1、 编号:Xxxxxxxx 学校本科毕业论文二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论院 系:数学科学系姓 名:XXXX学 号:XXX专 业:XXXX年 级:2008 级指导教师:XXX职 称:讲师完成日期:2012 年 5 月I摘 要二元函数微分学是高等数学的重点之一,理清其基本概念之间的相互关系对于认识二元函数的性质有重要的意义,只有这样才能弄清楚二元函数连续、偏导数及可微之间的关系,才能更好地加以利用.本论文将重点对它们之间的关系加以总结和探讨,并给以证明和应用举例.本论文正文主要介绍了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的基本知识.对它们分别进行了总结证明和进一步讨论,还总结二元函数连续
2、性、偏导数存在性及可微性的简单关系,并举出的例子加以论证支撑.关键词:二元函数;连续;偏导数;可微IIAbstractBinary Function Differential Calculus is one of the priorities of the higher mathematics, to clarify the basic concepts of the relationship between the significance for understanding the nature of the binary function, the only way to figure
3、out the binary function continuous partial derivatives and differentiability the relationship between, in order to better take advantage of this paper will focus on the relationships between them to be summarized and discussed, and give proof of application example.In this thesis, the text introduce
4、s binary function continuity, partial derivatives of the Existence and differentiability of basic knowledge. Them a summary of the proof and further discussion, and also summarizes the continuity of the binary function, the partial derivatives exist and micro of simple relations, citing the examples
5、 to demonstrate support.Key words: Dual function; Continuously; Partial derivative; Differentiable目 录摘 要 IABSTRACT II引 言 11 二元函数的连续、偏导数及可微三个概念的定义 21.1 二元函数的连续性 21.2 二元函数的可微性 21.3 二元函数的偏导数 22 二元函数三个概念的结论总结及证明 42.1 二元函数连续性的结论总结及证明 42.2 二元函数可微性的结论总结及证明 52.3 二元函数偏导数存在性的结论总结 103 二元函数三个概念之间关系的总结 103.1 二元函
6、数连续性与偏导数存在性的关系及例证 103.1.1 二元函数连续 ,但偏导不一定存在的举例证明 103.1.2 二元函数偏导存在 ,但不一定连续的举例证明 113.2 二元函数可微性与偏导数存在性的关系及例证 123.2.1 可微与偏导存在关系的举例证明 123.2.2 偏导连续与可微关系的举例证明 134 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性关系的概图 19结 束 语 20参考文献 21致 谢 22引 言二 元 函 数 微 分 学 是 一 元 函 数 微 分 学 的 推 广 ,因 此 它 保 留 了 一 元 函 数 微 分学 的 许 多 性 质 .但 由 于 自 变 量 由 一 个 增 加
7、到 两 个 ,从 而 产 生 了 某 些 本 质 上 的新 的 内 容 .如 一 元 函 数 微 分 学 中 ,函 数 在 某 点 可 导 ,则 它 在 这 点 可 微 ,反 之 亦然 .但 在 二 元 函 数 微 分 学 中 ,函 数 在 某 点 偏 导 数 存 在 ,推 不 出 它 在 这 点 可 微 .又 如 ,一 元 函 数 微 分 学 中 ,函 数 在 某 点 可 导 ,则 它 在 这 点 必 连 续 .但 在 二 元 函数 微 分 学 中 ,函 数 在 某 点 的 偏 导 数 都 存 在 ,却 推 不 出 它 在 这 点 连 续 .同 时 二 元函 数 微 分 学 是 高 等 数
8、学 教 学 中 的 一 个 重 难 点 ,它 涉 及 的 内 容 实 际 上 是 微 积 分学 内 容 在 二 元 函 数 中 的 体 现 ,其 中 有 关 二 元 函 数 的 连 续 性 、 偏 导 数 存 在 性 及可 微 性 之 间 的 关 系 是 学 生 在 学 习 中 容 易 发 生 概 念 模 糊 和 难 以 把 握 的 一 个 重 要知 识 点 .当 前 ,二 元 函 数 的 连 续 性 、 偏 导 数 存 在 性 及 可 微 性 之 间 的 关 系 研 究 方 面已 经 取 得 了 一 定 的 成 果 ,但 是 ,在 国 内 的 许 多 教 材 中 只 是 对 它 们 三 者
9、的 定 义 作了 说 明 ,而 对 它 们 之 间 的 关 系 很 少 提 及 或 没 有 提 到 ,在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略浅显,在 一 些 学 术 性 论 文 中 也 只 是 对 二 元 函 数 的 连 续 性 、偏 导 数 存 在 性 及 可 微 性 的 个 别 关 系 做 了 具 体 的 说 明 ,因 此 在 让 学 生 学 习 这 方面 的 知 识 时 能 达 到 对 这 方 面 知 识 可 以 做 到 全 面 的 掌 握 让 是 当 前 教 学 中 的 一 大难 题 .本 文 具 体 就 二 元 函 数 的 连 续 性 、 偏 导 数 存 在 性 及 可 微 性
10、之 间 的 关 系 通 过实 例 作 深 入 的 探 讨 ,就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究,对教材内容做一些适当的补充和扩展,为后继课程的学习奠定基础.然 后 总 结 有 关 二 元 函 数 微 分 学 中 这 关 于 二 元 函 数 连 续 性 、偏 导 数 存 在 性 及 可 微 性 这 三 个 概 念 之 间 的 关 系 ,并 对 二 元 函 数 具 体 的 实 例 详细 加 以 证 明 ,建 立 他 们 之 间 的 关 系 图 .这 样 对 有 效 理 解 和 掌 握 多 元 函 数 微 积分 学 知 识 将 起 到 重 要 作 用 .1
11、二元函数的连续、偏导数及可微性概念二元函数的连续、偏导数及可微的概念都是用极限定义的,不同的概念对应不同的极限.考虑函数 在点 的情形,它们分别为:yxf,)(0y1.1 二元函数的连续性定义 1 设 为定义在点集 上的二元函数, (它或者是 的聚点,或f 2DR0PD者是 的孤立点).对于任给的正数 ,总存在相应的正数 ,只要D,就有0(;)PU0(),fP则称 关于集合 在点 连续,在不致误解的情况下 ,也称 在点 连续.f0 f0P若 在 上任何点都关于集合 连续,则称 为 上的连续函数.Df由上述定义知道:若 是 的孤立点,则 必定是 关于 的连续点;若00fD是 的聚点 ,则 关于
12、在 连续等价于0PDfP00limPffD1.2 二元函数的可微性与一元函数一样,在二元函数微分学中,主要讨论二元函数的可微性及其应用,我们首先建立二元函数可微性概念.定义 2 设函数 在点 的某邻域 内有定义,对于yxfz,0,yxP0PU中的点 ,若函数 在点 处的全增量 可表示0PUyx00, f0z为: , BAffz,0其中 , 是仅与点 有关的常数, , 是较 高阶的无AB0P2yx穷小量,则称函数 在点 处可微,并称上式中关于 , 的线性函数f为函数 在点 的全微分,记作xy0.yBxAyxdfzP),(|00由上可知 是 的线性主部,特别当 , 充分小时,全微分 可作为dzdz
13、全增量 的近似值,即 )()(, 000yxyxff 在使用上,有时也把 写成如BAfz,0下形式 ,这里yxyBxAz0limli,0, yxyx1.3 二元函数的偏导数由一元函数微分学知道:若 在点 可微,则函数增量f0,xAxxf 0其中 .同样,若二元函数 在点 可微,则 在 处的0xfAf)(0yf),(0y全增量可由 表示.现在讨论Byz00,其中 、 的值与函数 的关系.为此,在式子 中令Bf yxyxAz,这时得到 关于 的偏增量 ,且有 或者)0(xyzxxxAzx现让 ,由上式得 的一个极限表示式0A,xyffxz0000,limli容易看出,上式右边的极限正是关于 的一元
14、函数 在 处的导数.0,f0x类似地,令 ,)0(yx由 又得到yxBAz,它是关于 的一元函数 在xffyBx 0000,limli yyxf,0处的导数.综上所述,可知函数 在点 处对 的偏导数,实际上就是把yxfz,),(0yx固定在 看成常数后 ,一元函数 在点 处的导数,同样,把 固定y0 f x在 ,让 有增量 ,如果极限存在,那么此极限称为函数 在xyyfz,点处对 的偏导数 .记作 .)(0 0,yxf因此,二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为偏导数,可定义如下:定义 3 设函数 , .若 ,且 在 的某一yxfz()D0(,)xy0,yxf邻域内有定义,
15、则当极限 存在时,ffxx 0000limli称这个极限为函数 在点 关于 的偏导数,记作 或f0,y 0,yxf),(0|yxf注意 1 这里符号 , 专用于偏导数算符,与一元函数的导数符号 相x d仿,但又有差别.注意 2 在上述定义中, 在点 存在关于 (或 )的偏导数, 至少f0,yxyf在 (或 )上必须有定义.0|),(xyx0,|)(x若函数 在区域 上每一点 都存在对 (或对 )的偏导数,fz,D则得到函数 在区域 上对 (或对 )的偏导数(也简称偏导数),y记作 或 ( 或 ),也可简单地写作 , 或 (yxf,f),(yxf,f)( xfzf, 或 ).yfzf2 二元函数
16、三个概念的进一步研究2.1 二元函数连续性的进一步研究一元函数若在某点存在左导数和右导数,则这个一元函数必在这点连续,但对于二元函数 来说,即使它在某点 既存在关于 的偏导数yxf 0,yxPx,又存在关于 的偏导数 , 也未必在点 连续.0yxf 0fyf0,yP不过,我们却有如下定理:定理 1 设函数 在点 的某邻域 内有定义,若xfz,0,yx0U作为 的一元函数在点 = 连续, 在 内有界,则 在yxf,0 y0f yxf点 连续.P证明 任取 , 则x00,0PU0,yxfyxf(1)00000, ,fxy f由于 在 存在 ,故对于取定的 , 作为 的一Pyx元函数在以 和 + 为
17、端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的拉0x格朗日中值定理,存在 (0 ,1) ,使xyxfyxfyf x00000 , 将它代入(1) 式, 得 000,ff(2)0,xyxyfxy由于 ,故 有界,因而当yx00,0PUf0,时, 有,y.00(,)fxyx又据定理的条件知, 在 = 连续,故当 时, 又有, 0,y.00()(,)ff所以, 由(2) 知, 有.000lim(,)(,)xyfxyfxy这说明 在点 连续.f,0,P推论 1 设函数 在点 的某邻域 内有定义,若yxfz0,yxP0PU作为 的一元函数在点 连续, 在点 连续,则yxf,0 0f0,yx在点 连续.0,
18、yx证明 由于 在点 连续,故 必在点 的某邻域f0yxfx,0,内有界,因而据定理1 , 在点 连续.f,0P推论 2 设函数 在点 的某邻域 内有定义. 若z,y0PU在 有界, 存在,则 在点 连续.yxf,0PU0yxfxf,yx证明 由于 存在 ,故 作为 的一元函数在点 = 连续,从0,y ,0 0而据定理1可得 , 在点 连续.f0P推论 3 设函数 在点 的某邻域 内有定义,若yxfz,0,yx0P在点 连续 , 存在,则 在点 连续.yxf,0,yxP0fyx证明 由于 在点 连续,故 必在点 的某邻域f x,0,内有界. 又由于 存在,故 作为 的一元函数在点 连续,因0y
19、yf0 而据定理1可得出 , 在点 连续.xf,xP同理可证如下的定理2及其推论.定理 2 设函数 在点 的某邻域 有定义, 在yfz,0,y0PUyxf,内有界, 作为 的一元函数在点 = 连续,则 在0PU0,yxf x0yxf,连续.yx推论 1 设函数 在点 的某邻域内 有定义, yfz,0,yP0PU在点 连续, 作为 的一元函数在点 连续,则fy,0yx0xx在点 连续.xP推论 2 设函数 在点 的某邻域内 有定义,yfz,0,y0在 内有界, 存在,则 在点 连续.yf,0U0xfxf0,xP推论 3 设函数 在点 的某邻域 有定义, ,0,PUyxf,在点 连续, 存在,则
20、在点 连续.0xP0yfxyf0y2.2 二元函数可微性的进一步研究众所周知,一元函数中,可微性与可导是一回事,但在二元函数中情况就不同了.定理 3 函数 在点 可微的充分必要条件是 在点(,)fxy0(,)Pxy(,)fxy的俩个偏导数都存在,且对 , ,当0()Pxy.000(,)(,)(,)()ffff00()x证明 必要性 已知函数 在点 可微,故 与 存在,xyxy,fy(yfx且,00000(,)(,)(,)(,)()xyzffffx其中 .xy即 000(,)(,)(,)(,)fxfyfxfy00000(,)(,)(,)(,)(yyffffx于是,当 时,有x000()(,)(,
21、)(,)fxffxyf000 0(,)(,)(,)xfffyxx000 0(,)(,)(,) ()yffyfx 000(,)(,)(,)xfxyff000,(,)(,) 0)yfffy从而当 (即 )时,0,()x000)()(,)fffxfyy即 , ,当 与 且 时,有0x0(,)x00()(,)(,)fyffxfyy所以, , ,当 与 且 时,有00x00(,)x.0()()(,)(,)fxyfffxy充分性 已知函数 在点 两个偏导数存在, , ,当,0Py与 且 时,有0x0()xy00000(,),(,)()ffffxxy令 ,则当 时,有0x000()()()(,)fxyffy
22、f于是当 时,有0(,)xy0000()(,)()xyyzfyxff 0 00,(,)(,), ()xfff x0000,(,)(,)yfxyffy 从而有 0000(,)(,)()xyyzfyxff000(,)(,)(,)(,)ffffx00 00(,)(,)(,)xfxyf xfy 00 00(,)(,)(,)()xfffx所以,函数 在点 可微.证毕.(,)fy0(,)Py定理 4 若函数 在 点处, 连续 存在(或fz0xyxf,0,yxf存在 , 连续) ,则函数 在 处可微.0,yxfxfy z0由此定理的条件仍有对一个偏导数(二元)连续性的要求.因而用来判断函数的可微性仍有较大的
23、局限性.例如:对于函数,221sin(,)0,xyfy02x有 )(1cos)(1sin2, 22232 yyxxyfx )0()(, 22xfy)(1cossin0, 22xxfx从而 )0(21cos, xxfy由于 和 都不存在,因而 和 在点 都)0,(limxfx)(li0fyx ,yfx),(xfy)0,(不连续.关于 在点 的可微性,无论是根据教材中所介绍的定理,还是,根据上述定理都不能给出肯定的结论.本文给出另一个可微的充分条件,它完全放弃对两个偏导数(二元)连续性的要求,因而对某些函数可微性的判定有独到的作用.为了叙述方便,引入如下概念.定义 如果对于函数 存在 ,使得当 时
24、,),(yxfz0y存在,且当 时,变量),(0yxf0x0000(,)(,)(,)(0,(,), xfxyfxyfyxxy关于 一直趋向于0,即对任意的 ,存在 ,当 时,对任意( )都有 成立,我们就称函数 在点 关y(,)xy(,)zfxy0()y于 对 一致可导.x类似地可定义 在点 关于 对 一致可导.),(fz),(0xy定理 5 若函数 在点 有: 存在, 关于 对yxy)(0f ),(yxf一致可导,且 在 连续,则 在点 可微.x),(fox0),fz证明: 因 及 存在,故有0y(fx(),(),), 0000 yxfyxfy ),( 00 fxf fy),(),), 00
25、 yyxfxyxf )(),(,( 0(3)其中 如前述定义,而 ( ),)(yx)(),于是有(4)0lim20yxy又因为 在 连续,故有),(0xf(5)),(),(li 00yxfxfy再由 所具备的性质知,对任意 ,存在 ,当)(x)(且 时,有 此即yx, 02y),(yx0,lim0yxy从而(6)0),(lim20yxy综合(3)(6)式即得0),(),(),(lim20000 yxyxffyxfyx可见 于 可微.),(f),0显然,调换定理条件中 和 的位置,结论仍然成立.xfy指出,尽管定理5已完全放弃对两个偏导数的(二元)连续性要求,但它所给出的条件仍然不是可微的必要条
26、件.因此,如何用两个偏导数所应具备的性质来等价地刻画二元函数的可微性,就需要进一步的探讨,这对以后仍是大我们还要有裨益的.1. 若果 在点 处不连续或偏导数不存在,则 在点 处不可f)(0yx f),(0yx微.2. 若果 在点 处连续,存在 、 ,则 在点f)(0 ),(0yxf)(0fyf处可微的充分必要条件是满足下列等价的任一式:),(0yx(1) ),(),( 00fyxfz其中20),( yxfyx (当 ),(2) ),(),( 000fyxfz yxyxfy 21), 其中 (当 时)12,推论 4 若二元函数 在 处两个偏导数 ,()zf0)0()xfy均存在 ,且 或者 存在
27、 ,则函数 在 处可0(,)yfx0,xyf,yxf ,0微.证明 不妨设 存在( 存在的情形可作类似证明).因为0(,)xyf 0(,)yxf000 (,),limxxyyfyf所以,00li(,)()xxyffy即 在 处连续.根据定理3可知函数 在 处连续.0(,)xfy0 0(,)x2.3 二元函数偏导数存在性进一步研究二元函数 在点 的两个偏导数有明显的几何意义:设xf,),(0oy为曲面 上的一点,过 作平面 ,截此曲面)(,(00yxMxfz0M0y得一曲线,此曲线在平面 上的方程为 ,则导数 , 0y)(0yxfz0|),(xyfdx即偏导数 ,就是这曲线在点 处的切线 对 轴
28、的斜率.同样,偏)(0yxf 0MT导数 的几何意义是曲面被平面 所截得的曲线在点 处的切线,0y 0M对 轴的斜率.TM我们已经知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续.但对于二元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点 沿着平行于坐标轴的方向趋于 时,函数值P0P趋于 ,但不能保证点 按任何方式趋于 时,函数值 都趋于)(pf)(0f 0)(pf.03 二元函数三个概念之间关系的总结3.1 二元函数连续性与偏导数存在性的关系及例证对一元函数来说,可导必连续.但对二元函数来说,即使 , 存在但 也不xfyf一定连续.事实上,对于
29、二元函数来说,函数在一点处的偏导数存在和函数在该点处连续是没有必然联系的.下面加以说明这个问题.3.1.1 二元函数连续,但偏导不一定存在的举例证明例 1 讨论函数 在点 处的连续性和偏导数是否存在? 2,yxg0,解: 由 20,0, limli yxgyxyx (,)可知函数 在点 连续.2,yxg0而由偏导数定义: 0(,)(0,()limxxggf x2001,lilixx该极限 不存在,同理可证 也不存在.0xg,yg所以函数 在 点的偏导数不存在.)(y,由此说明,二元函数在一点连续,偏导数未必存在.3.1.2 二元函数偏导存在,但不一定连续的举例证明例 2 函数 在点 处 ,2,
30、1xyf0x,0xfyf存在,但不连续.证明 由偏导数定义: xfffxx 0,0lim,0同理可求得 0,yf因为 2, ,0,limli0,1xxyyf故函数 在点 处不连续.2,1,fy,综上可见,对于二元函数 在某点 的连续性与偏导数存在,两者yxf,0yx之间没有必然的联系,即 在某点 偏导数存在与否,与其在该点是否0连续无关.但如果假定函数的各个偏导数有界,即有下面命题:命题 1 如果二元函数 在点 的某邻域 内的偏导数 , 有界,则f0(,)Pxy()UPxfy在 内连续.f()UP证明 由 , 在 内有界,设此邻域为 ,存在 ,使 ,xfy() 1()0Mxf,在 内成立,由于
31、yfM11 2()()(,)(,)x yZfyfyxfyMy(其中 ).120,所以对任意的正数 ,存在 ,当 时,有1,2(),故 在 内连续.(,)(,)fxyfxyf,UP3.2 二元函数可微性与偏导数存在性的关系及例证3.2.1 可微与偏导存在关系的举例证明定理 6 (可微的必要条件)若二元函数 在其定义域内一点yxfz,处可微 ,则 在该点关于每个自变量的偏导数都存在,且0,yxPf, , .000| ,xxdydfyd0fAx0,yxfB证明 由于 在点 可微,则f,)(P)(),(,000 yfz其中, 为自变量 的该变量, 仅与点 有关,而与yx,yxB(0xP无关, .若令
32、即 ,于是 ,故20y可见 ,)(xAzxAz)(,即 ,类似可证zyxf xyx )(lim|),(0),(00 Ayxf0,.Bfy,可见,对于二元函数,偏导数的存在是函数 可微分的必要条件.但),(yxfz是偏导数的存在不是函数可微分的充分条件.事实上,当一个二元函数在点 处的偏导数 都存在时, 尽管形式上可以写成式子),(yxfz),(yzx,但是它与 之间可以不是 的高阶无穷小,因而由z 2yx定义,此时函数 在点 处是不可微的 .),(yxfz),(注 1:定理5的逆命题不成立 .即二元函数 在点 处的偏导数yxf,0,yxP即使存在也不一定可微.下面用例3说明函数在一点的偏导数存
33、在,但函数在该点却不可微.例 3 证明函数 在原点两个偏导数存2,0xyf02y在,但不可微.证明 由偏导数的定义: xfffxx 0,0lim,0= 0limx同理可证 ,即在原点关于 与 的偏导数存在.0,yfy下面利用可微的定义来证明其不可微用反证法:若函数 在原点可微,则f00,0,ydfxyffdxf2yx应是较 的高阶无穷小量,为此考察极限 200limli yxdf当动点 沿直线 趋于 时,yx,x则 220,20, 1lili myxyxmyx 这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值也不同,因此所讨论的极限不存在.故函数 在原点不可微.f3.2.2 偏导连续
34、与可微关系的举例证明定理 7 (可微的充分条件) 若二元函数 的偏导在点yxfz,的某邻域内存在且 与 在点 处连续,则函数 在点0,yxPxfy0yxP可微.可微的充分条件可以改进:如果函数 满足以下条件:yxfz,1. 在点 处存在;(,)xf0()2. 在点 的某个邻域内存在;y,3. 在点 处连续;(,)f0()xy则 在点 处可微.x,证明 由于 存在,即有:0()xf0000(,)(,)lim(,)xxfxyffy即:(其中 )000(,)(,)(,)xfxyffy0limx则 0000(,)(,)(,)xfxyff由于 在点 的某个邻域内存在,不妨设 在(,)xfy (,)yfx
35、 且 内存在01|02设 并规定(),)gfx1x则 在 上每一点都存在,从而 在y20|y()gy上每一点都连续,规定:20|2y则根据中值定理存在 ,使得: (其中1y001()()ggy)10y即: 000001(,)(,)(,)yfxyfxfxy当 且2从而有 ,0010又由于 在点 处连续()(,)yyfxfx0(,)xy010f其中 20limxy则 00000(,)(,)(,)yfxyfxfxy综上所述有: 000(,)(,)ff000(,)(,)xyxyfxyfxy00(,)(,)ff又由于 220limxyxy故 在点 点可微.证毕.(,)fxy0(,)y教材中关于二元函数的
36、微分一般只是分别给出了必要条件和充分条件,对可微的充要条件涉及比较少.偏导数的存在是函数可微的必要条件而不是充分条件,但是,如果在假设函数的各个偏导数连续,则函数是可微的.但此条件给的太强,于是我们总结了判别二元函数在某点可微的一个充分条件,可对此定理的条件进行减弱,得出:定理 8 若函数 在点 的邻域G内 连续,yxfz,0,yxPyxf存在,则函数 在点 可微.0yxf f0证明 全增量 ),(,00fxz),(),()( 000 yxfyxfyxyf 这里第一个括号是当 时函数关于 的增量,而第二个括号则是当0时函数关于 的增量,对于它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理,0x得yyxf
37、yxfzx ),(, 20010 )1,0(2由于 , 在点 连续,因而有y0, ,)(010ff xx ),(, 020yxffy其中当 时, .),(,所以 xfyfzyx 00令 ,则当 时,2是关于 的高阶无穷小.事实上,由于)( 而当 时 ,即 .yx0 )(yx这就证明了 在点 是可微的.),(xfz),(0y例 4 求证 在点 可微.21sin,efy(,)证明 因为 0(,)(,)(,)limxffyfxy2201sinsilixxee201sin()limxxey2si()xey0(,)(,)liyffxyx22011()sinsinlimxyeeyy.112sincos(2
38、sinco)xxxeeyy(0y0 0(,),)(,)limlimx xfff同理 (0,)fy即 21sin,0(,)0,xeyfx(2sico),(,),xeyyfx于是 (0,)(,)0xyff又 ,201limsinye所以 在点 连续.(,)xf(0,)但 不存在,即 在 点不连续.01li2sincoyey(,)yfx0,又定理8可知 在点 可微.(,)fx(0,)显然,与传统的判别方法相比,这个充分条件更加减弱了判别条件,进一步阐明了二元函数偏导数与可微性的关系,使适用范围扩大,适用性加强.注意 这个条件是可微的充分条件并非必要条件,即 在 的yxfz,0,邻域 内 存在但 不连
39、续,但 在点 也可微.G0yxfyxfyxf,0下面我们用例5说明函数在一点可微,但它的偏导数在该点却不连续.例 5 求函数,在原点 处,(1) 是221sin,0,xyf02yx0,yf否存在 (2) 是否连续(3)是否可微.xf解 (1) 由定义知0,0,limxyfff y201sinliy所以 存在.0,yf(2) 因为当 时, 偏导数存在,故2xyxf,0,1cos1sin, 222yyfx 02yx而 不存在,故 在原点不连续.fxylim0yxf(3)法 1:因 20 0,1(,)limlimsnxx xfff20 0,(,)li liyy yfff则 0,xydffd221(,
40、)sinxfxy( )21sin2,:0从而220001sin1limllimsnfd即函数 在点 可微.,fxy,法 2: , ,()()yf0(,)(0,)lixxxyff即 , 存在,且 存在.根据推论4可知题设所给函数(0)xf()yf(,)xyf在 处可微.,fy3.3 二元函数连续性与可微性的关系及例证类似于一元函数的连续性与可导性间的关系,即二元函数 在点,fxy可微,则必连续.反之不然.0Pxy定理 9 若二元函数 在其定义域内一点 可微,则 在该点必然连yxf, yxf续.证明 事实上 , ,Az 0limzyxfyxfyxfyx ,lim0 故 在 连续.f,注意 函数 在
41、某点 可微,则 在该点 连续;但 在某点f,yxyxf, yxf,连续 ,函数在该点却不一定可微.yx,例 6 证明函数 在点 连续,但它在点 不可微.,|fxy00,证明 (1) 因为 ,故函数00limli|xxyyf f在点 连续.,|fxy0,(2) 因为 (,)(,)|fxyfxy00dfd所以 2200|limli()xyf y当动点 沿直线 趋于 时,有,x220|1li 0()xyy即 ,故 在原点 不可微.0limfd,fxy0,例 7 函数 在点 处连续,但在 点不可微.yxf),()()0,(解: 因为 )lim,li0,0, fyxfyx所以 在点 处连续.f)()(又
42、因为 ,此极限不存在;同理xxffxx 00li,li,的极限也不存在.因此不能把 的形式.)0,(yf )(yBAz4 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性关系的概图如果函数 在点 可微分,则函数在该点必连续,反之不一定,zfxy()成立.如果函数 在点 可微分,则函数在该点的偏导数必存在,反,f()之一定成立.如果函数 在点 连续,则偏导不一定存在.,zfxy()如果函数 在点 偏导存在,则不一定连续.如果函数 在点 偏导连续,则函数在该点必可微,反之不一,f()定成立.综上所述二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的关系如下图所示.偏导连续可微连续 偏导存在结束语本文对二元函数连续性、偏导
43、数存在性及可微性之间关系的讨论,根据分析可以看出二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系比一元函数连续、导数存在及可微之间的关系要复杂的多,究其原因主要在于二元函数极限比一元函数极限对自变量的要求更高、更复杂.如 只要求在 从0lim()xfx的左右俩侧趋向于 时, 趋于同一值.而对 要求点0x0x()f 0,yy以任何方式趋向于点 时, 都趋向于同一极限,任何方式包,y0yfx含了x与y的不同关系以及趋向时的不同路径,从而导致二元函数产生了二重极限与累次极限的区别,正是由于二元函数极限的这种复杂性导致了二元函数诸多关系的复杂性.依据本文的分析得出它们三者之间的关系,不但对学习是一种积极
44、的推动作用,有助于使学生对这方面的知识不会产生干扰,能较好地辨别它们之间的本质区别,使得原有知识更加牢固,也同时抓住了函数的本质.这方面的知识繁多,证明的方法难易悬殊,使用技巧各异,而且同一问题也可用多种不同方法来解决. 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间关系的知识是人类智慧最伟大的成就之一,是数学上的伟大创造,它现在广泛影响着生产技术和科学的发展,如今已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具.以上我从比较初等的方法入手,进而对二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的若干概念、定理、性质等内容这一方面的内容作了浅显的论述,将初等数学和高等数学的有关内容衔接起来,从而在整体上更好地理解有
45、关这方面的知识.至于解决具体问题时个人可依据知识的储备、问题的要求来进行方法的选择.本文列举了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性这方面的知识和证明方法,根据证明方法、举例、适用范围进行了归纳总结,力求有理论依据、有例题参考、有实用价值从定义出发证明是最“原始”的做法,不易被人想到,但它在证明中确有其优势.证明的方法应该还有很多,对于其它新的方法有待于进一步探索与研究.为此,我们有必要学习好、掌握好二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系这方面的知识,配以先进的管理观念和现代化的通信、网络、计算机技术,尽可能的把这些知识灵活运用推广,满足其他行业对这些知识的需要,创造更好的经济效益和社会效益.参考文献1 华东师范大学数学系. 数学分析(下)M . 北京: 高等教育