1、第六讲 基本图形与几何问题的计算与证明平面几何主要研究的是平面图形的形状、大小和相互的位置关系. 基本图形：指的是学习中的重要定义、公理、定理、推论等所对应的图形.每一个重要的基本图形常常具有相应的综合性，对应多个重要的知识点， 掌握基本图形有利于添加辅助线构造基本图形，有利于探求思路拓宽条件 例 1 己知：如图，ABAE 于点 A，AED=120，EDC=30，求证：ABCD 解法 1：如图(1)延长 AE 与 CD 相交于 F ABAE 于 A， BAE=90 AED=EFD+D，AED=120，D=30 EFD=90 A+ EFD=180 ABCD(同旁内角互补，两直线平行)解法 2：又
2、如图(2)延长 BA、 DE 交于 F ABAE 于 A FAE=90 AED= FAE+ F 又 AED=120 F=30 D=30 D= F ABCD(内错角相等，两直线平行)我们还可以这样来做： 解法 3： 作直线 MN，分别与 B 交于 A，与 DC 交于 N 同(1)可证MAB=END， ABCD(同位角相等两直线平行) 例 2 己知：如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，过 D 作直线 DE 平行于 AC，又过 B作直线 BE 平行于 AD，两直线交于 E，连结 EC 求证：SDCE=SCAB 证明：连结 BD、AE ACDE， SDEC=SDEA ADBE， SDAE=SDAB
3、DCAB ， SDAB=S CAB SDCE=SCAB 这个图形的两条直线平行，由于平行线间的距离相等，所以在平行线中等底上所加的三角形的面积，一定是相等的这个基本图形能帮助我们解决比较难以找到的等积形式它对我们今后学习解决面积问题有极大的帮助，希望同学们注意 例 3 在ABC 中，BE 、CF 分别是ABC，ACB 的平分线，AG BE 于G，AHICF 于 H，求证 HGBC 分析：两条直线的位置关系：两条直线在同一平面内，有相交与平行两种，相交中的特例：当交角是 90时，两直线垂直不相交则平行 题目中给了两个重要条件，一个是角平分线，一个是垂直当一个角被平分以后，有一条直线与角平分线垂直
4、，这就形成了一个基本图形，也就是等腰三角形三线合一的基本图形根据三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，因此可以得到 HGMN 也就是 HGBC 证明：延长 AH、AG 分别与 BC 交于 M、N BE 平分ABC，AG BE 于 G ABGNBG则 AG=GN. 同理，AH=HM HG 是AMN 的中位线 HGMN，即 HGBC 例 4 已知：如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90，AD 平分CAB ，BDAD于 D 交 BC 于 E求证：AE=2DB 证明：延长 AC、BD 交于 F AD 平分CAB， 1=2 ADBD 于 D， FDA= BDA=90 又 A
5、D=AD， ADF ADB(ASA) BD=DF，即 BF=2BD ACB=90，ADB=90CEA=DEB 1=3 在AEC 和BFC 中， 1=3， AC=BD ACB=BDE， AECBFC(ASA) AE=BF AE=2BD 例 5 己知：如图，四边形 ABCD 中，ACB=ADB=90，M、N 分别是 AB 和 CD的中点，求证：MNCD证明：连结 DM，CM ACB=ADB=90， AM=MB DM= AB，CM= AB DM=CM N 是 DC 中点， MNDC 例 6 己知：如图，在 RtABC 中，A=90，D 为 BC 中点，使 EDF =90，求证：EF2 =BE2 +F
6、C2 分析：这道题目要求证的是 EF2=BE2+FC2，只有在直角三角形中，两条直角边的平方和才等于斜边的平方，所以要构造直角三角形 证明：延长 ED 到 G，使 ED=DG，连结 FG D 是 BC 中点，BD=DC， BDE=CDG， BDECDG ED=DG，BE=GC， B=DCG FDEG EF=FG A=90， B+ACB=90 ACB+DOG=90 在 Rt FGC 中，由勾股定理，得 EF2 =CG2 +CF2 EF2 =BE2 +CF2 这道题启发我们，通过添加辅助线可以把相应的边和角转移到另一个地方去，把分散的条件集中起来，把隐含的条件显现出来，把已知和未知连接起来，这就是
7、添加辅助线的重要目的具体添加辅助线的方法就要根据题目的已知条件，结合所学的知识去分析、去构造 例 7 (1)如图，ABC 中，BD 平分ABC，DEBC，求证：BED 是等腰三角形 证明： BD 平分ABC ， 1=2 DEBC， 2=3 1=3 BE=DE 即 BED 为等腰 (2)如图，ABC 中，BI，CI 分别平分ABC ，ACB，DEBC，求证：DE=BD+EC 证明： BI 平分ABC， 1=2 DEBC， 2=3 1=3， BD=DI 同理可证：CE=EI 又 DE=DI+EI DE=BD+EC. (3)如图，BG 、 CG 分别平分 ABC 和ACF，DGBC，判断线段 DB、
8、EC 与 DE 有怎样的数量关系? 并说明理由 证明： BG、CG 分别平分ABC、ACF ， 1=2，3= 4 DGBC， 2=5，4= GGE 1=5，3= OGE BD=DG，CE=EG DE=DG-EG=BD-CE， 即 DE=BD-CE 例 8 己如：如图，E 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，CE=CB，EF 上 AC 于 E，交 AB 于 F，求证： AE=EF=FB 证法 1：连结 CF ABCD 是正方形， B=90，CAB=45 EFAC 于 E，CE=CB，CE=CF， RtCEF RtCBF EF=FB AFE=45 CAB=AFE AE=EF AE=EF=FB
9、 证法 2：连结 BE ABCD 是正方形， CBA=90 EAB=45， 又 EFAC 于 E， FEC=90 即CBA=FEC 又 CE=CB 1=2 3=4 EF=FB 又EAF=EFA=45，AE=EF AE=EF=FB 例 9 己知：如图，正方形 ABCD 中，延长 AD 到 E，使 DE=AD，延长 DE 到 F，使DF=BD 连结 BF 交 CE 于 G，交 CD 于 Q，试判断 DG 与 QG 相等吗?说明理由这道题可以通过计算来证明，但是在计算当中要把握住图形的两个特点： (1)把握等腰三角形顶角和底角之间的关系三角形底角= (180-顶角)； (2)第二个要把握三角形外角定理 解：BD 是正方形 ABCD 的对角线， BDC=ADB= DBC=45 BD=DF DBF=F DBF+F=45，DBF=22 5 DQG=BDC+DBF=675 AD=DE，AD=DC， DC=DE，DCE=45 BDF=135 ，BGC=225 ， BC=CG DC=CG 在DCG 中，CDG= =675 ， CDG=BGC DG=QG 在计算的过程当中，等腰三角形的性质：底角 = 三角形一个外角等于不相临的两个内角和以及正方形对角线平分一组对角，每个小锐角变成 45在证明当中起到了十分重要的作用它使我们再一次能挖掘出基本图形，使我们对问题的分析更加深入，使我们的解题过程更加简捷
