1、基于卡尔曼滤波器的 PN 码时延和多径的联合估计RONALD A. ILTIs, MEMBER, IEEE摘要 存在多径的时延估计问题一直是被很关注的。它表明,扩展卡尔曼滤波（EKF）可用于获取通道可以当抽头延迟线模型的确定性信号的到达时间和多径系数的联合估计。仿真结果提出了用于同步直接序列（DS）, 超过频率选择性衰落信道扩展频道系统运行的 EKF 的联合估计。一个 EKF 的联合估计简化模型被认为是分析的目的。跟踪误差的概率密度函数和非线性跟踪误差方差的时间演化审查通过的 Chapman-Kolmogorov 方程的数值解。最后,非线性跟踪误差方差相比,线性误差方差直接估计 EKF 值与
2、Cramer-Rao 下界。一引言频率选择性衰落,常可导致在宽带通信系统中严重的性能退化。虽然自适应均衡和多样性相结合技术已被广泛研究,但是在提高整体接收机的性能方面 ,优化同步系统的频率选择性通道已经开始实施。例如,在直接序列扩频系统 ,延迟锁定环（DLL）已被考虑成几乎完全由代码同步发生,即使 DLL 不是被设计为操作当前情况下的信道衰弱。然而,随着高速可编程和专用 VLSI 数字信号处理设备的问世, 现在更复杂的同步算法可以实现在过去被认为是不切实际的问题。确定性存在的多径信号的最佳同步的具体问题显然首先是在4处理, 开发延迟和多普勒的最大似然（ML）估计。但是,在4估计技术是“开环”,
3、 并进一步要求先验知识的通道散射函数。此外,4中还有对延迟和多普勒估计量化,因此,这种技术似乎更适合初始粗收购,而不是延迟跟踪。联合时延和相位估计的问题也被认为是在5 和6, 但对同步的影响,多径处理仅在后者的参考。具体来说,自适应均衡器被用来抑制多径分量,优于延迟估计6, 但没有试图联合估计多径延迟参数。这里提出一种新的闭环估计用来联合估计到达时间,以及, 在宽带通信系统的多径参数。它显示在第二节的联合估计问题,可以直接使用扩展解决。文章摘自IEEE 通信学会编辑信号设计 ,调制, 检测。1988 年 9 月 6 日出版,1989 年 5 月 8 日修订。这项工作是有 UC MICRO 和
4、Sonatech 赞助, 作者来自美国加州大学圣巴巴拉分校加利福尼亚 93106 部,电子计算机工程。卡尔曼滤波器,它可以作为一个线性近似的最大后验（ MAP）的延迟参数估计。我们注意到,最佳阶段（或等价的,延迟）估计的问题就是首先使用非线性卡尔曼滤波7解决方法 8。在这里 ,我们表明,采用这样的递归估计技术中存在的多径时延估计问题导致实施的递归时延和多径参数的联合估计。伪噪声（PN）在直接序列扩频接收机码同步的问题被视为一个 EKF 的时延估计的具体应用。第四节提出了一种通过查普曼 - 柯尔莫哥洛夫（CK ）方程的数值解得到了简化 EKF 的估计的非线性分析。在跟踪误差的概率密度函数的时间演
5、化为各种固定多径信道和信号信噪比研究。最后,获得通过的 CK 方程解的非线性跟踪误差方差与 EKF 的误差方差估计的扩展卡尔曼滤波（线性）的Cramer-Rao 下界相比较。二EKF 的联合估计的发展A信号和信道模型收到了频率选择性衰落信道传输的波形,正交下变频 ,然后在奈奎斯特速率采样。我们将家丁该通道是广义平稳的,就是多普勒蔓延是明显比信号带宽较小。因此, 如所示9,CH 。 71,通道可以代表随时间变化的抽头延迟线的脉冲响应：其中 T,代表奈奎斯特采样间隔为发射波形,Nr 是接收路径的数目,FN（T ）代表复值的时变信道系数。让 S（T）代表传输的波形 ,然后用 T,奈奎斯特采样间隔,采
6、样波形可以写成：7（K）代表未知的信号延迟和 8 个是随机的整体阶段。添加剂的热噪声,带限的奈奎斯特频率是 N（K）,由相关功能表示：ij,表示克罗内克 函数。立即显示出复杂的阶段 EIE 可以吸收到复杂的价值系数 f。因此,T 和 F 的联合估计,将隐式提供一个连贯的相位参考。B.EKP 的问题制定鉴于收到的波形样本 （K）,目标是获取多路径和延时参数的最小方差估计,记成：因为 I= 0,1, N - 1。通道系数和延迟假定服从以下的动态模型方程：为 I= 0,1,。 。 。N-1,W,（K）和 W（K）是相互独立的圆形高斯白差异 进程和 U 分别。请注意,（4）为 f（K）对应不相关 的
7、Rayleigh 散射通道模型。系数阿尔法是解释定义多普勒通道蔓延的系数,并且接近统一当多普勒扩展是显著少于奈奎斯特带宽 1/2T 时。延迟 t（K ）一阶自回归（AR）的过程中 ,Y 和 U,调整发射器和接收器定时抖动为蓝本。例如,可以忽略不计的多普勒频移和稳定的本地振荡器,Y 将设置成接近统一,和 U,将相对较小。但是,如果由于较大的发射机和接收机的相对速度产生较大的多普勒位移,那么接收机的变量 U 将会模拟这种效果。延迟和信道系数的一阶 AR 模型只是一个随机过程产生的近似实际的统计数字。然而,这个简单的模型在精确性逼真性上仍远远超过在 ML 估计方法。此外,使用的信道系数的高阶模型需要
8、详细的 U 通道散射函数的先验知识。具体来说,在通道系数 n 阶 AR 模型 ,根据 F,（K）传播：系数 a,（N） ,然后必须使用散射函数的频谱分析。相比之下,第一阶模型只需要系数 CY,F,（K）过程的带宽选择,使之等于多普勒蔓延 ,至少在大多数应用中,这是众所周知的。在以下的模拟和分析,我们把自我限制以一阶 AR 模型的延迟和道工序,虽然它在下面的推导表明高阶机型也可以纳入到 EKF 的。但是,通过模拟真实的通道数据使用高阶模型获得性能的改善必须进行评估。在这里,我们关注的基本推导和联合延迟/信道估计的性能分析,更为广泛的模拟必须推广到今后的工作中。联合估计的 F（k）和 t（K）参数
9、使用卡尔曼滤波器的动机是明显的。具体来说, 它可以表明,卡尔曼滤波提供了最小方差,因此 MAP 的估计LO,CH。14 和17一组状态变量（多路径和延迟系数）,保证下列条件成立：1）状态变量 F,（k）和 t（K）是高斯 - 马尔科夫随机过程,并且2）观测 T（K ）是加性高斯测量噪声情况下是线性的状态变量。显然,条件 1 几乎满足许多实际应用中,事实上,进程 F,（K）是高斯 - 马尔科夫瑞利非相关散射的具体情况。然而,从（2）可以看出,r （k）被认为是线性的通道系数,它是在延迟变量 T（K）的非线性。因此, 我们寻求的是 T（K）和f（K）状态变量近似最优的非线性最小方差估计的联合估计的
10、递归算法。扩展卡尔曼滤波是一种当观测序列中状态变量是非线性的时候,实用的近似最小方差估计, 11。 EKF 的利用状态向量的预测值观测序列的一阶泰勒级数展开, 因此不接近真实的最小方差估计,除非是微不足道的线性化误差。然而,由此产生的 EKF 的过滤器结构很容易实现,并且将提供性能几乎相当于联合延迟/多径估计问题的线性理论预测。此外,EKF 的已成功地应用于相位估计的问题和FM 解调78,因而其应用的时延估计问题似乎是合理的。EKF 的更新方程现在简要回顾了延迟跟踪问题（详见11）, 状态模型是线性的, 而测量模型是非线性的。因此,我们有了：其中 x（K）表示 NF +一维状态向量和 z（K）
11、是目前收到的奈奎斯特采样相应的标量测量。先前前的符号的对应关系如下请注意,当一个信道系数的高阶模型假设,如（5）,状态向量 x（K）和矩阵F 和 G 必须修改。为方便起见,下面的公式显示为第二所需的变化,为了将 AR 模型推广到任意顺序。这些修改是 EKF 的推导的唯一需要，以适应任意阶 AR 模型的信道系数的变化。标量测量 Z（K）是一个状态 x（K）的非线性函数。在 EKF 的，约一步预测 2（K 我 K - 1）使用前两项泰勒级数展开如下线性测量：（9）中线性卡尔曼滤波器测量更新方程可写为11矩阵 H（K）代表一个步预测矢量观测标随时间变化的梯度。最后，状态向量和误差协方差矩阵的预测，按
12、照通常的卡尔曼滤波器的形式：当代入上面的方程 X（K ）和 H（X（K ），得到以下测量更新方程联合延迟/ 多径估计：创新方差（K 我 K - 1）*2 给出：注意，A2（K | K - 1）是一个标量，从而矩阵反演不需要，作为将是为 vector_测量的情况。一阶预测更新 T（K +11 K）和 FR（K +1| K）（12）获得。但是请注意，而 t（K| K）是复杂的值，单步预测是真实的价值，从而三PN 码同步使用的 EKF 的联合估计A确定问题作为具体应用 EKF 的联合延迟/多径估计，目前被认为是伪噪声码同步中存在多径问题。在 DS 扩频，传输 PN 波形给出：E，每比特能量TB：位时
13、间DN =+_1：数据序列CK=+_1：形成 PN 序列的二进制芯片TC：芯片时间LPN：PN 序列的芯片数量和芯片/位且：起初，显示出的 EKF 不能因为脉冲函数 PA（t）是不可微的二进制调制波形的实施。然而，这种困难是规避地指出，任何数字接收机必须限制最低的输入为1/2Ts，赫兹，其中 Ts 为采样间隔的输入。奈奎斯特频率为 PN 波形，采取1/Tc 赫兹的 PN 功率谱密度的主瓣带宽。因此，T= T/ 2，正交下变频和乃奎斯特采样后，接收到的波形给出为其中 HTP（t）为低通滤波器的冲激响应，给出（19）在卷积评价得到以下表达式为 S（T）：当请注意，S （T）现在是一个可微函数，从而
14、可以评估梯度向量 H（K）（11）。在表达为 S（T） ，二进制数字 DN 携带的信息和假设未知的先验。然而，EKF 的推导假设，信号 s（t）是确定性的。因此，实际的 EKF 的延迟估计将使用最适合的决定，哮鸣音的实际信息迪是由决策迪取代的符号。这些决定是最佳获得一个连贯的 RAKE xpxiver9，CH。7这反过来使用的估计 T（K | K）和 fr（ K| K）调整相关器的参考信号的时序和连贯总结相关器输出。B仿真实例 - 多径的 PN 码跟踪EKF 的联合时延和多径估计的 PN 码跟踪问题的模拟。在下面的例子里标明，处理增益，LPN 被固定在 15chips/位，每个位，EB，表示能
15、量变化，以评估在各种信噪比的估计性能。因此被定义为：（1 ）多径信道冲激响应。然而，它会假设多普勒蔓延 L / TB 赫兹，在 EKF 的对应几乎恒定的通道系数和常数延迟的情况下，信息信号带宽使信道系数 FR（K）是在模拟时间常数相比是微不足道的。在模型方程为F /（k）和 T（K）（4） AR 参数设置如下：AL= 0.999 =0.999*w2t=0.001代尔塔 t=0.001以模拟分析为目的，在第四节中，两个固定的频道被无限延伸的传递函数以“最坏的情况”选择（图 1 和 2）。频道（通道）特性总结如表 1。图。3，模拟跟踪误差轨迹显示的 Eb /=10 dB 的跟踪代码初始化错误在 T
16、 - T（0 - 1）=0.5Tc。频道 0 被频道 A 赋值，注意到每一 chip 上有两个迭代次数，那么 15chip/位，3000 迭代次数表示 100 位，或 100TB 秒的。据估计收敛后，约 200 迭代，对应不到 10 位，表示“拉”的时间非常迅速。图 4 说明了一个模拟的跟踪误差轨迹时估计不正确的假设，只有直接路径是存在的。 （F，= 0 为 I= 1,2，）开始跟踪误差分歧 2000 以后的迭代中，由于实际收到的波形 R（k）和估计的参考信号 SJ（K）之间的不匹配。图 5 和 6 对应的仿真参数前面的两个数字，他们是相同的作用，除了现在使用通道 B的系数。跟踪误差轨迹图 6
17、 再次显示时联合估计错误的假设 NF =1，跟踪误差超过 1/2chip在整个模拟的结果。然而，当 EKF 的假设 NF= 4（图 5） ，估计是能够保持与代码同步，跟踪误差不会超过 1/2chip在下面的数字是信噪比变化的跟踪误差轨迹检查。图 7 和图 8 分别是在EB/= 5 分贝和 0 dB 时的跟踪性能说明。请注意，即使在0 dB 时，跟踪误差在收敛后不会超过 0.5chip。在高信噪比（40 分贝），跟踪误差是可以忽略不计，如图 9 所示。绘制的 Eb / N，= 10 分贝和 Eb /= 40 dB，在图示的情况下，作为一个时间函数的系数均方根误差。分别为 10 和 11。错误四一
18、个延迟只有 EKF 的估计的非线性分析A.分析方法由于通过测量梯度矩阵 H（K）的卡尔曼增益状态依赖性和时间依赖性的结构，导致了测量更新方程（14 ）所述的 EKF 的联合估计不容易分析。例如，由于 H“（K）的状态和时间依赖性（K）导致卡尔曼滤波误差协方差 P（下 K I K）的稳态值不存在。然而，这是值得考虑以下原因 EKF 的联合估计延迟只有一个简化版本的性能。测量 R（k）是仅在 7 延迟参数（K）的非线性。因此，信道系数 FI（K）的更新方程将有望成为比 7（K）的更新更为有效，因为前者的参数估计不直接受线性错误的影响。然而，线性化误差的估计 t（K），因此，跟踪环路的延迟，只有部分
19、的非线性分析，将其稳定运行提供更多的有利凭证。特别是，我们可以看到的最好情况是，表现为延迟只跟踪查看分析结果估计适用时估计误差系数时，F（K）是微不足道的。为了进行延迟的唯一 Aestimator 分析，我们简化了消除（14 ）的估计（K|K）。所产生的测量更新为：多径失真信号 Sf（t）定义为：FN 假设为是一个常数（忽略多普勒蔓延）而且是已知先验。所造成的延误只是在图 12 以估计的形式展示卡尔曼增益和误差协方差现在是标量，由下式给出：t（k|k）一阶预测量由下式给出：同样，注意到测量更新的价值是复杂的相比较于一阶预测的真实有价值。定义一个单一滤波估计 t（K）=t（K|K）是非常方便的，
20、那么测量更新方程可改写为：在非线性分析进行之前，我们感兴趣地注意到文献上随机信号时延估计的延迟估计模型的一般结构（21 ）。例如，延迟估计而得 12考虑的均方误差表面的梯度搜索，与定义均方误差：12中所产生的估计和13（使用最大似然原则派生）都具有一般形式12是固定的。直观地说，随时间变化的增益应提供更好的跟踪性能。依次类推，延迟或锁相环的设计中，最初会希望有一个较大的电压控制振荡器的增益，但随着时间的推移，控制增益在下降会降低环路带宽，从而降低计时误差方差。此外，并以最佳方式测量线性近似的限制范围内自动派生的 EKF 估计提供了一个环路增益随时间。如果 T（K）是一个马尔可夫过程，并且 Ch
21、apman-Kolmogorov 方程可以受聘在进化时间的跟踪误差 PDF 和非线性跟踪误差方差分析。同时卡尔曼增益K（K）如果是一个纯粹的计时功能，然后 T（K），就应该事是马氏。由于N（k）是高斯白序列。然而，从（23），K（K）取决于 P（K I K - L），这又是唯一仅在过去的整个轨迹（K）条款定义的 t。然而，如果我们更换 YT（K - 1）7（K ），真正的轨迹中的更新方程的 p（K 我 K），那么它被认为 T（K）是现在马氏作为一个最好的情况下误差协方差 P（K I K）的选择，我们可以查看此近似。事实上，在无限小和无限大的信噪比的限制情况下，它可以提供这种近似的替代理由表明，
22、P（K I K）是独立的 t（ K| K）。使用上述马尔可夫过程模型（K），在时间的跟踪估计 PDF 演变的 Chapman-Kolmogorov 方程：在与加性高斯噪声 N（K）的作用下，过渡密度函数 f（T （K）| T（K - 1）是有条件的高斯均值假设，同时具有巨大的价值。和方差其中 N0 是单方面的加性噪声 n（K）的谱密度。B非线性分析结果CK 方程描述的时间上 PDF 演变是有14中描述的数字集成技术评估的。然而，注意到马尔可夫过程中的国旅密度（27 ）不是在时间上均匀分布的，因此稳态密度一般不会存在。此外，非平稳过渡密度等数量计算的平均时间失锁便不可行。然而，对 PDF 的测试
23、发现，演化提供了一个在 EKF 的线性近似的有效性的检查，还提供了确切的非线性跟踪误差方差。图 13 所示，在 PDF 时间估计 T（K ）进化跨度超过 100 次迭代。通道系数设置为通道 A，信噪比是 10 分贝，与 LPN=15chip/位的处理增益。在这里，T（O）的初始化为零，真正的延时 t 设置到 0.4Tc。很显然，经过 100 次迭代，收敛到 T 的是一个无偏估计的 EKF。此外，PDF 演化的详细检查表明，存在一个准稳态。也就是说，随着时间的推移，卡尔曼增益 K（K）下降到足以使在延迟估计的进一步变化相对较小，因此 PDF 波动最小化。在准稳态（256 次迭代后的 PDF）的变
24、化如图所示。 14，信噪比为0，5，和 10 分贝。三线多径信道再次被指定通道 A 的性能与降低信噪比，扩大的 PDF 格式的说明降解，是显而易见的。图 15 显示在与单一路径的多径信道情况下 PDF 随着频率选择性衰落的变化。PDF 大幅见顶。 PDF 拓宽因为路径数量的怎基啊增加。也就是说，PDF相应的 3-射线路径（通道 A）是比直接路径更广仅 PDF，但大大超过见顶的PDF 相应的 4-射线路径（通道 B）。EKF 的保持其误差协方差 P（K I K）的跟踪误差方差的估计。因此，当测量 R（K ）的线性几乎确切时候，我们希望，P（K I K）精确地定义的非线性跟踪误差方差对使用了 Ch
25、apman-Kolmogorov 方程计算出的 PDF 格式的数值积分非线性跟踪误差方差进行了评估。图 16 说明 p 的比较跟踪误差方差（K | K）和（30）之前为通道 A（注意：P （K I K）进行了评估使用的模拟（21）和（23）具有收敛性，线性化误差大，这个错误是反映了非线性跟踪误差方差比线性估计大于 p（K| K）与 EKF 的计算。但是，请注意 100 次迭代非线性跟踪误差方差和 P（ K | K）后精确的相同，5 日和 10 分贝的信噪比。这一结果的解释是，线性误差是可以忽略不计的延迟估计在准稳态运行。此外，由于 P（K | K）是误差方差最小方差估计，假设精确线性（最佳），
26、我们可以得出结论，收敛后的EKF 的性能也接近最佳。当未知的延时 t 是确定性的，众所周知任何不带偏见的估计 t 跟踪误差方差下界的 Cramer-Rao 界 10，CH。 61。绑定为一个已知的信号（T +7）在加性高斯白噪声接收的特定问题的 CR 在第四节中给出，如下给出：其中 Ns 是奈奎斯特样本总数的估计 t 的基础。在图 17 和 18 中给出，获得通过的 Chapman-Kolmogorov 方程解的非线性跟踪误差方差相比较受约束的。EKF 的估计误差方差明显高于最优估计的更大，这是显而易见的。这主要是由于延迟估计问题的非线性。另外，请注意，有一个隐含的建模使用 EKF 的固有错误
27、，它是假设 T（K）是一阶 AR 过程由 IID 驱动的。高斯序列方差代尔塔 平方，而实际的延迟是一个常数 T。因此，EKF 的性能可能是由于减少的假设值接近的 CR 约束代尔塔 平方。图 17 和 18 给出。五 结论基于扩展卡尔曼滤波一种新的时延和多径参数的联合估计已被提出了。被视为一个应用的 EKF 估计的 PN 码同步直接序列扩频接收机的具体问题。通过一个简化的延迟估计的仿真实例和分析，结果表明，该方法提供了出色表现：跟踪误差明显比在信噪比为 0 dB 时候低 1/2chip。非线性估计的行为，通过查普曼 Kolmogorov 方程的数值解得出的分析情况：证明收敛后，非线性跟踪误差方差
28、几乎相当于由 EKF 的误差协方差 P（K I K）预测。因此，我们可以得出这样的结论：收敛后，线性化误差对滤波器性能的影响是微不足道的，由于确切的非线性和线性近似估计方差 P 级之间的密切协议（K| K）。然而，由于在T（K）在 EKF 的固有（延迟实际上是一个常数，而 EKF 的假设，它是一阶AR 过程）的建模误差，非线性跟踪误差方差比 Cramer-Rao 下界更大。然而，减少的 AR 驾驶过程中噪声的权力，代尔塔 t 平方，假设的 EKF 非线性跟踪误差方差可以带来接近的 CR 的约束。附录连续时间波形小号（T）收到一个未知的，但收到的离散时间波形确定性延时t。给出：其中 T，奈奎斯特
29、采样间隔和 N（k）是一个 IID 圆形高斯零均值和方差的序列代尔塔 n 平方。还要注意，S（T）被认为是复杂的价值。定义一个负载样本：基于与 NS 的样本总数估计 t众所周知，任何无偏估计 t的方差较低，处于如下范围内（见，例如，10，61 ） 。以上的 Cramer-Rao 界正在为加性高斯白噪声的具体情况由 A1 给予评估。r 的联合密度函数的圆形高斯形式到 t 的产量分化的联合密度的对数在 CR 约束分母是由以下的期望给出：展开表达式由此 CR 约束表示为：参考l R. Price and P. E. Green, “A communications technique for mul
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36、se lock loops,” IEEE Trans. Commun., vol. COM-22, pp. 123-137, Feb. 1974.作者简介Ronald.A.Iltis（S83 M84）于 1978 年获得美国约翰霍普金斯大学的学士学位（生物物理）在 1980 年获得布朗大学工程 MA.荣誉博士，1984 年获得圣地亚哥加州大学电气工程学士学位。自 1984 年以来，他一直担任美国加州大学圣巴巴拉分校，电气工程和计算机系的教员，他目前是副教授。 1980 年和 1981年间，他曾受聘于圣地亚哥的通用动力公司，在那里他协助在高速图像处理算法的设计，并从 1982 年至 1984 年，他受聘于马/ COM Linkabit 的兼职，在那里他帮助开发声码器和调制解调器的软件。他目前的研究兴趣是在扩频通信，多传感器/多目标跟踪，神经网络。Iltis 博士还曾担任顾问，政府和私营行业在自适应阵列和扩频通信领域。他曾任 IEEE TRANSACTIOONNSOMMUNICAT 的编辑。
