1、1杭州二中 2013 学年高三年级第五次月考数学试卷注意事项：考试时间：120 分钟；满分：150 分。本场考试不得使用计算器，请考生用水笔或钢笔将所有试题的答案填写在答题纸上，答在试卷上的无效。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1 设全集 U是实数集 R， 2|4,|ln(2)0MxNx，则 NMCU)(=( ) A.|2x B. | C. |1 D.|2x2.复平面内，复数 20143iz，则复数 z的共轭复数对应的点在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若程序框图如图所示,则该程序运行后
2、输出 k的值是( )A.4 B.5 C.6 D.74.在 38(1)x的展开式中，含 2x项的系数是 n，若nn aa2108，则 na210( )A.0 B.1 C.-1 D. 755.为平面， ,mn是两条不同直线，则 /mn的一个充分条件是（ ）A. /且 / B. ,与平面 所成的角相等C. 且 D. 与平面 的距离相等6.设 P是不等式组 310,yx表示的平面区域内的任意一点，向量 )1,(m，)1,2(n， 若nmO（ ,为实数） ，则 的最大值为（ ）A.4 B.3 C.-1 D.-27.已知三个不全相等的实数 qp,成等比数列，则可能成等差数列的是（ ）A. qp， B. 2
3、2， C. 33qp， D. qpm，8.若关于 x的不等式 |3|ax至少有一个正数解，则实数 a的取值范围是（ ）开始2n否n3n +1n 为偶数kk 1结束n5，k0是输出 kn =1? 否是2第 11 题A. )32,( B. )43,2( C. )43,( D. )32,4( 9.若三棱锥 BCDA的侧面 A内一动点 P到底面 BCD的距离与到棱 AB的距离相等，则动点 P的轨迹与三角形 组成图形可能是（ ）A. B. C. D. 10. 21,F双曲线是 12byax的左右焦点，若在右支上存在点 A使得点 2F到直线 1A的距 离为 ，则离心率 e的取值范围是（ ）A. ),( B
4、. ,( C. ),2( D. ),2二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分11.已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，则这个正四面体的体积为 12.设 ,x， )cos(xA令 ， )sin(xB，则BA,的大小关系为 13. 在等差数列 na中， 01， 1a 0，若此数列的前 10 项和 10S36，前 18 项和 18S12，则数列 |n的前 18 项和为_14.某人参加一档综艺节目，需依次闯关回答 8 道题，若回答正确，就获得一定的“家庭梦想基金”且可选择拿着“家庭梦想基金”离开或继续答题（假设离开和继续答题的可能性 相等）
5、 ；若回答错误，则此前积累的基金清零，且他离开此节目。按规定，他有一次求助 亲友团的机会，若回答正确，也被视为答案正确，否则视为错误。8 道题目随机排列，且 他能答出其中 5 题，且另 3 题中，有 2 题亲友团能答对，则他能获得第 5 关对应的“家庭 梦想基金”的概率为 .15.已知 cba632， Zk，不等式 kcba恒成立，则整数 k的最大值为 .16.已知函数 xfln)(，当 012时，给出以下几个结论： (2121ffx； 1)(21xff； 121)()xff； )()(2ff；当 lnx时， 12xACBPACBPACBPACBP3其中正确的是 .17.平面向量eba,满足
6、1|， ea， 2b， |ba，则 a的最小值为 .三解答题:本大题有 5 小题，共 72 分18 （本题满分 14 分）已知函数 21()sincosin(0)fxx，其相邻两个零点间的距离为 2（）求 的解析式；（）锐角 ABC中， (),4,28fABC的面积为 6，求 BC的值19.（本题满分 14 分）某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种型号电视机的利润情况有如下规律：每台电视机的最终销售利润与其无故障使用时间 T（单位：年）有关.若 1T，则每台销售利润为 0 元；若 1，则每台销售利润为 100 元；若 3，则每台销售利润为 200 元.设每台该种电视机的无故障使
7、用时间 1,3 这三种情况发生的概率分别为 12312,PP又 知 是方程 2060xa的两个根，且 2P.（1）求 的值；（II）记 表示销售两台这种电视机的销售利润总和，写出 的所有结果，并求 的分布列；（III）求销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值.20 （本题满分 14 分）如图， C是以 AB为直径的圆 O上异于 ,AB的点，平面P平面 ， 2CP， 4， ,EF 分别是 ,的中点，记平面 EF与平面 的交线为直线 l（）求证：直线 l平面 A；（）直线 上是否存在点 Q，使直线 P分别与平面 AEF、直线 EF所成的角互余？若存在，求出 |的值；若不存在，请说明理由421
8、.（本题满分 15 分）已知椭圆 )0(12bayx的左右焦点分别为 21,F， c为半焦距，若以 2F为圆心，cb为半径作圆 F，过椭圆上一点 P作此圆的切线，切点为 T，且 |P的最小值不小于 )(23a，（1）求椭圆离心率的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为 1，圆 2F与 x轴的右交点为 Q，过点 作斜率为 )0(k的直线 l与椭圆相交于 BA,两点，若 OB，求直线 l被圆 2F截得的弦长 S的最大值.22.（本题满分 15 分）已知函数 2ln)(xaxf（1）当 2时，求函数 )(fy在 2,1上的最大值；（2）令 xfxg)(，若 xg在区间 )3,0(上不单调，求 a的取值范
9、围；（3）当 a时，函数 mfh)(的图像与 x轴交于两点 )0,(,21xBA，且210x，又 )(xy是 的导函数，若正常数 ,满足条件 ，证明： 021 PyyxyOy Ty5杭州二中 2013 学年高三年级第五次月考数学答案一、选择题1-5 ABBBC 6-10 ABDDC2、填空题11.38 12.AB 13.60 14.8961 15.4 16. 17. 45三、解答题18.解：（1） )42sin(2cos1sin2)( xxxxf 3 分由题可知， 1, TT5 分)42sin()(xxf7 分（2） 2sin,1si,1)8( AAf又由锐角 BC知，角 为锐角， 49 分6
10、sin21sin21CSA312 分10cos22 ACBBC1014 分19（1）证明： FE,分别为 P,中点， EF/又 FA面面 BC面/2 分又 lEA面， 面面lBC/，4 分又 ,ABCPACBP面， 面面， 面 面6PACl面6 分（2）解：以 为坐标原点，所在的直线为 x轴，CB所在的直线为 y轴，过 C垂直 面 B的直线为 z轴建立空间直角坐标系8 分)23,1()23,01()3,0(),4()0,( FEPBA， ,),2()3,2(FE，设 0,yQ，面 AE的法向量为 ),(zyxm则 mP即 023yzx令 3z得到面 AEF的一个法向量为 )3,01(m10 分
11、),1(yQ， |,cos|,cos| PQEFPQ，12 分依题意得 | m1y.1AQEFAlQl 所 成 的 角 互 余 ，、 直 线分 别 与 平 面， 使 直 线上 存 在 点在14 分20.解:（1） 21,P是方程 2060xa的两个根， 5321P又 3231P，从而 5,21 4 分（2）记一台该种电视机的无故障使用时间 1,T3 分别为事件 321,A的取值有 0，100，200，300，4005 分7251)()0(1AP6 分254)12 2581()( 33 A85)3011AP24()4(310 分所以 的分布列为：0 100 200 300 400P2512542
12、58258254（3） 40300E 14 分21.解：（1）根据题意可设切线长 22)(| cbPFT，所以当且仅当 |2PF取得最小值时|PT取得最小值.而 camin2|，所以 )(3)(22caa，3 分所以 10cab，从而解得 53e，离心率 e的取值范围是 25e.5 分（2）依题意得点 Q的坐标为 )0,(，则得直线 l的方程为 )1(xky，联立方程组1)(2yaxk得 02)( 22 akxaka，设 ),(),(21xBA，则有 1,12221 kaxka7 分代入直线方程得 )()(221221xky ， 1212kayx，又 OBA，所以 0A，所以 021y， k，
13、所以 9 分8直线方程为 0ayx，圆心 )0,(2cF到直线 l的距离 1|2acd，由图像可知 )(1)()1()()2 222adcbs ，所以11 分 219411| 2222 cccaacs，又由（1）知 253e，所以 3125,43ce，所以 42,0(s，所以 41mins.15 分22.解：（1）因为 xxf 22)( ，函数 f在 1,上是增函数，在 ,1上是减函数，2 分所以 ln2)()(minfx3 分（2）因为 axg，所以 axg2)(因为 )(x在区间 )3,0(上不单调，所以 0在 )3,(上有实数解，且无重根.由 g，有 ),029,4)1(21xxxa .
14、又当 8时， 0)(g有重根 ，综上 ,(a.6 分（3）因为 mxh2)(，又 0)(xf有两个实根 21x，所以0ln2211x，两式相减得 )()(ln22121m，9 分所以 )()ln(2121xxm，于是可得9)(12)ln(2)()ln()( 12211 21211 xxx xh 因为 ，所以 ，所以 012，所以要证 0)(21xh，只需证： 0)ln(2121 xx只需证： (*)ln2112.12 分令 ),0(2xt，所以 ()化为 0lntt，只证明 0ln1)(ttu即可.又可得 222 )(1)(1)(11)( tttttu.因为 0,2t，所以 0t，所以 0tu，)(tu在 1,上单调递增， )1(tu，所以 0lntt，所以 021xh 15 分
