1、1江苏省运河中学 2014 届最后一卷卷 一一填空题1已知 ，则 = 。 iz2)(z2若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 的最大值为 。 2xaxa3已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的正半轴重合，终边上有一点 ，则x )4,3(A= 。 )2sin(4已知中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的渐近线方程是 ，则该双曲线的离xy心率是 。 5已知一个正四面体的边长为 2，则它的体积为 。 6. 已知 ，且 ， ，则 _.0yxtanxy1sin3xyxy7. 圆 关于直线 成轴对称图形，则 的取值05622b2ba范围是_.8. 在平面直角坐标系 中，直线 与圆 相切，其中 ，xoy3my
2、x22ynmN*， ，若函数 的零点 ， Z，则n01mn1()fn0(,1)k.k9. 若直线 与圆 交于 两点，且 关于直kxy42mykxNM,线 对称，动点 在不等式组 表示的平面区域内部及边界),(baP02y上运动，则 的取值范围是 .1210. 在 中,设 且 Z，则 为直角三ABC4,2,3ACkkB,ABC角形的概率为_.11. 已知函数 ，若方程 有且仅有三个不同的实根，则实xf12axf12数 的取值的集合为 .a12. 已知 R，且 ，设 的最大值和最小值分别为b,223ab22ab，则 _.,Mm13. 已知函数 ，设 ，且函数2342015()1xxf ()4)Fx
3、f的零点均在区间 （ ， ， Z）内，圆 的面积的()Fx,abab2yba最小值是_.14. 各项均为正偶数的数列 ， ， ， 中，前三项依次成公差为1234a的等差数列，后三项依次成公比为 的等比数列.若 ，则(0)dq418的所有可能的值构成的集合为_.q二解答题15. 已知 ， ， .(sin,1)a(cos,2)b(0,)4(1)若 ，求 的值；78i(2)若 ，又 为锐角，且 求 的值.ab1tan316. 在四棱锥 中， , , 平ABCDP90ACD60CADBP面 , 为 的中点， .ABEB2(1)若 为 的中点，求证 平面 ；FEF(2)求证 平面 ./MFEDCBAP3
4、17. 如图所示,l 1,l2是两条互相垂直的海岸线，C 为一海岛，ABCD 是一矩形渔场，为了扩大渔业规模，将该渔场改建成一个更大的矩形渔场 AMPN，要求点 D,N 在海岸线 l1上，点 B，M 在海岸线 l2上，且两点 M，N 连线经过海岛 C，已知 AB=3km,AD=2km.(1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32km2，则 AN 的长应在什么范围内?(2)当 AN 的长度是多少时，矩形 AMPN 的面积最小 ?并求最小面积.(3)若 AN 的长度不少于 6km，则当 AN 的长度是多少时，矩形 AMPN 的面积最小？并求出最小面积.18. 已知椭圆 上的一动点到右焦点的最短距离为
5、 ，01:2bayxC 2且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长.(1)求椭圆 的方程；(2)设 ， 是椭圆 上关于 轴对称的任意两个不同的点，连结0,4PBA,Cx交椭圆 于另一点 E, 证明直线 与 轴相交于定点 .BCAQ(3)在(2)的条件下, 过点 的直线与椭圆 交于 两点，直线 中点的横坐QNM,标为 ，求 的范围.0x019. 设 （e 为自然对数.2)(,ln)(),(2)( pqegxfxfqpxg且其 中4的底数） 。 （1）求 p 与 q 的关系； （2）若 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；)(xg（3）若 R，试讨论方程 的解的个数a()fxa20. 已知数列
6、 是以 为公差的等差数列，数列 是以 为公比的等比数nadnbq列(1)若数列 的前 项和为 ,且 , ,且 为nbnS12abd310250Saq整数，求 的值；q(2)在(1)的条件下，试问数列 中是否存在一项 ，使得 恰好可以表示nkkb为该数列中连续 N， 项的和？请说明理由；p()2(3)若 (其中 ,且( )是( )的约数)，求证：123,rsrtbabasrtr数列 中每一项都是数列 中的项.n n5加试题21. B. 选修 42：矩阵与变换设 ，且 .14,531xAXByAXB求 ；1求 .C选修 4-4：坐标系与参数方程在 极 坐 标 系 中 ， 已 知 圆 经 过 点 ，
7、 圆 心 为 直 线 与 极 轴 的 交 点，C24P（ ， ） 3sin()2求圆的极坐标方程C22. 全美职业篮球联赛(NBA)某年度总决赛在雷霆队与迈阿密热火队之间角逐，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束. 因两队实力相当，故每场比赛获胜的可能性相等. 据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入 2000 万美元，以后每场比赛门票收入比上场增加 100 万美元，当两队决出胜负后，问：(1)组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于 13500 万元的概率为多少？(2)某队在比赛过程中曾一度比分落后 2 分以上(含 2 分)，最后取得全场胜利称为“逆袭” ，求雷
8、霆队“逆袭”获胜的概率；(3)求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望.623. 设 A 是集合 的一个 元子集（即由 个元素组成的集合） ，且nP,321kkA 的任何两个子集的元素之和不相等；而对于集合 P 的包含集合 A 的任意元子集 B，则存在 B 的两个子集，使这两个子集的元素之和相等.1k(1)当 时，试写出一个三元子集 A.6n(2)当 时，求证： ，并求集合 A 的元素之和 S 的最大值.5k7运河中学 2014 届最后一卷答案1. 1 2. 1 3. 4. 5. 53417,326. 答案： .解：由 ，及 ，3sintacoxyxy1sin3xy可得 ， .1cos6s()
9、si62又因为 ，所以 .(0,)xyxy37. 答案： .解：由圆的方程易知圆心坐标为 ，半径 ,4,3,1ar510. 又圆关于直线 成轴对称图形，251a bxy2, ,上在点 bxy3,213b则 ， .4a4a8. 答案： .解：直线与圆相切，则 ，得 .又 ， ，0k2mnnm1N，m=3,n=4,又 的唯一零点 , .01mn1()34xf0()x0k9. 答案： .解：由条件得 与 垂直，且 过圆,2, 1kyyxy心， . 得不等式组为 看成定点 与区域1k02yxab2,1Q内动点 连线的斜率. . 即 的范围),(baP21ab或 ab.,2,10. 答案: .解： 则
10、, , 73,32kBC3kCBCBA. 又 .1,kAB .A15423210,kZ若 为 Rt ，则 .2,04,0)1(k(2) , .0C1332或k8(3) . 0BCA（舍去）.8012kk为 Rt 的 的值为 -1，-2，3，而基本事ABC件数为 ， .73p11. 答案： .解：由题意 为偶函数，下设1xf，(1)当 时， . (2)当0xx12f时， .10f(3)当 时， . 结合 为偶函数，画出 的图x12xxf xf )(xf像. 只是由 的图像向右平移一个单位. 结合图像，1ffy有且仅有三个不同的实根， . 所以， 的取值集合为 .axf1aa112. 答案：10.
11、解：由 得：22, 3abRb(1) .233b(2) 22a,2 2()0abab即： ,能取到.由(1)、(2)得： ,303b31ab由 ,所以 ，即222a229，所以 .9,1Mm113. 答案： .解：（ ， ）2015232014()1xfxx 10x又 ， ，故 在 R 上是增函数 . ，(-)05ff()f ()10f， 的零点在 内， 的零点在 内， 的最小1()fx1,0Fx5,4ba9值为 1. 圆面积最小值为 .14. 答案： .解： 由题意，可设 ， ， ， ，其中 ，58,371ad12a181a均为正偶数，则 ， 整理得 （注d211()()8ad14()03d
12、意体会这里用“ ”而不用“ ”的好处） ，所以0a，(2)38)即 ，所以 的所有可能值为 24，26，28.当 时， ，dd 24d12a；当 时， （舍去） ；当 时， ， . 53q261085a81687q所以 的所有可能的值构成的集合为 .,3715. 解：(1) ，即 .178ab1sinco2812sinco4又 , .22sincos2 3(is)i而 ， , .(0,)4incs3inco2(2) , , . 又 , ab2sio1ta21ta. 而 ， , tna3t()11t2042， . 故 的值为 .304416. 证明 ：(1) 在 ABC 中， ABC 90,BA
13、C 60,AC=2AB,又 PA=2AB.PA=AC，又 F 为 PC 的中点， AFPC， PA平面 ABCD，PA CDACCD， PAAC A ,CD平面 PACMFEDCBAP10CDPC E 为 PD 中点，F 为 PC 中点 ，EF/CD则 EFPC AFEF F, PC平面 AEF.(2)证法一： 取 AD 中点 M，连 EM， CM 则 EM/PA EM 平面PAB， PA 平面 PAB， EM/平面 PAB 在 RtACD 中， CAD 60，AC AM， ACM 60而 BAC 60，MC/AB MC 平面 PAB， AB平面 PAB， MC/平面 PAB EMMC M，
14、平面 EMC/平面 PAB EC 平面 EMC， EC/平面 PAB 证法二： 延长 DC、AB，设它们交于点 N，连 PN NACDAC60 ，ACCD， C 为 ND 的中点 ， E 为 PD 中点， EC/PNEC 平面 PAB，PN 平面 PAB，EC/平面 PAB 17. 解： (1)设 km， ，则 . , xAN22xNDAMNC, , , Mx323.3 06432 , 或 . 0)8(x82x(2) 令 ，得 .32SAMPN.362xS0S02x解得 . 4x(3) ,令 ，12)(3xAPN)6(tx)4(. , 当 时， ,12)(ttf 23)(ttf 4t0)(tf
15、 在 上递增, , 此时 .3)(ttf427)()(minftf 6x18. 解：(1) 由题意知 ，解得 ， 故椭圆 的方程为bca22baC.(2)由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 .124yxPBPB)4(xky11由 得 . .124)(yxk， 043216)(2kxk设点 ， ，则 .直线 的方程为1,B,2yxE),(yAE.)(212y令 .将 代入，12,0yxx得 )4(),4(21xkyxk整理，得 . 由得 ，8)(421 1243,1621 kx代入，整理，得 .所以，直线 与 轴相交于定点 .xAEx)0,(Q(3)当过点 的直线 的斜率存在时，设直线
16、的方程为 ,QMNMNxmy, .由 得MyxNyx,.124)(yxm，. ，04)12(22m124xNM. , .当直线 的斜率不存在1220x2m0MN时，其方程为 . ， .则中点横坐标 .x6， 61，N10x综上： 的范围是 .01,19. 解：(1)由题意 得 ，又,ln2)(xqpxg2eqpg， ， 2epqg2eqe,e01(2)由(1) 知： ，.p,01或 xpxgln2)(显然， 的定义域为 .)(xg,2)( 2xxg12令 h(x)=px22x +p.要使 g(x)在（0，+ ）为单调函数，只需 h(x)在（0，+ ）满足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立.
17、，p),0时,2)(,0)(, xgxhg(x)在（0，+）单调递减，p=0 适合题意.当 p0 时， h(x)=px22x+p 图象为开口向上抛物线，对称轴为x= （0，+）.1h(x) min= =p .只需 p 0，即 p1 时 h(x)0，g(x) 0，1g(x)在(0,+ )单调递增，p1 适合题意.当 p1ln,()xhxax,0，h(x) 为单调增函数；当 x（1，）时，h(x)52，必有两个子集的和相等，矛盾. 若 ，则由 2+14=16 知，14、16 不同时属于 A. 由 2+13=15 知，213、15 不同时属于 A. 由 2+10=12 知，10、12 不同时属于 A. 所以此时最大的和不大于 16+15+12+9=52，而 5652，必有两个子集的和相等，矛盾. 若 1 和 2都不属于 A，则最小的和不小于 3. 于是，其和都属于区间 3，57，最多有 55个不同的和. 而 5655，必有两个子集的和相等，矛盾.综上所述， .不妨取 ， 则 ；取 则5k5k,14,16A312,A；取 所以 S 的最大值为 16+15+14+12+9=66.A10,94567P18
