求解可见，求叠合图形的面积的方法有时不唯一，要注意择优选法问题 364 图 367 中，正方形边长为 2 厘米，求阴影部分的面积 S解法 1 连如图 368 所示的虚线，S 就是ABC 的面积减去两个全等积，即解法 2 先求出图 369（1）中阴影部分的面积显然正方形面积减掉一个整圆面积再除以2 就是它的面积：（4-1 2）2=0.86 2=0.43（平方厘米） 再把原图分割成图 369（2）的形状，区域是面积为 1 的正方形，而区域、合起来正好与图（1）中阴影部
7、分的面积相等，即S=10.43=1.43（平方厘米） 解法 3 先求叶形的面积如图 3610，以每边为直径作半圆即得 4 个全等的叶形它们的面积之和为正方形面积减去图 369（1）中阴影部分面积的 4 倍，即 4 个叶形的面积和为4-40.43=2.28（平方厘米） 故一个叶形面积为：2.284=0.57（平方厘米） 由图 367 可见阴影部分的面积S=4-2半圆面积叶形面积=4-+0.57=1.43（平方厘米） 问题 365 图 3611 里，中间 4 个阴影图形面积的和与四周的四个阴影图形面积之和哪个大？解设小圆半径为 r，则大圆半径为 2r4 个小圆的面积之和为 4（r 2） ，而大圆的
8、面积 （2r） 2 也等于4r 2，即它们相等由此易知 4 圆重叠的部分与空出的部分面积相等图 36-11即题中所述的两个面积之和相等问题 366 桌面上放置了 3 个面积为 100 平方厘米，且两两重叠的圆（如图 3612） 这些圆盖住桌面的总面积为 144 平方厘米，图中叠了三层的面积是 42 平方厘米求图中阴影部分的面积之和图 36-12分析中间的区域重叠了三层，而阴影部分重叠了两层首先三圆盖住桌面积 144 平方厘米，已经将中间部分和阴影部分的面积各计算了一次，再只需要计算一次阴影部分面积和两次中间部分面积就正好等于三圆总面积 3100 平方厘米由此得到下面的解法解阴影部分面积为310
9、014424272（平方厘米） 问题 367 国际奥委会的会旗上的图案是由代表五大洲的五个环组成的，每个环内外直径分别为 8 和 10，如图 3613图中两两相交的小曲边四边形（黑色部分）的面积相等已知 5 个环覆盖的总面积是 122.5，求每个小曲边四边形的面积（ 取 3.14） 图 36-13解因为环内、外半径分别为 4、5，故每个环的面积为 5 2-4 2=9=28.26而 5 个环的总面积为 528.26=141.3，但覆盖的面积只有 122.5，则重叠的总面积为：141.3-122.5=18.8 重叠的小曲边四边形共有 8 个，故每个这样的四边形面积为：18.88=2.35问题 36
10、8 求图 3614 中阴影部分的面积 S 和周长 C图 36-14分析在图 3614 中，我们会求面积的图形只有长方形和扇形要把图中阴影部分通过“分”、 “补”或“加” 、 “减” ，组合转化成长方形和扇形不但困难，简直就是束手无策，我们另起一个思路：和这个和不但把长方形内两块非阴影部分（这个不在 S 中）的面积算进去了，而且把长方形内阴影面积也重复地算了一次，即一共正好多算了一个长方形的面积问题 369 将图 36-15（1）中的三角形纸片沿虚线折叠得到的粗实线图形（图（2） ）的面积与原三角形面积之比为 23已知图（2）中三个阴影三角形的面积之和为 1，那么重叠部分的面积是多少？分析把折过
11、去的小三角形重新翻回来如图 3616，则折叠后的图形面积与原三角形除掉梯形 ABCD 后的面积正好相等因为折叠后的图形面积是形 ABCD 的面积与梯形 CDFE 的面积相等，所以这两个梯形的面积都与三个小三角形面积之和相等，故重叠部分的面积仍然为 1问题 3610 大宝和小贝是一对孪生兄妹，今天满 8 岁妈妈特意给他们订做了一个面积为S 的正方形生日蛋糕爸爸要大宝把蛋糕均分成四份，使家里一人吃一块大宝首先切一块给爸爸，但不小心把蛋糕切成了如图 3617 的形状（O 是正方形的中心） 妹妹小贝连忙责备大宝，大宝也很难为情但爸爸、妈妈说大宝没有切错同学们你知道这是怎么回事吗？可为此，延长 BO 和
12、 AO（如图 3617 中的虚线） ，即得 4 个完全相同的四边形故问题得证图 36-17实验剪两个面积为 S 的正方形，先固定其中一个而把另一个的某一顶点用针钉到固定的正方形中心点上，然后转动后一个正方形，并观察这两个正方形重叠部分面积的变化情况不难发现，旋转过程中有两个特殊位置的叠合面就来证实这一猜想如图 3619，设四边形 OBCA是上述正方形转到任一位置的重叠部分显然要直接计算它的面积是困难的，只有来找它与特殊位置（比如图 3618（1） ）的关系为此，在图 3619 中作出特殊位置的小正方形 ONCM因为直角OMA与直角ONB完全一样，故可把 OMA割下来补到ONB的位置上，即得到四练 习 361图 3620 阴影部分的面积是 8 平方厘米，它占大、小三角形的面2图 3621 中，D、E 分别是长方形两边的中点求阴影部分的面积占长方形面积的几分之几？3图 3622 中正方形的边长是 2 米，以它的顶点为心，半径为 1 米画 4 个圆问这个正方形和 4 个圆共覆盖多少平方米？4图 3623 是两个相同的正六边形叠放在一起其中一个的某顶点在另一个的中心点上求阴影部分占正六边形面积的几分之几？
