1、 3513 0 引 言有 限 元 法 (FEM)作 为 当 前 应 用 最 为 广 泛 的 数 值 计 算 方 法 ,在 解 决 几 何 非 线 性 与 材 料 非 线 性 问 题 方 面 发 挥 着 重 要 作 用 。但 因 其 固 有 的 网 格 约 束 , 使 得 在 应 用 其 处 理 诸 如 结 构 大 变 形 、裂 纹 扩 展 跟 踪 、 功 能 梯 度 材 料 性 能 分 析 、 瞬 态 动 力 学 (如 高 速碰 撞 、 爆 炸 ) 等 问 题 时 , 常 因 网 格 畸 变 造 成 计 算 结 果 严 重 失 真甚 至 计 算 终 止 1-3。为 此 , 需 要 在 网 格
2、畸 变 区 域 重 新 进 行 网 格 划 分 , 并 将 物 理量 从 旧 网 格 转 换 到 新 网 格 上 , 然 后 继 续 进 行 计 算 。 网 格 划 分本 身 相 当 复 杂 、 费 时 , 同 时 还 必 须 依 赖 某 种 控 制 准 则 , 但 目 前尚 无 统 一 的 准 则 可 供 遵 循 。 因 此 , 复 杂 网 格 的 重 新 划 分 目 前仍 是 世 界 性 难 题 4。最 近 10 年 发 展 起 来 的 无 网 格 法 5(meshless method, MM),作 为 有 限 元 法 等 传 统 数 值 方 法 的 重 要 补 充 和 最 新 发 展
3、, 为 解 决上 述 问 题 提 供 了 新 途 径 。 这 些 方 法 的 共 同 特 点 是 : 整 个 求 解 域由 一 系 列 离 散 点 来 描 述 , 无 网 格 依 赖 性 , 大 大 简 化 了 前 置 处 理工 作 。 在 当 今 纳 米 时 代 , 无 网 格 法 对 于 实 现 从 纳 观 、 微 观 、 介 观和 宏 观 的 多 尺 度 分 析 计 算 的 无 缝 连 接 具 有 特 别 重 大 的 意 义 6。目 前 , 无 网 格 法 主 要 有 两 类 : 一 类 是 以 紧 支 试 函 数 加 权 残 值 法为 理 论 基 础 的 局 部 逼 近 方 法 , 如
4、 无 单 元 伽 辽 金 法 (element-freeGalerkin method, EFGM)、 再 生 核 质 点 法 (reproducing kernel par-收 稿 日 期 : 2007-07-09 E-mail: cna_作 者 简 介 : 田 仲 可 (1970 ), 男 , 山 东 济 南 人 , 博 士 , 副 教 授 , 研 究 方 向 为 材 料 成 形 过 程 的 数 值 模 拟 与 智 能 化 控 制 。基 于 面 片 句 柄 图 形 对 象 的 无 网 格 法 可 视 化 研 究田 仲 可(青 岛 科 技 大 学 机 电 工 程 学 院 , 山 东 青 岛
5、266061)摘 要 : 无 网 格 法 的 离 散 粒 子 模 型 特 性 , 对 于 实 现 从 纳 观 、 微 观 、 介 观 和 宏 观 的 多 尺 度 分 析 计 算 的 无 缝 连 接 具 有 特 别 重 大 的意 义 。 同 时 由 于 不 需 要 网 格 划 分 , 使 得 其 在 涉 及 网 格 畸 变 、 网 格 重 新 划 分 的 问 题 上 较 有 限 元 法 具 有 明 显 优 势 。 但 是 无 网 格 法的 离 散 粒 子 模 型 特 性 也 恰 恰 导 致 其 数 值 计 算 结 果 的 全 域 可 视 化 表 征 遇 到 困 难 。 为 此 提 出 采 用 D
6、elaunay 三 角 化 方 法 将 无 网 格法 求 解 域 中 的 离 散 点 连 接 成 背 景 三 角 形 网 格 , 将 无 网 格 法 数 值 结 果 的 云 图 生 成 问 题 转 化 为 三 角 形 面 片 句 柄 图 形 对 象 的 创 建问 题 来 处 理 。 基 于 Matlab 的 算 例 表 明 , 利 用 低 级 绘 图 指 令 设 置 面 片 句 柄 图 形 对 象 的 面 与 边 颜 色 的 线 性 插 值 模 式 , 能 够 较 采用 高 级 绘 图 指 令 更 快 速 地 生 成 色 彩 过 渡 平 滑 的 高 质 量 无 网 格 法 数 值 结 果 云
7、图 。关 键 词 : 无 网 格 法 ; 可 视 化 ; 云 图 ; Delaunay 三 角 化 ; 面 片 句 柄 图 形 对 象 ; 线 性 颜 色 插 值中 图 法 分 类 号 : TP391.41; O242 文 献 标 识 码 : A 文 章 编 号 : 1000-7024 (2008) 13-3513-03Meshless numerical results of cloud chart characterization based on patch handlegraphics objectTIAN Zhong-ke(College of Electromechanical E
8、ngineering, Qingdao University of Science and Technology, Qingdao 266061, China)Abstract: Unlike mesh-based finite element method (FEM), the shape function of meshless method (MM) is defined by discretepoints in computational domain. Because of mesh independence, compared with FEM, the pre-processin
9、g procedure of MM becomessimpler and MM is much more powerful for solving large deformation, high gradient and instantaneous dynamic problems, which alwaysinvolve severe mesh distortion and indispensable remeshing. Due to the characteristic of discrete particle model, MM is significant forthe multi-
10、scale analysis, which requires seamless transition among nano-, micro-, meso-, and macro-scale. While on the other hand,the discrete particle characteristic just results in difficulties for visualizing the meshless numerical results during the post-processing pro-cedure. On the basis of Delaunay tri
11、angulation, which constructs background triangular mesh from discrete points in whole domain,the cloud chart characterization for MM is then converted into the creation of triangular patch handle graphics objects. Numerical sampleperformed in the Matlab environment shows that the low-level graphics
12、function patch is able to set the color shading property for trianglesface and edges to linear interpolation mode according to the vertex colors and consequently.to generate high quality cloud chart rapidly.In contrast, the traditional high-level graphics function fill does not possess such high cap
13、ability.Key words: meshless method; visualization; cloud chart; Delaunay triangulation; patch handle graphics object; linear color interpolation2008 年 7 月计 算 机 工 程 与 设 计July 2008第 29 卷 第 13 期Vol. 29 No. 13 Computer Engineering and Design 3514 ticle method, RKPM)等 7; 另 一 类 则 是 基 于 Voronoi 图 和 自 然 邻点
14、插 值 的 自 然 单 元 法 8(natural element method, NEM)。 自 然 邻 点插 值 通 过 几 何 复 杂 性 而 不 是 传 统 的 代 数 复 杂 性 来 实 现 离 散 插值 9, 形 函 数 构 造 简 单 , 不 涉 及 矩 阵 运 算 , 导 数 计 算 也 相 对 容 易 。自 然 单 元 法 具 有 严 格 的 插 值 特 性 , 可 以 在 边 界 上 方 便 的 引 入 本质 边 界 条 件 。 自 然 单 元 法 既 综 合 了 有 限 元 法 和 其 它 无 网 格 法的 优 点 , 同 时 又 避 免 了 有 限 元 法 和 其 它
15、无 网 格 法 的 缺 陷 , 因 此被 认 为 是 一 种 极 具 前 途 的 数 值 计 算 方 法 10-11。科 学 计 算 可 视 化 对 于 数 值 计 算 密 集 的 应 用 领 域 具 有 重 要意 义 , 它 可 以 将 数 值 计 算 产 生 的 大 量 复 杂 数 据 信 息 形 象 化 、 直观 化 , 便 于 进 一 步 的 分 析 与 理 解 。 其 中 , 彩 色 云 图 是 一 种 流 行的 场 变 量 可 视 化 表 现 形 式 12。 由 于 无 网 格 法 的 离 散 点 之 间 不存 在 连 接 信 息 , 导 致 计 算 结 果 的 全 域 表 征 遇
16、 到 困 难 13-14。本 文 提 出 采 用 Delaunay三 角 化 方 法 将 无 网 格 法 求 解 域 中的 离 散 点 连 接 成 三 角 形 背 景 网 格 , 进 而 将 无 网 格 法 数 值 结 果的 云 图 生 成 问 题 转 化 为 三 角 形 面 片 句 柄 图 形 对 象 (patch handlegraphics object)的 创 建 问 题 来 处 理 , 高 效 率 地 实 现 了 色 彩 过 渡平 滑 的 无 网 格 法 数 值 结 果 的 云 图 表 征 。 下 面 以 水 平 方 向 受 均匀 拉 伸 的 具 有 中 心 原 孔 的 无 限 大
17、平 板 为 例 , 并 基 于 Matlab 软件 加 以 具 体 阐 述 。1 计 算 模 型 与 三 角 形 背 景 网 格 生 成如 图 1 所 示 , 考 虑 到 对 称 性 , 取 无 限 大 平 板 的 1/4 为 计 算模 型 (其 中 , 圆 孔 半 径 为 10, 水 平 与 垂 直 方 向 边 长 均 为 50)。 另外 , 注 意 到 应 力 集 中 , 对 离 散 点 的 分 布 采 取 了 局 部 加 密 处 理 。Delaunay三 角 化 是 目 前 由 空 间 散 乱 点 集 生 成 非 结 构 化 网格 的 非 常 流 行 的 方 法 。 该 方 法 的 最
18、大 特 点 是 “ 最 大 最 小 角 ” ,即 生 成 的 三 角 形 能 尽 可 能 地 接 近 等 边 三 角 形 , 从 而 有 效 避 免了 形 状 细 长 三 角 形 的 出 现 , 所 生 成 的 网 格 具 有 整 体 最 优 性 。利 用 MATLAB 的 Delaunay 函 数 , 可 以 实 现 二 维 Delaunay三 角 化 15。 该 函 数 语 法 格 式 为 :TRI = delaunay(x, y);执 行 该 函 数 将 返 回 一 个 满 足 “ 外 接 圆 准 则 ” 的 三 角 形 集合 : 任 意 一 个 三 角 形 的 外 接 圆 中 不 包
19、含 散 乱 点 集 中 的 其 它 点 。参 数 x、 y 分 别 为 离 散 点 集 的 x 坐 标 向 量 和 y 坐 标 向 量 。 返 回值 TRI 为 3 矩 阵 , 其 每 一 行 的 各 列 分 别 为 点 集 中 一 个 点 的序 号 。 参 数 为 所 生 成 的 三 角 形 总 数 。 该 函 数 使 用 的 是 Qhull算 法 16。2 数 值 结 果 的 颜 色 表 达 模 型色 图 矩 阵 是 Matlab 的 着 色 基 础 17。 色 图 矩 阵 的 每 一 行 是一 个 RGB三 元 组 , R、 G、 B 在 0,1内 取 值 , 分 别 表 示 红 、 绿
20、 、 蓝 3种 基 色 的 相 对 亮 度 。 下 列 语 句 定 义 了 一 个 640 行 3 列 的 蓝 头红 尾 饱 和 值 色 图 矩 阵 。colormap_rows=6410;CM=jet(colormap_rows);colormap(CM);利 用 N. Sukumar 开 发 的 二 维 弹 性 静 力 学 自 然 单 元 法 For-tran程 序 (下 载 地 址 : http:/dilbert.engr.ucdavis.edu/suku/nem/the-sis.html#CODE), 可 以 计 算 出 前 述 Delaunay 三 角 化 背 景 网 格 中各 个
21、三 角 形 顶 点 x方 向 正 应 力 值 , 并 记 入 一 维 数 组 stress_x中 ,同 时 令 其 中 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 stress_x_max、 stress_x_min。 由 下 列 语 句 可 以 检 索 出 各 个 三 角 形 顶 点 x 方 向 正 应 力值 所 对 应 的 色 图 矩 阵 (640 3)的 行 号 , 从 而 获 得 该 应 力 所 对应 的 颜 色 值 。C_stress_x=stress_x_max-stress_x_min;t=(stress_x_max-stress_x)/ C_stress_x;jet_num=r
22、ound(1*t+colormap_rows*(1-t);3 面 片 句 柄 图 形 对 象 与 云 图 生 成句 柄 图 形 (handle graphics)是 面 向 对 象 绘 图 系 统 对 低 级 绘图 指 令 的 统 称 , 它 提 供 创 建 计 算 机 图 形 所 需 的 各 种 软 件 功 能 。在 Matlab中 , 句 柄 图 形 指 令 直 接 操 作 直 线 (line)、 曲 面 (surface)、面 片 (patch)、 图 像 (image)、 文 字 (text)、 光 线 (light)等 11 种 被 称 做句 柄 图 形 对 象 (handle gr
23、aphics object)的 基 本 绘 图 要 素 17, 实 现对 图 形 对 象 属 性 更 细 致 、 更 个 性 化 地 定 制 , 而 这 往 往 是 以 句 柄图 形 指 令 为 基 础 的 高 级 绘 图 指 令 无 法 实 现 的 。面 片 句 柄 图 形 对 象 由 一 个 或 多 个 多 边 形 构 成 。 创 建 一 个面 片 句 柄 图 形 对 象 的 函 数 调 用 格 式 为 :patch (Vertices, VM,Faces, FM,FaceVertexColorData, VC,FaceColor,FC, EdgeColor, EC)属 性 Vertice
24、s 的 值 VM 为 3 矩 阵 , 其 每 一 行 对 应 一 个 顶点 的 三 维 坐 标 ; 属 性 Faces的 值 FM 为 矩 阵 , 其 每 一 行 对 应构 成 一 个 多 边 形 的 个 顶 点 序 号 , 为 面 片 句 柄 图 形 对 象 所 包含 的 多 边 形 个 数 ; 属 性 FaceVertexColorData 的 值 VC 为 3 矩阵 , 其 每 一 行 对 应 一 个 顶 点 的 RGB颜 色 三 元 组 ; 属 性 FaceColor和 EdgeColor 的 值 FC 和 EC 分 别 设 定 各 个 多 边 形 和 各 条 边 的颜 色 插 值 模
25、 式 。至 此 , 可 以 把 无 网 格 法 数 值 结 果 的 云 图 生 成 问 题 转 化 为三 角 形 面 片 句 柄 图 形 对 象 的 创 建 来 加 以 解 决 。 图 2 为 0 =100MPa 时 板 内 x 方 向 正 应 力 分 布 云 图 (patch 指 令 中 的 FC 和EC 的 值 均 为 interp, 即 三 角 形 内 部 和 边 的 颜 色 均 由 相 关 顶 点颜 色 经 线 性 插 值 得 到 )。单 一 颜 色 的 子 域 填 充 法 是 绘 制 云 图 的 一 种 常 用 方 法 。 图3 所 示 为 采 用 高 级 绘 图 指 令 fill,
26、 以 背 景 Delaunay 三 角 形 3 个顶 点 x 方 向 正 应 力 平 均 值 所 对 应 的 颜 色 填 充 三 角 形 区 域 所 生成 的 板 内 x 方 向 正 应 力 分 布 云 图 。 图 4 所 示 则 是 采 用 高 级 绘图 指 令 fill, 以 背 景 Delaunay 三 角 形 3 个 顶 点 x 方 向 正 应 力 所图 1 计 算 模 型 与 Delaunay 三 角 化 背 景 网 格0 10 20 30 40 5050454035302520151050 3515 对 应 的 颜 色 , 经 线 性 插 值 后 生 成 的 板 内 x 方 向 正
27、 应 力 分 布 云图 。 需 要 指 出 的 是 , 高 级 绘 图 指 令 fill 是 以 低 级 绘 图 指 令 patch为 基 础 生 成 的 , 前 者 较 后 者 在 数 学 概 念 上 更 清 晰 、 调 用 格 式 上更 简 洁 。在 色 彩 质 量 方 面 , 图 4 较 图 2 几 乎 没 有 差 别 , 但 图 3 较 图2、 图 4 则 粗 糙 许 多 。 经 在 DELL Dimension DM051 计 算 机 (配置 : Intel Pentium 4 CPU, 3.00GHz; 2 512MB 内 存 ; 256MB 显 存 ;160GB 硬 盘 ) 上
28、运 行 测 定 , 图 2 的 绘 制 时 间 为 0.0148s, 图 3 的绘 制 时 间 为 0.4994s(约 是 图 2 的 33.74 倍 ), 图 4 的 绘 制 时 间 为0.6201s(约 是 图 2 的 41.9 倍 )。与 patch 指 令 直 接 利 用 背 景 Delaunay 三 角 形 网 格 的 整 体信 息 不 同 , fill 指 令 通 过 循 环 逐 个 对 每 个 背 景 Delaunay三 角 形网 格 进 行 填 充 , 造 成 对 顶 点 信 息 的 重 复 检 索 , 导 致 时 间 复 杂 度增 加 。 另 外 , 由 于 算 法 和 数
29、据 结 构 方 面 的 原 因 , 以 三 角 形 3 个顶 点 颜 色 线 性 插 值 方 式 对 三 角 域 进 行 填 充 时 , 需 要 对 顶 点 的颜 色 进 行 两 次 线 性 索 引 变 换 , 进 一 步 加 剧 了 fill 指 令 的 时 间复 杂 度 。4 结 束 语算 例 结 果 表 明 , 采 用 Delaunay三 角 化 方 法 将 无 网 格 法 求解 域 中 的 离 散 点 连 接 成 背 景 三 角 形 网 格 , 进 而 把 无 网 格 法 数值 结 果 的 云 图 生 成 问 题 转 化 为 三 角 形 面 片 句 柄 图 形 对 象 的创 建 问 题
30、 来 处 理 , 不 仅 在 方 法 上 切 实 可 行 的 , 而 且 云 图 生 成速 度 快 、 色 彩 质 量 高 , 较 传 统 的 高 级 绘 图 指 令 具 有 明 显 的 性能 优 势 。参 考 文 献 :1 宋 康 祖 , 陆 明 万 , 张 雄 . 固 体 力 学 中 的 无 网 格 方 法 J. 力 学 进展 , 2000,30(1):55-65.2 张 雄 ,宋 康 祖 ,陆 明 万 . 无 网 格 法 研 究 进 展 及 其 应 用 J. 计 算 力学 学 报 , 2003,20(6):730-742.3 周 小 平 , 周 瑞 忠 . 无 单 元 法 研 究 现 状
31、 及 展 望 J. 工 程 力 学 ,2005,21(1):12-20.4 李 光 耀 ,卡 里 鲁 .弹 塑 性 大 变 形 畸 变 问 题 的 无 网 格 分 析 J.湖 南大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ),2003,30(1):47-49.5 Belytschko T, Krongauz Y, Organ D, et al. Meshless methods: anoverview and recent developmentJ. Computer Methods in Ap-plied Mechanics and Engineering, 1999,139:3-48.6 周 小
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36、向 正 应 力 分 布 云 图0 10 20 30 40 5050454035302520151050300250200150100500图 3 由 高 级 绘 图 指 令 fill 生 成 的 以 平 均 值颜 色 填 充 的 板 内 x 方 向 正 应 力 分 布 云 图0 10 20 30 40 5050454035302520151050250200150100500图 4 由 高 级 绘 图 指 令 fill 生 成 的 以 线 性 插 值颜 色 填 充 的 板 内 x 方 向 正 应 力 分 布 云 图0 10 20 30 40 5050454035302520151050300250200150100500