浅谈光晶格中超冷原子的布洛赫振荡.docx

1、高等固体物理论文题目：浅谈光晶格中超冷原子的布洛赫振荡姓名： 刘文晓 学号： 3113071011 班级： 硕 3045 班 单位： 理学院 专业: 光学 2013 年 12 月 10 日目 录摘 要1Abstract1引言21 光子晶格21.1 光子晶格的原理21.2 一维、二维、三维光子晶格22 布洛赫振荡.52.1 布洛赫振荡的理论描述52.2 短程相互作用诱导的原子布洛赫振荡的退相干效应73 光晶格中超冷原子的布洛赫振荡.103.1 原理.103.2 光晶格中超冷偶极玻色原子的布洛赫振荡124 总结与展望.18参考文献18浅谈光晶格中超冷原子的布洛赫振荡学生姓名：刘文晓 学号：3113

2、071011学 院：理学院 专业：光学摘 要：本文首先对光子晶格做简单的介绍，包括光子晶格的原理和分类。其次，本文将通过描述光子晶格的布洛赫振荡来主要讨论超冷原子在光晶格中布洛赫振荡。关键词：光晶格；冷原子；布洛赫振荡；偶极一偶极相互作用The Introduction of Bloch oscillation of ultra-cold atoms trapped in optical latticeAbstract: In this article, firstly we introduce the conception of optical lattice simply, includi

3、ng the principle and classification of optical lattice. Secondly, we describe the principle of bloch oscillation in optical lattice, and then mainly discuss Bloch oscillation of ultra-cold atoms trapped in optical lattice.Key words: optical lattice; ultra-cold atoms; Bloch oscillation; a dipole-dipo

4、le interaction引言光晶格最早起源于对原子进行的偏振梯度冷却和亚光子反弹冷却实验。1993 年，M. G. Prentiss 首先提出了原子光学晶格的概念，随后，T. W. Hnsch 和 G. Grynberg等人对此展开了实验研究 1。光晶格是利用交流 Stark 效应产生的，它有很多优点，例如，它是非常纯净的系统，而且具有很好的周期性，其晶格常数可以通过改变相干激光束的波长加以调节，其势讲深度可以通过改变相干激光束的强度来控制。基于这些优点，目前光晶格已被广泛应用于超冷原子的操控。在固体晶格中，通常晶格中原子间的距离很短，原子间以及原子与晶格场间的相互作用很强；与之不同的是，

5、光晶格中的原子与激光场间的相互作用较弱，原子间的距离也比固体晶格中的原子间距离大几百倍，这导致光晶格内原子动态特性的变化较固体晶格中的情形要慢的多，而原子在光晶格中的运动与电子在固体晶格场中的运动特征却很相似，因此，利用光晶格中的 BEC 对固体晶格系统进行模拟成为可能。利用它可以对固体晶格中一些不易观察的物理现象，如原子的布洛赫振荡、非线性朗道一基纳隧穿以及原子自囚禁和局域化等进行研究。本文将通过对光子晶格的布洛赫振荡描述，主要讨论冷原子在光晶格中布洛赫振荡。1 光子晶格1.1 光子晶格的原理光晶格的形成是由于原子在激光场中受到两种力的作用:偶极力和散射力。光晶格和其它光阱(也称作偶极阱)的

6、工作原理是交流 Stark 偏移，当一个原子放在一个光场中的时候，光场所产生的振荡电场会在原子内部产生一个电偶极矩。电场和偶极子之间的相互作用会使原子的能级移动 E(1)21(w)t其中 ， 表示原子能级在共振频率为的 极化率， 是光场的失谐。resw()res当光场的频率小于原子共振频率时，即 (“红失谐”)，约化的偶极子0与电场方向一致。此时就会在原子上产生一个指向光场增强方向的偶极()DE力。当激光调到高于原子共振频率时，即 (“蓝失谐”)，此时力的方向指向光场最弱处。也就是说偶极力分别使原子处于光场最强或最弱的地方，从而把原子俘获在光晶格中 2。散射力是与自发辐射有关的力，正比于散射率

7、(自发辐射力)，因此也称自发辐射力。它的起因是位于激光束内的原子连续从激光束吸收光子并随后自发的向任意方向发射光子。原子吸收和自发辐射的净效应是使原子减速，因此自发辐射在冷却光学晶格中的原子时起了关键作用。散射的相对大小和光学力的偶极子成分都可以通过改变激光频率从实验上加以调整。事实上，许多人都是利用激光束的配置来产生光学晶格(没有光强变化)的，而且仅仅是利用了偏振的梯度。因此，通过光束偏振的空间变化可以使原子和光相互作用强度随位置发生变化。1.2 一维、二维、三维光晶格1.2.1 一维光晶格一维光晶格可以由两束相向传播的、偏振方向相互平行的线偏振激光束或旋转方向相同的圆偏振光束干涉而形成。最

8、简单的如图 1 所示。另外，也可以利用一束满足高斯分布的激光与它的反射光进行叠加干涉来产生一维光学晶格 3。例如，考虑一束沿 方向传播的激光束，其与反射光叠加后合成的电场强度与一维驻波场强z式相同，原子在 方向上感受到的周期性势为(2)20()cos()UzEkz:在 平面，通过外加磁囚禁势场可以将原子束缚住，常见的外加磁势为圆xy柱形，其形式为(3)222()mzVrwxy其中， 和 分别 、 方向和 方向的囚禁频率。如果 ，如则 BEC 呈薄wzxyz zw:饼状分布，原子的空间密度分布如图 1 所示，在 方向上形成一维光晶格。实际上z系统还是三维的，只是在 方向上是一维的。在上述简单的一

9、维光晶格中，如果单位晶格长度内包含两个以上的势讲，则这样的晶格就称为超晶格。它可以通过两束同方向传播但频率相差 倍的激光束分别与其n反射光叠加干涉而产生。我们假定激光束仍然沿着 方向传播，其电场分布可以记作z(4)0102,cos()cos().inwt iwtEztkeEkec其中， 表示共轭复数，代表反射光。原子感受到的周期性势为.c(5)22010()()()Uzz:在 平面上，同样利用外加磁场将原子束缚住，这样就在 方向上形成带有xyn 个子势阱的一维光晶格，图 1 (b)是单位晶格长度内包含个势阱 的一维超晶2n格。图 1: (a) 表示 平面内两对正交的一维驻波激光场。 (b) 为

10、由(a) 所构造的二维矩形光晶格。xy1.2.2 二维光晶格1993 年，德国的 T. W. mansch 研究小组釆用图 1(a)所示的两对正交的一维驻波激光场在 平面形成了二维光晶格，铷原子被成功囚禁于其中。实验中，他们利用迈克尔逊干涉仪将两个正交驻波激光场的相位差精确地控制在 ，从而得到了稳2定的矩形光晶格，如图 1(b)所示。白色的中心点为光强最强处，黑色则表示光强较弱的区域；相邻势阱间距为 ，其中 为驻波激光场的波长。2A图 2: (a)表示 平面内三束波矢间夹角为 120的线偏振光。(b)为由(a)所构造的二维六方形光晶格。xy同年，G. Grynberg 等人提出了另外一种二维光

11、晶格的制备方案 4。二维光晶格由图 2 (a)所示的三束波矢之间夹角为 120的线偏振激光干涉所形成，实验中他们得到了非常漂亮的六方形光晶格。与矩形晶格的情况不同，这一方案消除了激光束相位漂移对晶格形状的影响。当晶格光场为红失谐时，实验中采用的铯原子被吸引到光强最强处，即图 2 (b)中的白色区域；当晶格光场为蓝失谐时，铯原子被排斥到光强最弱处，即图 2 (b)中的黑色区域。1.2.3 三维光晶格目前，实验上有多种方案可以形成三维光晶格。所形成的晶格结构有简立方、心立方和体心立方等。如图 3 (a) 所示，这一方案采用四束激光束，其中三束为平面内的线偏振激光束，一束为 方向上的圆偏振激光束，四

12、束激光两两间的xyz夹角为 120。正是 方向上圆偏振激光束的存在改变了势阱 和 的对称性，从而z 形成了图 3 (b) 所示的体心立方晶格结构。另外，T. W. ffinsch 等人釆用如图 4 (a) 所示的三对正交驻波激光场， 同样形成了体心立方结构的三维光晶格，结果如图 4 (b)和 4 (c)所示。其中 和 方向上驻波场之间的相位差固定为 ； 0；和 方向上xy 2z驻波场之间的相位差记作 。图 3: (a)为四束激光束，其中在 平面内的三束为线偏振光，沿 方向传播的一束为圆偏振光，光束之xyz间的夹角均为 120。(b)是由(a)所形成的三维体心立方光晶格。当 时，浅阱数目是深阱数

13、目的两倍；当 时，二者数目相等。0 45图 4: (a)表示三对两两正交的驻波激光场。(b)和(C)是由(a)所形成的三维体心立方晶格，其中不同颜色的圆圈代表带有不同磁矩方向的原子，大的圆圈代表深阱，小的代表浅阱。对于二维和三维光晶格，当制备晶格所需的激光束数目 (d 表示晶格维1nd度)时，我们称之为 Grynberg 型光晶格。当 时，则称为 Hansh 型光晶格。1nd2 布洛赫振荡直到最近几年，人们才在加速的光晶格中观察到长时间的布洛赫振荡。下面先对布洛赫振荡做一些基本的介绍。2.1 布洛赫振荡的理论描述我们以最简单的单粒子布洛赫振荡为例，即单粒子在一维周期性势场中运动。系统的 Ham

14、ilton 量为(6)20()cos(2k)FxlVdHxMx这里 是粒子的质量， 是周期性势场的深度， 是势场的波数。 是粒子M0Vl F所受的外力 5。从固体物理中我们知道，单光子反冲能量为 ，当例子没有2lRkEM受到外力时( )，系统(2)式的能量木征态为:0F(7), ,()exp)(nknkiu其中 ，这里 是晶格常数。,()()nknkuxd当粒子受到一个静态力 时候，粒子的定态薛定谔方程为(8)2(x)()(xVEFMd其中 E 是能量本征值。要描述粒子的动力学行为就需要了解初态为 的含时薛0(,)xt定谔方程。 如此构造0(,)xt(9)/00,1/(,)()dnnknxtg

15、tx通常感兴趣的是在 时刻，仅有 能带被占据(一般最低能带 )的情况。0t0 01n当 是一个光滑的函数，且局域于第一 Brillouin 区中的某一个 时，假设它0,ngkt k与其它能带的耦合很弱，这样除 之外的所有能带都可以忽略。从文献 6可知0n(10)022,tnFgktgkt该方程有如下的形式解(11)02,/ntGt上式表明粒子的动量分布在 空间以恒定的速度运动，并且保持形状不变。粒子在k受到力的作用下，波包的中心在 空间以一种“经典”的行为运动(12)dktF求解(12)式，得到 随时间线性增加()kt(13)01()ktt同时，波包的群速度 取决于色散关系，在只考虑最低能带时

16、gvt(14)0()1ngktdEt考虑简单情况，选取色散关系 ，这里 是第一能带的宽度。可1cos2lWk1以得到(15)10in()gBdvtwt其中 为粒子布洛赫振荡频率。方便起见，选取原点为起始点，可以得到实BFdw空间中波包的位置为(16)10cos2gBWxtkdwtF这表明波包在实空间以振幅 ，频率 作周期性振荡，这种粒子在周期性势场中1的振荡就是布洛赫振荡。2.2 短程相互作用诱导的原子布洛赫振荡的退相干效应很早就有实验证明非线性相互作用会导致布洛赫振荡的塌缩，可是直到 2008 年才在实验上实现了对这个由碰撞相互作用诱导的退相干现象进行控制 6。这里我们就以光晶格中超冷原子的

17、布洛赫振荡为例，介绍碰撞相互作用对原子布洛赫振荡的影响。一维光晶格中短程相互作用的玻色气体的 Gross-Pitaevskii 方程为(17)2 2iVxFgtM 这里 是原子质量， 是相互作用强度，周期性势满足 。在线Mg Vxd性化分析中，这个系统所有的基木特征都可以得到体现，比如原子的布洛赫振荡。当把非线性项引入到系统哈密顿量中以后会诱导出很多新的效应，比如:孤子运动，非线性 Zener 隧穿以及混沌现象等等。这里只是关心其对布洛赫振荡的破坏。对(17)式做解析分析是件非常困难的事情，很多研究都是采用数值模拟的方式。通过归一化以后 7，(13)式可以改变为0(2,1dVM(18)2 2c

18、osi xFgt 这里 是归一化后的普朗克常数。实验上非线性参数 。当然它可3.806h 1g以通过调节横向波包宽度和光晶格深度来达到更大的值。选择一定的相互作用强度可以数值求解方程(18) 式。图 5 位置的期望值 和宽度 。这里排斥相互强度txl5g图 6 位置的期望值 和宽度 。这里吸引相互强度 .txl5g图 5 中给出了排斥相互作用下位置的平均值和宽度随时间的变化。从图中可以看出，经过 10 个布洛赫振荡的周期，布洛赫振荡仍然保持的很好。但是振荡的幅度明显衰减。振荡的宽度变得越来越宽。对于吸引相互作用势，如图 6 所示，也可以观察到相同的结果。只是两种情况下纸的振荡是反相的。对于相互

19、作用较强的情况(如图 7 所示)，可以看到布洛赫振荡急剧塌缩。图 7 位置的期望值 和宽度 。这里排斥相互强度 。txl10g3 光晶格中超冷原子的布洛赫振荡3.1 原理超冷原子在光学晶格势场中受到外场作用时，薛定谔方程可以写为(19)xzFVnzix)(2这里 是简化的波长， 是基体折射率， 是势能， 是随着2/x 2)(z轴变化的直流外场 8。因为势能是如此的小，以至于我们可以把它看做是微扰，因z此薛定谔方程可以变为(20)xzFnzix)(2考虑到离散情况，我们必须限制自伴算符 的本征值为离散值(21)ax这里 是一个晶格常数，而 。这里我们把算符定义为离散衍生物 :azn,， (22)

20、aQ1a这里 是一个最小转移算符。我们可以很容易地得到 。将 带入hpiaeQ/ ,方程(20)可以得到 :(23)xzFnazix)(2为了解决外场力随着 z 轴变化的薛定谔方程，我们引入下面的变换(24)ziz)(ep)(此时新的波函数 薛定谔方程的哈密顿量可以表示为znanzFinnzFianazH xx 22 exp11ep( (25)利用 ，薛定谔方程可以转变为Fanzi/(26) nanni xx 22 )11( 这里在 的转变下，方程满足 是不变的，因为我们可以写成1n(27)(zuezkinn其中， 在 n 里是具有周期的，因此薛定谔方程变成了zuk(28)其中 nanFzki

21、nnFazkinazFkH xx 22 )(exp1)(ep (29)关于哈密顿 的本征态为 ，这个本征态的本征值为 ，其)(zFak)(zuk )(zkEl中 ， 是一个整数，通过对 的限定，我们可以知道本征值zk/)(0l 0FzFakHzui kk和本征态 只是一般的能带和具有周期性的部分，我们用这样的本征值和本kEl lku征态来表示布洛赫函数。在绝热近似中， 表示布洛赫带，因此波函数可以写成l(30)(0)(/1zuezClkzEdkninzlk上面的变化我们运用下面的条件：(31)00*zulkalk最终，可以得到：(32)(0)(/zuezClkEzdinlk其中， 只是一般的布

22、洛赫函数。lkinue3.2 光晶格中超冷偶极玻色原子的布洛赫振荡在这一小节中，我们将对准一维光晶格中超冷偶极气体的布洛赫振荡做相关的理论研究。3.2.1 准一维光晶格中偶极气体的 Gross 一 Pitaevskii 方程我们考虑的是重力场下超冷偶极玻色气体在准一维光晶格中运动的模型。为了突出强调偶极一偶极相互作用在系统中的贡献，特别地，我们这里考虑的是 原Cr52子的偶极玻色一爱因斯坦凝聚。之所以考虑它是因为其具有较大的偶极矩 (Bu6是玻尔磁子)，这就直接对应着较强的偶极一偶极相互作用。假设原子感受的势Bu场为(33)zVwyxmrVxl 2221(34)fzkzL)cos(0其中 分别

23、为谐振子势的三个囚禁频率， 是原子质量。 为 方向的zyxw, )(z外势，此势场可以分为两部分，第一部分是光晶格势；第二部分为外力作用势场，我们这里考虑的是重力场，即 ，其中 是原子的质量， 是重力加速度。当mgfg谐振子势的囚禁频率满足 的条件时，系统中的偶极气体在径向方向上zyxw被约束的很紧，其径向波函数可用谐振子势在相应方向上的基态波函数来描述。此时系统的波函数可以表示为(35)()(,zyxtr和 是 和 方向上势阱的基态波函数，它们的表达式可以写为)(x)yx(36)24/1Lxxe(37)24/1Lyy其中 为系统的特征长度。 和 满足归一化关系：)(/yxwmL )(x)y。

24、1*dxyx不失一般性，我们假设偶极矩被极化后沿磁场方向排列，并且限制在( )平面上，zx所以两体偶极相互作用势可以表示为(38)225cossin3)( xzrdU这里 是偶极矩和 轴的夹角。 ， 为真空磁导率。系统相互作用势x4/0u0的完全形式可以表示为(39)rUmarVds2其中碰撞相互作用项中 是 波散射长度。因此，在平均场近似下，准一维光晶格sa中偶极波色-爱因斯坦凝聚的 Gross-Pitaevskii 方程就写为 9(40)trdtrVNrtri l ,)(21, 32 这里宏观波函数 归一化到 1。首先处理偶极积分，我们采用傅里叶变换的方,法 (41)这里 和 是快速傅里叶

25、变换和快速反傅里叶变换。其中， 项可以表示F1 rUFd为(42)3/1cos22 dreUdrkidd 这里 是 和 的夹角，在直角坐标中可写为rk(43)22 inscosincokkk这里 和 是动量 在球坐标系下的极角和方位角。将(33)，(41)，(42)代入(40) 式，k我们可以得到2132 , trUFrdtrUdd tzdkeUkFNzUNzmtzi zizfzs ,2, 2 (44)上式中(45)dzekFikz2(46)UUzdzf ,),(这里 是短程碰撞相互作用项。有效的偶极-偶极相互作用的傅里叶变换是2mwaUss(47)zzdzf kGkgk 22sin31cos

26、3,上式中：，其中 为不完全伽马320ugd),0(222wkekGzkzz),0(2wkz函数。容易得到（44）(48)20 sin31),(limdzdk gUz式中 代表偶极-偶极相互作用的各向同性部分，其特性可以从图 8 中看出来 5。U图 8 偶极- 偶极相互作用的各向同性的部分 xU从图 8 可以看出，对于特定的角度(49)3sinArcm我们可以得到(50)0),(zfkU所以在这个极其特殊的角度，偶极-偶极相互作用完全消失。图 9 中给出了准一维超冷极性原子气体偶极偶极相互作用有效势随偶极子极化角 和 变化的关系。对于 可以有物理的理解。在准一维偶极气体中，吸引相互zkm作用和

27、排斥相互作用势并存，当 时，这时 ，而且只是0,0zfkU，在 的一个很窄的峰，因此这个时候排斥相互作用支配着这个系统，即偶极一0z偶极相互作用整体表现就是排斥的。相同地，当 时，偶极一偶极相互作用整m体表现就是吸引的。当 时，吸引相互作用和排斥相互作用通过相互竞争达到m平衡，相互抵消，此时偶极一偶极相互作用对系统不起任何作用。它和原子钟中的魔幻波长相似(两个能级间的偶极效应达到平衡)，我们称 为魔幻极化方向。m图 9 准一维超冷极性原子气体偶极偶极相互作用有效势的傅里叶谱随偶极子极化角 和 的变化zk3.2.2 偶极-偶极相互作用诱发的原子布洛赫振荡的退相干效应魔幻极化方向在精密测量中有着重

28、要的应用，应用它也可以用来调控极性气体的量子动力学。例如，我们调节偶极子都沿着魔幻极化方向，而且 波散射长度同s时调到零，此时相互作用诱导的退相干效应就可以忽略了。由于实验技术的限制，我们不可能将这个角度完全调到魔幻极化方向。为了研究角度的偏移对系统的影响，我们以光晶格中超冷偶极气体的布洛赫振荡为例进行说明。考虑（33）式的外势场，采取紧束缚近似(51)twatznn,上式中 是第 个格子上的瓦尼尔函数， 是格子点上粒子的湮灭算符。从zwn(44)式可以得到(52)mlkmJklnnLnn aUafaJdti *,1)(其中系数(53).)(, ,)()(,2cos200dzekwUkzg d

29、zwzgzVmJizlfLlm nmlslln Lk图 10 不同极化角度下零点位置的原子密度随时间的演化。现在我们数值求解方程组(48)。数值计算中，我们假定光晶格中的原子数目为106 个。为了强调偶极一偶极相互作用对系统的影响，我们将 波散射长度调到了零。s假定初始条件为(54)204 4/exp21)0( zann这里 是凝聚体波包宽度，我们选择 以保证凝聚体波包足够宽。将(54)Lk/式代入(51)式就可以求得方程的解 10。图 11 第 29994 个周期到 30000 个周期零点位置的原子密度。*代表 ，点线代表 ，虚线代表0m95.0，实线代表理想的布洛赫振荡。m9.0图 11

30、中我们给出了 点处的原子的密度 。我们选择了不同的角度。z),(t可以看出，在只有偶极-偶极相互作用时，系统中原子的布洛赫振荡可以维持很久的时间，凝聚体波包塌缩的很慢，但是几万个周期后，当 时，由于极强的偶极-0偶极相互作用， 随着时间增加急剧衰减，也就是说凝聚体波包明显塌缩了。),0(t但是，当我们将 调得靠近魔幻角度 时， 衰减的速度明显下降了。当m),(t时，系统演化了 30000 个布洛赫振荡周期衰减仍然很小。m9.0为了观察系统演化了几万个周期后的形状，在图 11 中我们给出了第 29994 周期到 30000 个周期的 。可以看出，经过这么长的时间振荡，布洛赫振荡仍然保),0(t持

31、得很好，尤其是当 靠近 ，时, 和理想的布洛赫振荡偏差小于 l%5。m),0(t图 12 粒子数比较小的情况下不同角度下零点位置的原子密度随时间的演化为了数值计算方便，我们所取的原子数目和偶极矩的值都大于目前用来做布洛赫振荡实验的碱金属原子的值。可以预见，当这个魔幻角度用到碱金属原子布洛赫振荡实验时，将会对布洛赫振荡产生非常可观的促进。图 12 中我们给出了个原子的情况。很显然，原子波包的塌缩明显变慢了。把这组参数应用到具510N体实验中，将会得到时间更长的布洛赫振荡。尽管如此，我们的结果己经远远超过实验的结果(约 20000 个周期)。4 总结与展望在本文中，我们首先介绍了光子晶格的概念及原

32、理；其次描述了布洛赫振荡的基木概念和理论，然后对光晶格中超冷原子布洛赫振荡的退相干效应进行了详细阐述。在此基础上我们研究了光晶格中超冷原子布洛赫振荡及偶极一偶极相互作用对布洛赫振荡的影响。我们先导出了准一维光晶格中偶极气体的 Gross 一 Pitaevskii 方程，并详细分析了偶极相互作用势的傅立叶谱，找到了准一维光晶格中偶极气体的魔幻极化方向。在这个方向上，偶极相互作用的影响降到了最低。应用这个方向，我们得到了偶极气体在晶格中相干时间极长的布洛赫振荡。目前，布洛赫振荡已经被广泛应用于高精细测量领域，例如可以应用到对重力加速度的测量!对精细结构常数的测量以及原子干涉仪中。我们的研究会给具体

33、实验提供新的提示，对实验精度的提高会很有帮助。参考文献：1 GGrynberg，B Lounis ，PVerkerk， JYCourtois，and CSalomon PhysRevLett 70：1993，70：4102 薛锐精确非线性布洛赫解及其应用D山西大学：理论物理研究所，20093 ETayor and EZarembaPhy RevA：20034 Min-chul cha，MPAFischer，SMGirvin，MWallin，and APYoungPhysRev B：1991， 44：6885 赵兴东光晶格中超冷原子系综的动力学性质D华东师范大学：物理系，20106 M Gustavsson et alPhysRevLett 100：20087 DWitthaut et alPhys RevE71：20028 喻青萍超晶格中的布洛赫振荡及 Wannier stark 阶梯的研究D杭州师范大学：理学院，20119 KGoral， KRZazewski，and TPfauPhys RevA61：200010 J SajeevStrong localization of photons in certain disordered dielectric super lattices JPhysRevLett. 58：1987