1、莘县一中课时教案2015 年 3 月 25 日 第 3 周课题 正切函数图像与性质 课型 新授教学目标 （1）能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义；（2）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（3）掌握正切函数的图像的基本性质；（4）体会用数形结合的思想理解和处理问题。重点 正切函数的图象及其主要性质难点利用正切线画出函数 y=tanx， 的图象，对直线 x= ， 是 y=tanx2kZ的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。教 学 过 程同学们，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。今天我们将类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习另外
2、一种三角函数，就是任意角的正切函数，正切函数的图像如何画？正切函数具有哪些性质？这就是本节课要学习的内容。请同学们先自己阅读教材 P35的内容，并思考以下问题：问题一： 正切函数如何定义的？正切函数的定义域是什么？教师提问，并及时对学生的回答进行客观和鼓励性的评价，最后教师进行总结和归纳。归纳：在直角坐标系中，如果角 满足：R， k(kZ)，那么，2角 的终边与单位圆交于点 P（a，b） ，则 ytan= 是角 的函数，我们ab把它叫作角 的正切函数，其中定义域是 k，kZ.教 学 过 程问题二：正切函数是不是周期函数？若是，最小正周期是什么？由于正切函数是周期为 的函数，所以我们类比研究正弦
3、函数的图像的方法，选择一个周期内来作正切函数的图像，然后向左右进行延伸即可。教师引导学生采用正切线作出图像问题三：正切函数是否具有奇偶性？如何判断？从定义域、和奇偶性的定义考虑。回顾我们前面学习的正弦函数的图像采用几种方法做出来的？能否采用类比思想划出正切函数的图像？类比前面学习的正弦线我们学习角的正切线。请同学们继续阅读教材 P35的内容，归纳总结出正切线的做法和规律性。如下图，单位圆与 x轴正半轴的交点为 A（1 ,0） ，任意角 的终边与单位圆交于点 P，过点 A（1 ,0）作 x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于 T点。从图中可以看出：当角 位于第一和第三象限时，T 点位于 x轴
4、的上方； 当角 位于第二和第四象限时，T 点位于 x轴的下方。分析可以得知，不论角 的终边在第几象限，都可以构造两个相似三角形，使得角 的正切值与有向线段 AT的值相等。因此，我们称有向线段 AT为角 的正切线。教师对学生的回答进行归纳总结，对正切线的作法进行强调说明，尤其是角在第二、三象限时是过 A点向终边的反向延长线作垂线，不是向终边作垂线 问题四：如何利用正切线画出函数的图像？ 1，利用正切线作 ， 的图象tanyx2,(1) 等分：把单位圆右半圆分成 8 等份。(2) 作正切线教 学 过 程2, 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且 的图像，称“正切曲线”Rx
5、ytanzk23,从上图可看出，正切曲线是由被相互平行的直线 x k(kZ)隔开的2无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。问题五：你能利用正切函数的图像得出正切函数性质吗？教师引导学生利用正切函数的图像得出性质：（1）定义域： ；（2）值域：Rzkx,2|（3）周期性： ；（4）奇偶性：由 知，正切函数是奇Txtanta函数；（5）单调性：在开区间 内，函数单调递增。 (6)zk2,渐近线方程：。 （7）对称中心： 问题六：在做正弦曲线时有“五点法”，请同学们思考怎样快速作出正切曲呢？（教师引导学生得到正切曲线的方法：三点两线法。 ）例 1、 tan()4yx求 函 数 的 定
6、 义 域 .教师展示例题后，先让学生自己分析思考，然后找学生到黑板上进行演算，最后对学生的演算进行客观和鼓励性的评价。对学生出现的问题进行纠正，并且写出规范的解题过程。xy2Z,2kx(0)较 01、 比 大 小 ：()tan38_143。 72-()5教学过程例 2、不通过求值，比较下列各组数的大小.（1） tan167与 tan173；（2） 与1ta13tan5教师展示出问题后，让学生自己总结归纳，提炼知识，然后教师根据时间提问学生（1）请同学们回顾本节课所学过的知识内容有哪些？学到了哪些主要数学思想方法？（2）在本节课的学习过程中，你还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你自己认为自己在这节课中的表现怎样？有什么收获？你最深的体会是什么？课题：7.1 正切函数的图像及其性质1，正切函数的定义 2，正切线的作法3，正切函数图像 4，正切函数图像的性质5，例题分析 6，课后思考题
