1、1奥运会临时网点设计的数学模型摘要本文在对比赛场馆周边场所建临时商业网点的分布问题进行分析的基础上，通过合理假设建立了该问题的数学模型，解决了题目中的几个问题。对问题一，我们通过软件 Excel 的强大功能对题目给定的数据量进行统计，得出关于人流量，出入方式，就餐情况等的规律；对于问题二主要根据地理位置，选用最短路程，并利用问题一中的数据算出图二 20 个商区的人流量的分布；对问题三，通过假设简化观众的活动内容和顺序，突出主要因素，通过假设 MS 的供给量，处理了商业赢利问题。在此基础上给出了一个合理的优化模型，通过求解获得了比较合理的网点分布方案。该方案满足题目的基本要求，因而是比较合理的。
2、在假定大型 MS 和小型 MS 的最大价值量（以货币形式计量）分别为 100 万元和 50 万元的情况下，我们可以保证在均衡条件下在 A 区共建大 MS20 个，小超市 8 个，分布 MS 的最多的商区与最少商区之差为 2，表明该分布均衡；在 B 区共建大 MS11 个，小超市 2 个，分布 MS 的最多的商区与最少商区之差为 2，表明该分布均衡；在 C 区共建大 MS7 个，小超市 4 个，分布 MS 的最多的商区与最少商区之差为 1，表明该分布均衡。2一、问题的提出奥运会比赛场馆周边地区通常需要建立临时商业网点（MS） ，以满足观众、游客及工作人员的购物需求，针对题目的实际情况，需解决以下
3、几个问题：1根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。 2假定奥运会某一天，每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，且出行均采取最短路径。依据 1 的结果，测算图中 20 个商区的人流量分布（用百分比表示） 。3如果有两种大小不同规模的 MS 类型供选择，给出图中 20 个商区内 MS 网点的设计方案（即每个商区内不同类型 MS 的个数） ，该方案在地点、大小类型和总量方面满足购物需求、分布基本均衡和商业上赢利三个基本要求。4阐明所采用的方法的科学性，并说明其结果是贴近实际的。二、问题的分析对第一个问题，采取 Excel 工具，容易得出观众在出行、用
4、餐和购物等方面的规律。对第二个问题，是通过对出行方式与餐饮的不同，从而导致人流的不同，我们通过合理的分析抓住它的主要矛盾： 餐饮对人流的影响是主要方面，通过对问题一的研究我们提取出不同餐饮在人们中的比重，从而可以得到人们在各个商区人流量的分布。对第三个问题要完成的设计方案是在满足三个条件前提下所建网点最少。该问题可以转化为尽量满足赢利、购物需求、分布均衡下的网点个数。按照这种方法求得网点分布方案是符合要求的此虽不一定为最优解，但属于一种非劣可行解。为了简化起见，我们从以下几方面进行考虑：1. 影响网点设置的主要因素是观众的需求和 MS 网点（大或小）的供给量，现实生活商区2. 由于三个比赛场馆
5、有一定距离，所以三个场馆分别考虑有一定合理性。3. 由于此主要是根据三个要求确定 MS 网点方案。因此可以将观众中供给一般以商品数量体现，而在该问题中，需求可以用消费者的消费额来代替，由于不同消费者的消费额不同，因此，若求得消费者的消费值期望，则可以将一个 比赛场馆的总需求算出，再根据人流将其分配到各个的活动的活动内容及顺序简化为“观看比赛购物用餐”三个部分，而在观看比赛与用餐后的活动不予考虑。4. 根据用中，西餐与商场餐饮在观众中的比例，获得人流，进而可以确定每个商区的需求额，然后，根据大，小 MS 的供给量获得 MS 的个数。三、模型假设1假设观众的活动内容及次序为观看比赛，出来购物，用餐
6、，而不考虑观众在看比赛前与用餐后的活动内容。2每个体育场馆的人不与其他场馆发生人流，即 A 区、B 区、C 区的人不会影响到它本身以外，人流只在本区内发生变化。33在同一个区内，影响人流的只有就餐，而出行方式不考虑，我们假设人们只有在外出吃饭的过程中才会购物，进而影响人流的分布。4假设人在流动过程中，在所路过的超市发生购物的机会是均等的，所以我们将流动的人口平均分到每一个商区中。5人流量我们认为是在超市发生购物关系的人，我们假设他只发生一次购物，所以当他流动到其它超市时不考虑已购物人群的人流。6 各个场地及看台上观众在年龄、出行方式、餐饮方式及消费额上数据的比例完全由调查数据决定。四、符号说明
7、mi：第 i 个商区大型 MS 的个数；ni：第 i 个商区小型 MS 个数；p：大型 MS 的最大价值量（即一个超市能提供最多商品的货币表现，以货币形式计量） ；q：小型 MS 的最大价值量；Ri：第 i 个商区的人流量；E（ ）：平均每个人的消费期望；B：大 MS 的最小消费额（在赢利前提下最低的消费额） ；L：小 MS 的最小消费额； 五、模型的建立对问题 1，我们引用 Excel 对给出的数据进行了归类，总结，统计处理，获得以下观众在出行，用餐和购物方面的规律（有关表格和数据见附录）在出行方面：喜欢坐南北公交的占.；喜欢坐东西公交的占.喜欢坐出租车的占.其中女性占的 66.27%，喜欢
8、坐私车的占.女性占 66.9%，喜欢坐地铁东的占.，喜欢坐地铁西的占.，其中岁以下的占.，岁以下的占.；在用餐方面：喜欢中餐的占.，喜欢西餐的占.，喜欢商场餐饮的占.；在消费方面：消费等级为的占.，消费等级为的占.，消费等级为的占.，消费等级为的占.，消费等级为的占.，消费等级为的占.消费等级高的女性占的比例大。对问题，要得出每个场馆中每个商区的人流分布,由题设我们得知每一个出口对应一个商区，每个看台容量为 10000 人，所以当人们从场馆出来时根据假设我们知道每个商区为 10000 人由假设 2 和假设.4，和关于人们就餐方式比例可以得不同餐饮在商区中的人流分布，如下：: 西餐:A 1=43
9、82=876A2 =A10=438+1050=1488A3 =A9=438+1050+1313=2801A4 =A8=438+1050+1313+1751=45524A5 =A7=438+1050+1313+1751+2626=7178A6=4382+10502+13132+17512+26262+5252=19608中餐:A 6=1872=374A7= A5=187+449A8= A4=187+449+562=1198A9= A3=187+449+562+749=1947A10= A2=187+449+562+749+1124=3071A1=1822+4492+5622+7492+11242
10、+2248=8372商场:A 1=2082=416A2 =A10=208+500=708A3 =A9=208+500+625=1333A4 =A8=208+500+625+833=2166A5 =A7=208+500+625+833+1250=3416A6=2082+5002+6252+8332+12502+2501=9333由于某个商区的人流是由这三种餐饮共同决定，所以每个商区人流量是三者之和，故有下表：商区 人流量（人数） 人流量（百分比）A1 9664 9.664%A2 5267 5.267%A3 6081 6.081%A4 7916 7.916%A5 11230 11.23%A6 29
11、315 29.315%A7 11230 11.23%A8 7916 7.916%A9 6081 6.081%A10 5267 5.267%西餐:B 3=6562=1312B2 =B4=656+1750=2406B1 =B5=656+1750+2626=5032B6=6562+17502+26262+5251=15315中餐:B 6=2812=562B1 =B5=281+749=1030B2 =B4=281+749+1124=2154B3=2812+7492+11242+2248=6556商场:B 3=3122=624B2 =B4=312+833=1145B1 =B5=312+833+1250=
12、2395B6=3122+8332+12502+2501=7291商区 人流量（人数） 人流量（百分比）B1 8457 14.09%5B2 5705 9.51%B3 8492 14.15%B4 5705 9.51%B5 8457 14.09%B6 23168 38.61%西餐:C 2=8752=1750C1 =C3=875+2625=3500C4=8752+26252+5251=12251中餐:C 2=3752=750C1 =C3=375+1124=1499C4=3752+11242+2248=5246商场: C 2=4172=834C1 =C3=417+1250=1721C4=4172+125
13、02+2501=5943商区 人流量（人数） 人流量（百分比）C1 6720 16.8%C2 3334 8.33%C3 6720 16.8%C4 23440 58.6%问题 3：根据假设 4 将三个区分开考虑先考虑 A 区根据问题 1 和 2 的结论,求各商区的大小超市个数,MS 满足三个要求,一,购物需求,二分布基本均衡三,商业上盈利,首先从购物需求看,我们引入衡量超市最大价值量的因素 imp+ni q,并通过与该商区的购买潜力进行比较得出:p+ni q Ri E（ ） im其次，我们分析超市均衡分布的的情况，为了使 MS 数量尽量均衡应有如下约束： Mi 1；M i= mi+ ni我们可以
14、使超市分布好的情况下尽量使最大个数和最小个数之间的差尽可能的小：minmax（m i+ni ）- min（m j+nj ） 103,2103,2min )n(1iii最后我们考虑盈利的问题我们假设超市有一个最低销售量 Di 只有商区内的消费潜力超过了这个最低限度，我们才认为它盈利，根据上述假设，可以得到以下表达式：mi B+ni L Ri E（ ） 6最后我们得出模型：(针对 A 区)目标函数： minmax（m i+ni ）- min（m j+nj ） 103,2103,2min )n(10iiis.t. 为 整 数 nm1+)(ERi qpLBiii 六、模型的求解计算人均消费的期望，对于
15、不同等级，消费数目在同一等级服从均匀分布E（ ）= ，所以分别为 E（ ）：50，150，250，350，450，500。2abE（ ）=50 18.96%+150 25.28%+250 44.04%+350 9.27%+450 1.48%+500 0.97%=201.455（元）p,q 取值的不同直接影响到 MS 的个数及大小分配，为此，我们假设给定：p=100 万，q=50 万 我们根据某商区的购物潜力，先建大型 MS 使其达到最大值，然后根据建 MS 后剩余的购物潜力，以及占总购物量的比例来决定是用一个大 MS 还是一个小型的 MS，即：如果(R i-100m ) 50 则再增加一个大
16、MS,否则增加一个小的 MS.根据上述办法可得下表:商区 大型 MS 小型 MSA1 2 0A2 1 1A3 1 1A4 2 0A5 2 1A6 6 0A7 2 1A8 2 0A9 1 1A10 1 17以上得出的结果我们只使考虑了 mi p+ni q Ri E（ ） ，m n 为整数等约束条件，对于它是否盈利还未做任何判定，下面我们就盈利情况作出解答：假设 Bi=80 万 L=32 万,由 我们去衡量所有商区的情况这时我们发现)E(Ri Ln+m ii 或 ,不符合444 )E(R Ln+B 888这个约束条件，因此我们必须对这些解进行人为的调整，即：)(i ii把一个大 MS 换成几个小
17、MS 可以得到调整后的商区 MS 数量商区 大型 MS 小型 MSA1 2 0A2 1 1A3 1 1A4 1 1A5 2 1A6 6 0A7 2 1A8 1 1A9 1 1A10 1 1最后我们得出了 MS 数量但这并不是最终的解，我们还应该考虑均匀分布的限制，我们应该使其满足 minmax（m i+ni ）- min（m j+nj ） 103,2103,2min )n(10iii这样得到的解才比较合理。从表中我们可以看出 A6 ，B 6， C 4这三个地方明显失衡所以我们对这三点进行适当调整，即向它临近的两个商区调整，调整后见下表商区 大型 MS 小型 MSA1 2 0A2 1 1A3 1
18、 1A4 1 1A5 3 1A6 4 08A7 3 1A8 1 1A9 1 1A10 1 1由于 A、B、C 三个区是分开考虑，对于 B、C 区有同样的模型，求解同 A 区。得到如下结论对 B 区：商区 大型 MS 小型 MSB1 2 0B2 1 1B3 2 0B4 1 1B5 2 0B6 5 0商区 大型 MS 小型 MSB1 2 0B2 0 1B3 2 0B4 0 1B5 2 0B6 5 0商区 大型 MS 小型 MSB1 3 0B2 0 1B3 2 0B4 0 1B5 3 0B6 3 0对 C 区：商区 大型 MS 小型 MSC1 1 1C2 1 0C3 1 1C4 5 0商区 大型 M
19、S 小型 MSC1 1 1C2 0 29C3 1 1C4 5 0商区 大型 MS 小型 MSC1 2 1C2 0 2C3 2 1C4 3 0最后我们认为得出的解是一组比较好的结果。七、模型的科学性评价对于本文中的临时 MS 的规划问题，首先，对问题一，我们在统计上，从出行，就餐，购物等主要的人流影响因素出发是合乎科学性的。对这些因素在统计数量上，采用不同因素之间进行统计是合乎因素之间对人流量的整体影响效应的。其次，对于问题二，合理假设人流量的影响只和就餐有关，原因在于，实际的奥运比赛中人们在出行时的主导因素应为观看比赛而非购物，也就是此时的购物期望值很低，而相比于就餐的目的，就餐本身与购物的联系性，尤其是在国际式的比赛，就餐的购物期望值会很高，因此此处考虑的因素会与实际的情形相合，考虑人流分布呈现均匀性时，依照实际的场景也很想合。最后，对于问题三，考虑超市的三个基本要求，从价值的大小的角度进行比较，得出相对的量化，与实际的结果较相合，采用带定一些常量，只是利用相对固定的方法来得出相对不固定的值，最终通过带定实际的真值可以比较容易的反应实际结果。参考文献1姜启源，数学模型，北京，高等教育出版社，2003 年 8 月。2叶其孝，大学生数学建模辅导教材，湖南，湖南教育出版社，2002 年 7 月。3蔡锁章，数学建模原理与方法，北京，海洋出版社，2000 年 6 月。
