1、www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 1 页 共 5 页 教数学 用华软函数的单调性与奇偶性知识点回顾山东省 王光天 林敬霞函数的单调性与奇偶性是函数的重要性质，函数的单调性、奇偶性揭示了函数的基本特征，是研究函数的重要方面，几乎是每年必考的内容，例如判定或证明函数的单调性（或奇偶性） ，求解单调区间，利用单调性求最值，求参数的取值范围，利用单调性奇偶性解不等式等，高考试题中既有选择题、填空题，又有解答题。考点一、单调性的判定与讨论例 1、（2005 年上海）若函数 ，则该函数在 上是12xf,A 单调递减无最小值 B 单调递增有最小值 C 单调递增无最大值 D
2、 单调递增有最大值解析：利用基本初等函数的单调性作出判断，再由单调性研究最值， 在 R 上递增且大于 1 在 R 上递减，21xt12xf且 故 在 R 上既无最大值，也无最小值，故选 A0xfx解题回顾：本题主要考查函数的性质等基础知识，注意结合基本初等函数的单调性。（2006 年海淀区）函数 的图象如图，则函数,fxlogaxfx的单调减区间是01aA B C D ,2,1a1,0,)2,1a解析： ， 在 上是减函数，根据复合函数的单logxfx调性及图象知，当 ，即 时0la,1a所以， 为减函数，其单调区间为 。x解题回顾：本题考查了复合函数的单调性的判定，利用基本初等函数的单调性，
3、借助复合函数结构形式，从而判定复合函数的单调性。、已知 ，求 的单调递增区间。2 28,fxxgfxgx解析： 24288g/ 2341xfxx由 ，可得： 或/00所以， 的单调递增区间是 ， 。gx,www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 2 页 共 5 页 教数学 用华软解题回顾：当函数 可导时，可利用导函数的符号来确定单调性，注意先求fx函数的定义域，若列表便可使这一解题过程简洁明了，同时也可以反映出该函数的一些极值。考点二、函数奇偶性的判定与证明例 1、判定下列函数的奇偶性，并说明理由 32fx12xf221fxx解析：函数的定义域为 R，它关于坐标原点
4、对称又 即333f ff所以函数 是奇函数。2fx 的定义域为 ，关于原点对称f|0又 1121022xxxxxfxf 即 故函数 是奇函数。fff 的定义域为 ，关于原点对称x1,又 ，即 且0ff1ff1ff所以， 既是奇函数，又是偶函数。x解题回顾：判断函数的奇偶性时，首先要检查定义域是否关于原点对称，然后判断 与 的关系，若 成立时，则函数为奇函数，fffxf若 时，函数为偶函数。x、 （06 年上海题）函数 若对于任意实数 都有 ,fR,abfbfafb求证： 是奇函数x证明：因为函数 的定义域为 R，所以关于原点对称f设 ，则 0a0bfb0f又设 ，则 ,xxfxf所以， 是奇函
5、数。f函数 若对于任意实数 ，都有,R12, 1212ffxwww.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 3 页 共 5 页 教数学 用华软求证： 是偶函数12fxfx证明：因为函数 的定义域为 R，所以关于原点对称f令 得，120, 20ffx令 得，xfx解方程组得：所以， 是偶函数f设函数 是定义在 上x,l证明： 是偶函数， 是奇函数。fffxf证明：对任意的 ，也必有 ，可见 的定义域也是,l,lfx，,l若设 ,FxffxGfxf则 与 的定义域也是 ，显然是关于原点对称的区间,l且 ffffFxGxxG所以 为偶函数， 为奇函数。FG解题回顾：若两函数都定
6、义在同一关于原点对称的区间上，则两个奇函数的和为奇函数；两个偶函数的和为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。考点三、函数的单调性、奇偶性的简单应用例 3、（06 年北京模拟）若 在 上是递减函数，212fxax,4则实数 a 的值的集合是 。解析：有函数的解析式 的递减22 21f a区间为 在 上是递减函数,11xax,4 即 4a43故 的集合是 。a|3解题回顾：解答此题，需要分清函数 的递减区间是 与 是fx,1a,4减函数是两个不同的概念，否则得到 ，即 的错误答案，显然，1a上面的解法应是函数在子区间单调性的性质。（06 年山
7、西模拟题）已知奇函数 在定义域 内递减，求满足fx2,www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 4 页 共 5 页 教数学 用华软的实数 的取值范围。210fmfm分析：为了求得 的取值范围，需将 从函数符号 下人力出来，依据单调性f及奇偶性产生关于 的不等式，最后结合定义域便可得 的取值范围。m解析：因为函数 在定义域fx2,有 解得：21m13m又 为奇函数，在 上递减，fx, 即 222111ff1m综上所述，实数 的取值范围是 。m解题回顾：根据函数的单调性，函数值的大小的比较与自变量大小的比较可以互相转化运用，但必须注意函数的定义域。（06 年山东模拟）函
8、数 对任意的 都有 ，fx,abR1fabffb并且当 时，0x1求证： 是 R 上的递增函数；f若 ，解不等式 。452(3)3fm分析：对于抽象函数的单调性的证明，要利用单调性的定义。将函数不等式中抽象函数符号“ ”运用单调性“去掉” ，为此将右边f的 3 看成是某个变量的函数值。证明：设 ，且 ，则 12,xR12x210xA21fx2 11()()()()fffff210x2x即 是 R 上的递增函数； f 415fff23f原不等式可化为 2(3)3mf 是 R 上的递增函数，fx2解得： ，故解集为4134(1,)3解题回顾：对于函数不等式的求解，总是设法去掉抽象函数的符号，转化为一般的不等式（组）求解，但必须注意所有的解答函数的定义域内进行。www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 5 页 共 5 页 教数学 用华软
