1、第 1 页 版权所有 不得复制年 级 初一 学 科 数学 版 本 通用版内容标题 正数和负数、有理数编稿老师 陈明【本讲主要内容】正数和负数、有理数(概念、数轴、相反数、绝对值)本讲学习正数、负数、有理数的相关概念。理解有理数的意义及分类，判断一个数是正数还是负数，运用正、负数表示生活中具有相反意义的量。其次是通过与温度计的类比认识数轴，用数轴上的点表示有理数，借助数轴引入相反数的概念及互为相反数的一对数在数轴上的位置关系，利用数轴比较有理数的大小。第三是借助数轴引入绝对值的概念及求一个数的绝对值，利用绝对值比较两个负数的大小，通过应用题解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。【知识掌握】【知识
2、点精析】1. 正数和负数的概念 比 0 大的数叫做正数；在正数前面加上“-”号的数叫做负数；0 既不是正数，也不是负数。为了突出数的符号，可以在正数前面加“”号，一般地“”号往往省略不写，但负数前面的“-”号不能省略。对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“”号的数是正数，带“-”号的数是负数。2. 有理数的概念及分类整数和分数统称为有理数：正数、负数和零也统称为有理数。整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数；正数包括正整数和负整数；负数包括负整数和负分数。到目前为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限
3、小数和无限循环小数都看作分数。有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为 1 的分数，但本章中的分数是指不包括分母是 1 的分数。通常把正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数。3. 数轴的概念及画法 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴的概念中包含有三层含义：一是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二是说数轴具有原点，正方向和单位长度三要素，三者缺一不可；三是说数轴原点的选定，正第 2 页 版权所有 不得复制方向的取向、单位长度大小的确定，是根据实际需要规定的。画数轴的步骤： （1）画一条直线，一般画成水平的直线
4、； （2）在直线上选取一点为原点，用实心点表示，在原点下边标上 0； （3）用箭头表示正方向，一般规定向右为正； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出，并在下边标上对应的数。4. 相反数的概念 如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0 的相反数是 0。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等，这就是相反数的几何意义。一般地，数 a 的相反数是-a，这里 a 表示任意一个数，可以是正数、负数或零，还可以代表任意一个代数式，表示或求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上一个“-”号就可以了。相反数是成对出现的
5、，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数；不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，只有符合不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同。5. 绝对值的概念 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数 a 的绝对值记作“ ”。a正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0，这就是绝对值的代数意义，也可表示为：6. 绝对值的有关性质 （1）对任意有理数 a，都有|a|0； （2）若 =0，则 a=0； （3）若 = ，则 a=b 或 a=-b； b（4）若 =b（b0 ） ，则 a=b； a（5）若| =0，则 a=0 且 b=0； b（6）对任意有理数
6、a，都有 = 。a7. 有理数大小的比较法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的反而小。第 3 页 版权所有 不得复制【解题方法指导】例 1 一个物体沿着南北两个相反方向运动，如果把向南的方向规定为正，那么走 6km，走-4.5km ，走 0km 的意义各是什么？ 分析：正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向南运动，则负数表示向北运动。0 表示原地不动，0 表示正数与负数的分界，在实际问题中也有确定的意义。解：走 6km 表示物体向南走 6km； 走- 4.5km 表示物体向北走 4.5km； 走 0k
7、m 表示物体原地不动。例 2. 某老师把某一小组五名同学的成绩简记为： 10、-5、0、8、-3，又知记为 0的实际成绩表示 90 分，正数表示超过 90 分，则这五位同学的平均成绩为多少分？分析：由题意先求出这五位同学的实际成绩，如简记为 10 的学生实际成绩为 100，然后再求平均成绩。解：依题意知，五位同学的实际成绩分别为： 100、85、90、98、87，其平均成绩为：（分）928790851)(例 3. 如图所示的数轴上，A 、B、C、D、E 各点分别表示什么数？ 分析：根据各点在原点的左侧，右侧还是在原点上，来确定数是负数、正数还是 0，根据各点距离原点多少个长度单位，来确定数的值
8、。解：点 A 表示数 3 ； 点 B 表示数 ； 2121点 C 表示数 0； 点 D 表示-3； 点 E 表示数-4 。例 4. 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“-60。（2）例 7. 已知 |a|=5，求 a。分析：除 0 以外，绝对值相等的数都有两个，它们互为相反数，一定不能遗漏。解： |5|=5，|-5|=5 a=5 或 a=-5【考点突破】【考点指要】本部分内容在中考中常以选择或填空的形式出现，考查学生的基本知识与基本技能，第 5 页 版权所有 不得复制如绝对值的意义等。要求学生能够熟练掌握相关知识及其简单变形应用。【典型例题分析】例 1. a、b、c 三数在数轴上的位置如图所示
9、，其中|a|=|c|，化简式子： | ca分析：此题一方面考查学生的识图能力，另一方面考查对数轴、绝对值的理解，旨在考查知识的综合应用。解：由图可知：a,b0，则由绝对值定义可得：原式= caccaba 11)(例 2. a、b、c 三数在数轴上的位置如上图所示，其中|a|=|c|，化简式子： | c分析：此题是上一题的变形，旨在进一步学习绝对值的化简，进一步熟悉运用相反数的概念去括号。解：原式= cbacbcacb 2)()()( 例 3. 已知 |a2|b-3|=0，求 a 和 b 的值。分析：由绝对值的非负性可知，|a2|0，|b-3|0，而且只有当|a2|和|b-3|都等于 0 时，|
10、a2|b-3|=0 才成立，因为只有 0 的绝对值等于 0，所以 a=-2，b=3。解： |a2|b-3|=0， 又 |a2|0，|b-3|0， |a2|=0，|b-3|=0。 a2=0，b-3=0。 a=-2，b=3。例 4. 已知 m,n 均不为零且互为相反数，a,b+2 互为倒数，求值：。nm)2b(an2分析：此题旨在考查相反数的概念及其运用，要学会数学化的翻译条件，如条件中给出的：“m,n 均不为零且互为相反数”翻译成数学的符号语言就是：“m+n=0” ；“a,b+2 互为倒数”翻译成数学的符号语言就是“a(b+2)=1” 。解：原式= 2)1(0n)2b(a)n(2【综合测试】一.
11、 选择题1. “甲比乙大-3 岁”表示的意义是（ ）A. 甲比乙小 3 岁 B. 甲比乙大 3 岁 第 6 页 版权所有 不得复制C. 乙比甲大-3 岁 D. 乙比甲小 3 岁 2. 正整数集合与负整数集合合并在一起组成的集合是（ ）A. 整数集合 B. 有理数集合 C. 自然数集合 D. 以上说法都不对 3. 下列说法中正确的个数有（ ）（1）0 是整数； （2） 是负分数； 3（3）3.2 不是正数； （4）自然数一定是正数； （5）负分数一定是负有理数。A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4. 文具店、书店和玩具店依次坐落在一条南北走向的大街上，文具店在书店北边 20
12、m 处，玩具店位于书店南边 100m 处，小明从书店沿街向南走了 40m，接着又向南走了-60m ，则此时小明的位置在（ ）A. 玩具店 B. 文具店 C. 文具店北边 40m D. 玩具店南边-60m 5. 下列各对数中，互为相反数的有（ ）（1） （-1）与（-1） ； （2）（1）与-1； （3）-（-2 ）与（-2 ） ； （4）-（- ）与（ ） ； 21（5）-（1）与-（-1） ； （6）-（2）与-（-2 ） 。A. 6 对 B. 5 对 C. 4 对 D. 3 对 6. 一个数的相反数小于它本身，这个数是（ ）A. 任意有理数 B. 零 C. 负有理数 D. 正有理数 7.
13、绝对值等于 4 的数是（ ）A. 4 B. -4 C. 4 D. 以上都不对 8. 绝对值大于 2 而小于 5 的所有正整数之和为（ ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 下列各式中，正确的是（ ）A. 0 B. 1620C. D. 754610. 若有理数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A. B. ba第 7 页 版权所有 不得复制C. D. baba二. 填空题 11. 下列各数：-2，5， ，0.63，0，8，-0.05，-6，9， ， ，1，其中正数有41543_个，负数有_个，正分数有_个，负分数有_个，自然数有_个，整数有_个。12. 如果
14、将点 B 向左移动 3 个单位长度，再向右移动 5 个单位长度，这时点 B 表示的数是 0，那么点 B 原来表示的数是 _。13. 在数轴上，点 A 表示的数是-2，点 B 表示的数是4，则线段 AB 的中点所表示的数是_。14. 如果 ，且 ，则 b=_。5ba1a三. 解答题 15. 课桌的高度比标准高度高 2 毫米记作2 毫米，那么比标准高度低 3 毫米记作什么？现有 5 张课桌，量得它们的尺寸比标准尺寸高1 毫米，-1 毫米，0 毫米，3 毫米，-1.5毫米，若规定课桌的高度比标准高度最高不超过 2 毫米，最低不能少于 2 毫米就算合格，问上述 5 张课桌中有几张合格？ 16. 画出数
15、轴，把下列各组数分别表示在数轴上，并按由小到大的顺序排列，用“”连接起来。（1）-1，0， ，4，-4， 2121（2） ，-3，0， ，1 ， ，-5 3317. 化简下列各数的符号，并分别归纳符号化简规律 （1）-（7） ； （2）-（ ） ； 35（3）-（ ）； 6（4）- （ ）； 41（5）-（ -3）； （6）-（-1.5） 。18. 比较下列各组数的大小19. 若 ， ，且 a、b 同号，求 的值。3a4ba第 8 页 版权所有 不得复制20. 若 ，求 的值。023yxyx第 9 页 版权所有 不得复制【综合测试答案】15：ADCBC610：DCACC11. 7，4，3，2，5，7 12. -2 13. 1 14. 4 15. -3 毫米，4 张 16. （1） ，数轴略421021（2） ，数轴略33517. （1）-7 （2） （3）1565（4） （5）3 （6）1.5 符号化简规律：一个数前面的所有“”号可以直接去掉；一个数前面有偶数个“- ”号，其结果为正；一个数前面有奇数个“-”号、其结果为负。18. （1） （2）1320301.（3） （4）876419. 。4b,a,b,aa、b 同号， 。7,20. ，又 。023yx 023y,x ， ， ， 。03x2y ， ， 。1yx
